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浙江省金华市六校联谊2025年中考二模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·金华二模）如果温度上升3C记作+3C，那么下降8c记作（　　）
A．-5℃ B．11° C．C.+8℃ D．-8℃
2．（2025·金华二模）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·金华二模）已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（　　）
A．买1张彩票，不可能中奖
B．买200张彩票，可能有2张中奖
C．买100张彩票，一定有1张中奖
D．若100人各买1张彩票，一定会有1人中奖
4．（2025·金华二模） 下列运算中， 计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·金华二模）如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
6．（2025·金华二模）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·金华二模）已知点，在反比例函数图像上，.若，则的值为（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数
8．（2025·金华二模）下列图形不能被边长为4的正方形完全覆盖的是（　　）
A．半径为2的圆 B．半径为2.5的半圆
C．两边长分别为，的三角形 D．斜边长为5的直角三角形
9．（2025·金华二模）如图，点D，E，F分别在的边上，，点G是EF的中点，连接AG并延长交BC于点H，已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·金华二模）如图，点G，H，P，Q分别在等腰的腰上，连接GH，PQ，已知，，且，，AB的长为定值.当a与b发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．ab C．a+b D．
二、填空题（本题有6小题,每小题3分,共18分）
11．（2025·金华二模）计算：a2-4b2=　 　.
12．（2025·金华二模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数是　 　.
13．（2025·金华二模）现将背面相同，正面分别写有“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“必胜”的概率是　 　.
14．（2025·金华二模）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是　 　（结果保留π）·
15．（2025·金华二模）如图，在中，，，点M，N分别在边AB和AC上，且，作交BC于D，交BC于E（D在E左侧），若MN上存在一点P，使得，则　 　.
16．（2025·金华二模）如图，在Rt△ABC中，AB=8，∠B=60°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，点F
在BC的延长线上，连接EF，∠F=60°.点P从点D出发，沿D→B→F运动到点F，在边EF上找一点Q，连结PQ，使得∠APQ=∠B，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为　 　.
三、解答题（本题有8小题,共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2025·金华二模）计算：.
18．（2025·金华二模）先化简，再求值：，其中.
19．（2025·金华二模）2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展.某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）·
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2 m
（1）求甲组成绩统计表中m的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分。
20．（2025·金华二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEllAC，CEllBD.
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）若AB=3，AC=5，求菱形OCED的面积.
21．（2025·金华二模）如图为正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹），
（1）在图1的正六边形ABCDEF内部作一点M，连接AM，使得∠BAM=60°.
（2）在图2的正六边形ABCDEF内部作一点N，连接AN，使得tan∠BAN=
22．（2025·金华二模）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛，设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示.
（1）填空：A、C两海岛间的距离为　 　km，a=　 　；
（2）求线段PN所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长.
23．（2025·金华二模）已知点（1，2）在抛物线（b，c为常数）的图象上.
（1）用含b的代数式表示c；
（2）当b的值变化时，的顶点总在另一抛物线的图象上，
①求p，q的值；
②若抛物线和抛物线围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围.
24．（2025·金华二模）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆.点D为边AB上的动点，DP，DQ分别切圆C于点P，点Q，连接PQ，分别交AC和BC于点E，F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连接CM，BM.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵ 温度上升3 ℃ 记作+3 ℃ ，
∴ 下降8c记作 -8 ℃。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正负数的意义。
正负数表示相反意义的量，本题中上升和下降是相反意义，因此上升用“+”表示，那么下降就用“-”表示。
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：立体图案中，左视图是
故答案为：C.
【分析】本题考查三视图的区别。
左视图，即从左侧看到的图形；主视图，即正面看到的图形；俯视图，即从上面往下看到的图形。选项中C选项的图形是左视图和主视图，D选项是俯视图。
3．【答案】B
【知识点】概率的意义；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A：买1张彩票，中奖率很低，但也有中奖的可能，因此错误；
B：买200张彩票，可能有200×1%=2张中奖，正确；
C：买100张彩票，可能有100×1%=1张中奖，但未必有1张一定中奖，错误；
D：若100人各买1张彩票，可能有1人中奖，或者有多人中奖，未必一定有1人中奖，错误。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查概率的基础知识。
概率是事件发生的可能性，在0和1之间。如果概率为0，则事件一定不发生，如果概率为1，则事件一定发生。如果概率在0和1之间，那么事件可能发生，也可能不发生，未必一定发生。据此分析各项即可。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘除法结合题意对选项逐一运算即可求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ △ABO∽△DEO，
∴，
即 OA：AD =2：1
故答案为：C.
【分析】本题主要考查位似以及相似比的相关知识。
首先根据“ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3 ”，可以推出AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，然后得出△ABO∽△DEO，进而得出相似比，最后即可计算出结果。
6．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价是（x+4）元，
所有列式为 。
故答案为：D.
【分析】本题主要是一元一次分式方程式实际应用。
首先根据条件可以得出每个甲礼盒的进价是（x+4）元，然后再根据条件“ 用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍 ”，因此可以列出分式方程，即可选出答案。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点，在反比例函数图像上 ，
∴x1与y1异号，x1与y1异号；
∵ ，
当x1＞0、x2＜0时，y1＜0、y2＞0，此时 ＜0；
当x1＜0、x2＞0时，y1＞0、y2＜0，此时 ＜0；
因此的值为负数。
故答案为：C.
【分析】本题考查反比例函数的特点以及正负值的判断。
首先根据条件“点，在反比例函数图像上”，根据反比例函数图象的特点可以判断出“x1与y1异号，x1与y1异号”；然后根据“ ”可以判断出x1与x2异号，此时即可分“当x1＞0、x2＜0时”和“x1＜0、x2＞0时”两种情况，分别进行分析即可。
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆的面积
【解析】【解答】解：边长为4的正方形，面积是4×4=16，
A选项，半径为2的圆，面积是π×22=4π≈12.56，16＞12.56，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
B选项，半径为2.5的圆，面积是π×2.52=6.25π≈19.625，16＜19.625，因此不能被边长为4的正方形完全覆盖；
C选项，边长为4的正方形，对角线长是，而和均小于，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
D选项，5＜，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查图形的面积计算以及正方形对角线、三角形边长的特点等知识。
首先利用正方形的面积和圆的面积计算公式，即可判断出AB选项；然后计算出正方形的对角线长度，和三角形的边长进行比较，即可判断出CD选项。
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：AH交DF于Q点，如图，
∵∠AFD=∠FDE=∠DEB，
∴DE∥AC，DF∥CE，
∴四边形CEDF为平行四边形，
∴DF =CE，
∵，此时可以设DF=3x，BC=7x
∴CE =3x，
∴BE=BC-CE=4x，
∵FQ∥EH，
∴△EHG∽△FQG，
∴，
即EH= FQ，
∵DF∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵QF∥CH，
∴△AQF∽△AHC，
∴
此时可以设QF=3t，CH=7t，
∴EH=3t，
∵CE=EH+CH=10t，
∴10t =3x，
即t =x，
∴CH=7t=x，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据“内错角相等、两直线平行；同位角相等、两直线平行”得出DE∥AC，DF∥CE，此时有四边形CEDF为平行四边形，然后分别利用相似三角形的性质分别得出DF=3x、BE=4x、CH=7t，CE=10t，因为DF =CE，因此t =x，最后得出CH=7t=x，代入计算即可。
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过P作PN∥AC交BC于N，
∴∠BPN=∠A，
∵GH∥BC，
∴∠B=∠AGH，
∵BP=GA，
∴△BPN≌△GAH(ASA)，
∴BN =GH，
∵PQ∥BC，PN∥AC，
∴四边形PNCQ是平行四边形，
∴CN=PQ，
∴BC=CN+BN=PQ+GH=b，
∵sinA=，sinB=，
∴CM=AC×sinA=b×sinB，
∵sin A= asin B，
∴= AC，
∵AC=AB=定值，
∴是定值.
故答案为：A.
【分析】本题首先利用ASA证明出△BPN≌△GAH，得出BN =GH，进而得出四边形PNCQ是平行四边形、CN=PQ、BC=b，这样，CM就可以表示出来，并结合sin A= asin B，从而推出= AC是定值。
11．【答案】（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-4b2 = a2-（2b）2=（a+2b）（a-2b）
故答案为：（a+2b）（a-2b）.
【分析】本题主要考查平方差公式的运用。
根据公式“ a2-b2 =（a+b）（a-b）”，代入计算即可。
12．【答案】72°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC是弧BC对应的圆周角， ∠BOC是弧BC对应的圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=72°。
故答案为：72°.
【分析】本题主要考查同弧对应的圆周角和圆心角的关系。
同弧对应的圆周角是圆心角的一半。因为∠BAC是弧BC对应的圆周角， ∠BOC是弧BC对应的圆心角，所以∠BOC=2∠BAC=72°。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
　 中 考 必 胜
中 　 （中，考） （中，必） （中，胜）
考 （中，考） 　 （必，考） （胜，考）
必 （中，必） （考，必） 　 （胜，必）
胜 （中，胜） （考，胜） （胜，必） 　
列出表格可以发现，抽取的两张卡片上的文字一共有12种，恰好能组成“必胜”的有2种，因此概率为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查列表法求概率。
首先根据条件“ 四张卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张 ”，此时列表可以发现一共有12种情况，然后找到恰好能组成“必胜”的有2种，因此概率为.
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：过C点作CD⊥AB于D点，如图，
∴CD=3，BD=，
∴BC=
∴该圆锥的侧面积=π×r×l=π×3×=。
故答案为：.
【分析】本题主要考查圆锥侧面积的计算，需要用到勾股定理和圆锥的特点等知识。
首先做出辅助线之后，根据圆锥的特点可知，D为AB中点，此时即可利用勾股定理求出BC的长度。最后根据圆锥的侧面积计算公式S=πrl，其中r为底边半径BD，l是母线长BC，代入即可计算出答案。
15．【答案】
【知识点】已知正切值求边长；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由条件可知∠B=90°-C=90°-∠AMN=∠ANM，
∴tan∠ANM= tanB=，
∵DM⊥AB，
∴MD∥AC，
∴∠PMD=∠ANM=∠B，
由条件可知∠MDB+∠PDE=∠MDB+∠B，即∠PDE=∠B，
同理可得∠NPE=∠NEC=∠B，
，
设AM=b，AC=a，
∴AN=2AM =2b，
∴CN=a-2b，
∴EN=2a- 4b，
∴PE=4a-8b，
∴PD=8a-16b，
∴MD=16a-32b，
∴BM=32a-64b，
∵AB=2AC，
∴32a-64b+b=2a，
可得b=a，
∴。
故答案为：.
【分析】首先利用直角三角形内角和特点推出∠B=∠ANM，得出tan∠ANM= tanB=；然后依据“同位角相等、两直线平行”得出MD∥AC，进而∠PMD=∠ANM=∠B，并推出∠PDE=∠B，∠NPE=∠NEC=∠B；此时即，推出b=a，此时AM和AB即可用a来表示，最后计算化简即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=8，∠B=60°，
∴BC=AB·cos60°=4，AC=AB·sin60°=，
连接DE，
∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=2，CE=AC=.
∴∠ADE=∠B=60°，
在Rt△ECF中，CE=，∠F=60°，
∴CF=CE÷tan60°=2，EF=CE÷sin60°=4；
①当点P在线段BD上运动时，
∵∠APQ=∠B，
∴PQ∥BC.
∴当点P从点D移动到点B时，点Q从点E移动到点F，路径长为EF= 4；
②当点P在BF上移动时，如图
∵BC=4，CF=2，
∴BF=6，
设BP=x，则PF=6-x，
∵∠APQ=∠B=60°，∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPF，
∴∠QPF=∠PAB，
又∵∠B=∠F，
∴△ABP∽△PFQ，
∴，即FQ==-x2+x，
当x==3时，FQ的值最大，是，
∴当点P从点B移动到点F时，点Q先从点F移动到EQ=的位置，再返回到点F，
∴点Q的总路径长为：4+2×=。
故答案为：.
【分析】本题利用三角函数值，首先可以求出BC、AC的长度，再利用中位线性质求出DE、CE的长度，并利用三角函数求出CF、EF的长度。此时可以分P在线段BD上运动和在BF上运动两种情况。P在线段BD上运动，可以直接得出路径长为EF= 4；当点P在BF上移动时，可以推出△ABP∽△PFQ，并利用相似比列出FQ的抛物线方程，即可求出FQ的最大值。最后结合图形即可求出Q的总路径长。
17．【答案】解：原式=1-3+4=5-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求正切值
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂、正切值、负整数指数幂的计算。
首先计算出，然后计算即可。
18．【答案】解：
=
=
代入，原式=.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，需要利用因式分解、平方差公式。
首先将括号里面的减法进行通分化简，同时利用提公因式法和平方差公式对进行变形，最后约分化简之后，直接代入即可求出答案。
19．【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为90°，占比为，
∴乙组人数=5÷=20人，则8分人数=20-8-4-5=3人
∴甲组人数也为20人，m=20-10-1-2=7人，
即m的值为7。
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
∴甲组学生成绩的平均分为8.3分，甲组的中位数为7.5。
（3）解：乙组的中位数为第 10 位和第 11 位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为=8.5
∴这名学生至少增加2分。
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】本题主要考查统计图的数据分析与计算。
（1）首先根据乙组的扇形统计图和条形统计图发现，10分对应的人数5人占比为，即可倒推出乙组的总人数，从而可以计算出8分对应的人数，此时即可完善乙组成绩条形统计图；再根据“甲乙人数相等”，即可计算出m的值；
（2）根据公式“平均分=”即可计算出甲组的平均分；然后按照中位数的定义，将甲组成绩从高到低或者从低到高排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，那么中位数就是这两个数的平均数；
（3）同样按照中位数的定义和查找方法即可计算出乙组对应的中位数，然后对比甲组和乙组数据进行分析即可。
20．【答案】（1）证明： ，，
四边形OCED是平行四边形，
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
OC=OD，
四边形OCED是菱形。
（2）解： ，，
，
由菱形和矩形的中心对称性可知，
又，
，
菱形的面积是6.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、勾股定理等知识。
（1）先利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可得出四边形OCED是平行四边形；然后根据“矩形的对角线互相平分”，得出OC=OD，最后根据“临边相等的平行四边形是菱形”即可得出证明结果；
（2）先利用勾股定理求出BC的长度，然后根据“菱形和矩形的中心对称性”得出，而，此时求出△ABC的面积即可求出答案。
21．【答案】（1）解：如图，∠MAB即所求作图形.
（2）解：如图，∠NAB即所求作图形.
【知识点】多边形的对角线；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）连接BE、CF交于M点，连接AM即可；因为正六边形内角和是（6-2）×180°=720°，所以∠AFM=60°，而AM=MF，所以连接AM之后，△AFM就是等边三角形， ∠BAM=60° ；
（2）连接CF、BD交于N点，连接AN即可。因为∠BNC=90°，∠BCN=60°，∠ABD=90°，当BC=2时，CN=1，BN=，所以 tan∠BAN= 。
22．【答案】（1）70；1.4
（2）解：设线段PN所表示的函数关系式为（k、b为常数，且）. 将坐标N（0，4）和P（1.4，50）分别代入，
得， 解得，
∴线段PN所表示的函数关系式为).
（3）解：线段 MN 所表示的函数关系式为 、 为常数，且 ).
将坐标 M(0，20) 和 N(0.4，0) 分别代入 ，
得 ，解得 ，
线段 MN 所表示的函数关系式为
当-50x+20=15时，解得x=0.1；
当50x-20=15，解得x=0.7；
0.7-0.1=0.6 (h).
答：该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）从图上可以看出，A到B的距离为20km，B到C的距离为50km，因此A、C两海岛间的距离=20+50=70km，
海巡船的速度为，a=h。
故答案为：（1）70，1.4.
【分析】（1）根据条件“ 某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛 ”，结合图象可以发现，MN就是A到B的路线，N到P就是B到C的路线，因此可以看出A到B的距离为20km，B到C的距离为50km，这样就可以计算出A、C两海岛间的距离；然后根据AB的距离和时间，可以计算出海巡船的速度，推算出BC的时间，最后即可计算出a的值；
（2）先确定N和P点的坐标，然后利用待定系数法代入，列出二元一次方程组求解即可；
（3）同样利用待定系数法求出MN的函数关系式，然后分两种情况分别求出x的值，最后作差即可。
23．【答案】（1）解：点(1，2)在关于x的二次函数y=x2+2bx+c的图象上，
∴把(1，2)代入y1=x2+2bx+c，得2=12+2b+c，
∴c=1-2b；
（2）解：①二次函数y1=x2+2bx+c的顶点坐标为(-b，c-6)，
∵c=1-2b，
∴二次函数y1=x2+bx+c的顶点坐标为(-b，-b2-2b+1)，
令x=-b，则，
∴-b2-2b+1=-x2+2x+l，
即二次函数y1=x2+2bx+c的顶点坐标为(x，-x2+2x+1)，
表明顶点总在二次函数y2=-x2+2x+1的图象上，
与y2=-x2+px+q比较系数得，p=2，q=1
②当 时，抛物线 经过点 时，是临界状态，此时 ，顶点坐标为 ，封闭区域内的整点为
当顶点沿着抛物线 往左下方移动时，抛物线 最先经过的点可能是 或 ；
当抛物线 经过点 时， ，
当抛物线 经过点 时， ，
所以当抛物线 经过点 时，也是临界状态，
所以 ；
当 时，由抛物线的轴对称性可得 ；
所以 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点 （1，2） 代入二次函数中，计算化简即可求出答案；
（2）①结合（1）的计算结果，并利用顶点坐标公式，即可列出二次函数y1=x2+2bx+c的顶点坐标，并结合 抛物线 进行对比，即可求出p和q的值；
②分b＞-1和b＜-1两种情况进行分析，根据对称轴以及抛物线顶点进行逐步分析，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：如图，连接CP、CQ.
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴∠CPD=∠CQD=90°，
∵∠PDQ=60°，
∴∠PCQ=360°-∠PDQ-∠CPD-∠CQD=120°，
∴劣弧PQ为120°；
（2）解：连接CD，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴DP=DQ，
∵CP=CQ，
∴C，D在线段PQ的垂直平分线上，
∴CD⊥PQ，
∵CE=CF，
∴CD平分∠ECF，
∵DG⊥BC，∠A=90°，
∴AD=AG，
∵AB=3，AC=5，
，
，
，
，即，
解得：；
（3）解：①连接CD，CP，CQ，如图所示：
根据解析（2）可知：CD垂直平分PQ，
点M为PQ的中点，
点M在CD上，
，
，
，
，
，
；
②BM的最小值为4.
【知识点】切线的性质；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应角；多边形的内角和公式；面积及等积变换
【解析】【解答】解：（3）②BM的最小值为4，理由如下：
由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
.∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∴ CE为定值，
∵，
∴ 点M在以CE为直径的圆上运动，
取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，
∵，
∴
BM＝BH-MH=4，
即BM的最小值为4.
【分析】（1）根据切线的性质以及四边形的内角和360°，即可求出劣弧PQ的度数；
（2）根据切线的性质得出DP=DQ，根据垂直平分线特点得出CE=CF、CD平分∠ECF，从而推出AD=AG，然后利用勾股定理求出BC的长度，最后利用等面积公式即可求出AD的长；
（3）①证明出，即可得出，变形即可得出证明结果；
②同样利用相似三角形，得出，并结合①的结论可以求出CE的长度，此时即有当B、M、H三点共线时，BM最短，求出AH的长度，利用勾股定理即可求出BH的长度，BM的长度即可求出。
1 / 1浙江省金华市六校联谊2025年中考二模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·金华二模）如果温度上升3C记作+3C，那么下降8c记作（　　）
A．-5℃ B．11° C．C.+8℃ D．-8℃
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵ 温度上升3 ℃ 记作+3 ℃ ，
∴ 下降8c记作 -8 ℃。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正负数的意义。
正负数表示相反意义的量，本题中上升和下降是相反意义，因此上升用“+”表示，那么下降就用“-”表示。
2．（2025·金华二模）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：立体图案中，左视图是
故答案为：C.
【分析】本题考查三视图的区别。
左视图，即从左侧看到的图形；主视图，即正面看到的图形；俯视图，即从上面往下看到的图形。选项中C选项的图形是左视图和主视图，D选项是俯视图。
3．（2025·金华二模）已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（　　）
A．买1张彩票，不可能中奖
B．买200张彩票，可能有2张中奖
C．买100张彩票，一定有1张中奖
D．若100人各买1张彩票，一定会有1人中奖
【答案】B
【知识点】概率的意义；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A：买1张彩票，中奖率很低，但也有中奖的可能，因此错误；
B：买200张彩票，可能有200×1%=2张中奖，正确；
C：买100张彩票，可能有100×1%=1张中奖，但未必有1张一定中奖，错误；
D：若100人各买1张彩票，可能有1人中奖，或者有多人中奖，未必一定有1人中奖，错误。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查概率的基础知识。
概率是事件发生的可能性，在0和1之间。如果概率为0，则事件一定不发生，如果概率为1，则事件一定发生。如果概率在0和1之间，那么事件可能发生，也可能不发生，未必一定发生。据此分析各项即可。
4．（2025·金华二模） 下列运算中， 计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘除法结合题意对选项逐一运算即可求解.
5．（2025·金华二模）如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ △ABO∽△DEO，
∴，
即 OA：AD =2：1
故答案为：C.
【分析】本题主要考查位似以及相似比的相关知识。
首先根据“ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3 ”，可以推出AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，然后得出△ABO∽△DEO，进而得出相似比，最后即可计算出结果。
6．（2025·金华二模）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价是（x+4）元，
所有列式为 。
故答案为：D.
【分析】本题主要是一元一次分式方程式实际应用。
首先根据条件可以得出每个甲礼盒的进价是（x+4）元，然后再根据条件“ 用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍 ”，因此可以列出分式方程，即可选出答案。
7．（2025·金华二模）已知点，在反比例函数图像上，.若，则的值为（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点，在反比例函数图像上 ，
∴x1与y1异号，x1与y1异号；
∵ ，
当x1＞0、x2＜0时，y1＜0、y2＞0，此时 ＜0；
当x1＜0、x2＞0时，y1＞0、y2＜0，此时 ＜0；
因此的值为负数。
故答案为：C.
【分析】本题考查反比例函数的特点以及正负值的判断。
首先根据条件“点，在反比例函数图像上”，根据反比例函数图象的特点可以判断出“x1与y1异号，x1与y1异号”；然后根据“ ”可以判断出x1与x2异号，此时即可分“当x1＞0、x2＜0时”和“x1＜0、x2＞0时”两种情况，分别进行分析即可。
8．（2025·金华二模）下列图形不能被边长为4的正方形完全覆盖的是（　　）
A．半径为2的圆 B．半径为2.5的半圆
C．两边长分别为，的三角形 D．斜边长为5的直角三角形
【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆的面积
【解析】【解答】解：边长为4的正方形，面积是4×4=16，
A选项，半径为2的圆，面积是π×22=4π≈12.56，16＞12.56，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
B选项，半径为2.5的圆，面积是π×2.52=6.25π≈19.625，16＜19.625，因此不能被边长为4的正方形完全覆盖；
C选项，边长为4的正方形，对角线长是，而和均小于，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
D选项，5＜，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查图形的面积计算以及正方形对角线、三角形边长的特点等知识。
首先利用正方形的面积和圆的面积计算公式，即可判断出AB选项；然后计算出正方形的对角线长度，和三角形的边长进行比较，即可判断出CD选项。
9．（2025·金华二模）如图，点D，E，F分别在的边上，，点G是EF的中点，连接AG并延长交BC于点H，已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：AH交DF于Q点，如图，
∵∠AFD=∠FDE=∠DEB，
∴DE∥AC，DF∥CE，
∴四边形CEDF为平行四边形，
∴DF =CE，
∵，此时可以设DF=3x，BC=7x
∴CE =3x，
∴BE=BC-CE=4x，
∵FQ∥EH，
∴△EHG∽△FQG，
∴，
即EH= FQ，
∵DF∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵QF∥CH，
∴△AQF∽△AHC，
∴
此时可以设QF=3t，CH=7t，
∴EH=3t，
∵CE=EH+CH=10t，
∴10t =3x，
即t =x，
∴CH=7t=x，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据“内错角相等、两直线平行；同位角相等、两直线平行”得出DE∥AC，DF∥CE，此时有四边形CEDF为平行四边形，然后分别利用相似三角形的性质分别得出DF=3x、BE=4x、CH=7t，CE=10t，因为DF =CE，因此t =x，最后得出CH=7t=x，代入计算即可。
10．（2025·金华二模）如图，点G，H，P，Q分别在等腰的腰上，连接GH，PQ，已知，，且，，AB的长为定值.当a与b发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．ab C．a+b D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过P作PN∥AC交BC于N，
∴∠BPN=∠A，
∵GH∥BC，
∴∠B=∠AGH，
∵BP=GA，
∴△BPN≌△GAH(ASA)，
∴BN =GH，
∵PQ∥BC，PN∥AC，
∴四边形PNCQ是平行四边形，
∴CN=PQ，
∴BC=CN+BN=PQ+GH=b，
∵sinA=，sinB=，
∴CM=AC×sinA=b×sinB，
∵sin A= asin B，
∴= AC，
∵AC=AB=定值，
∴是定值.
故答案为：A.
【分析】本题首先利用ASA证明出△BPN≌△GAH，得出BN =GH，进而得出四边形PNCQ是平行四边形、CN=PQ、BC=b，这样，CM就可以表示出来，并结合sin A= asin B，从而推出= AC是定值。
二、填空题（本题有6小题,每小题3分,共18分）
11．（2025·金华二模）计算：a2-4b2=　 　.
【答案】（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-4b2 = a2-（2b）2=（a+2b）（a-2b）
故答案为：（a+2b）（a-2b）.
【分析】本题主要考查平方差公式的运用。
根据公式“ a2-b2 =（a+b）（a-b）”，代入计算即可。
12．（2025·金华二模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数是　 　.
【答案】72°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC是弧BC对应的圆周角， ∠BOC是弧BC对应的圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=72°。
故答案为：72°.
【分析】本题主要考查同弧对应的圆周角和圆心角的关系。
同弧对应的圆周角是圆心角的一半。因为∠BAC是弧BC对应的圆周角， ∠BOC是弧BC对应的圆心角，所以∠BOC=2∠BAC=72°。
13．（2025·金华二模）现将背面相同，正面分别写有“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“必胜”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
　 中 考 必 胜
中 　 （中，考） （中，必） （中，胜）
考 （中，考） 　 （必，考） （胜，考）
必 （中，必） （考，必） 　 （胜，必）
胜 （中，胜） （考，胜） （胜，必） 　
列出表格可以发现，抽取的两张卡片上的文字一共有12种，恰好能组成“必胜”的有2种，因此概率为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查列表法求概率。
首先根据条件“ 四张卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张 ”，此时列表可以发现一共有12种情况，然后找到恰好能组成“必胜”的有2种，因此概率为.
14．（2025·金华二模）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是　 　（结果保留π）·
【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：过C点作CD⊥AB于D点，如图，
∴CD=3，BD=，
∴BC=
∴该圆锥的侧面积=π×r×l=π×3×=。
故答案为：.
【分析】本题主要考查圆锥侧面积的计算，需要用到勾股定理和圆锥的特点等知识。
首先做出辅助线之后，根据圆锥的特点可知，D为AB中点，此时即可利用勾股定理求出BC的长度。最后根据圆锥的侧面积计算公式S=πrl，其中r为底边半径BD，l是母线长BC，代入即可计算出答案。
15．（2025·金华二模）如图，在中，，，点M，N分别在边AB和AC上，且，作交BC于D，交BC于E（D在E左侧），若MN上存在一点P，使得，则　 　.
【答案】
【知识点】已知正切值求边长；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由条件可知∠B=90°-C=90°-∠AMN=∠ANM，
∴tan∠ANM= tanB=，
∵DM⊥AB，
∴MD∥AC，
∴∠PMD=∠ANM=∠B，
由条件可知∠MDB+∠PDE=∠MDB+∠B，即∠PDE=∠B，
同理可得∠NPE=∠NEC=∠B，
，
设AM=b，AC=a，
∴AN=2AM =2b，
∴CN=a-2b，
∴EN=2a- 4b，
∴PE=4a-8b，
∴PD=8a-16b，
∴MD=16a-32b，
∴BM=32a-64b，
∵AB=2AC，
∴32a-64b+b=2a，
可得b=a，
∴。
故答案为：.
【分析】首先利用直角三角形内角和特点推出∠B=∠ANM，得出tan∠ANM= tanB=；然后依据“同位角相等、两直线平行”得出MD∥AC，进而∠PMD=∠ANM=∠B，并推出∠PDE=∠B，∠NPE=∠NEC=∠B；此时即，推出b=a，此时AM和AB即可用a来表示，最后计算化简即可。
16．（2025·金华二模）如图，在Rt△ABC中，AB=8，∠B=60°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，点F
在BC的延长线上，连接EF，∠F=60°.点P从点D出发，沿D→B→F运动到点F，在边EF上找一点Q，连结PQ，使得∠APQ=∠B，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=8，∠B=60°，
∴BC=AB·cos60°=4，AC=AB·sin60°=，
连接DE，
∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=2，CE=AC=.
∴∠ADE=∠B=60°，
在Rt△ECF中，CE=，∠F=60°，
∴CF=CE÷tan60°=2，EF=CE÷sin60°=4；
①当点P在线段BD上运动时，
∵∠APQ=∠B，
∴PQ∥BC.
∴当点P从点D移动到点B时，点Q从点E移动到点F，路径长为EF= 4；
②当点P在BF上移动时，如图
∵BC=4，CF=2，
∴BF=6，
设BP=x，则PF=6-x，
∵∠APQ=∠B=60°，∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPF，
∴∠QPF=∠PAB，
又∵∠B=∠F，
∴△ABP∽△PFQ，
∴，即FQ==-x2+x，
当x==3时，FQ的值最大，是，
∴当点P从点B移动到点F时，点Q先从点F移动到EQ=的位置，再返回到点F，
∴点Q的总路径长为：4+2×=。
故答案为：.
【分析】本题利用三角函数值，首先可以求出BC、AC的长度，再利用中位线性质求出DE、CE的长度，并利用三角函数求出CF、EF的长度。此时可以分P在线段BD上运动和在BF上运动两种情况。P在线段BD上运动，可以直接得出路径长为EF= 4；当点P在BF上移动时，可以推出△ABP∽△PFQ，并利用相似比列出FQ的抛物线方程，即可求出FQ的最大值。最后结合图形即可求出Q的总路径长。
三、解答题（本题有8小题,共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2025·金华二模）计算：.
【答案】解：原式=1-3+4=5-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求正切值
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂、正切值、负整数指数幂的计算。
首先计算出，然后计算即可。
18．（2025·金华二模）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=
代入，原式=.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，需要利用因式分解、平方差公式。
首先将括号里面的减法进行通分化简，同时利用提公因式法和平方差公式对进行变形，最后约分化简之后，直接代入即可求出答案。
19．（2025·金华二模）2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展.某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）·
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2 m
（1）求甲组成绩统计表中m的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分。
【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为90°，占比为，
∴乙组人数=5÷=20人，则8分人数=20-8-4-5=3人
∴甲组人数也为20人，m=20-10-1-2=7人，
即m的值为7。
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
∴甲组学生成绩的平均分为8.3分，甲组的中位数为7.5。
（3）解：乙组的中位数为第 10 位和第 11 位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为=8.5
∴这名学生至少增加2分。
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】本题主要考查统计图的数据分析与计算。
（1）首先根据乙组的扇形统计图和条形统计图发现，10分对应的人数5人占比为，即可倒推出乙组的总人数，从而可以计算出8分对应的人数，此时即可完善乙组成绩条形统计图；再根据“甲乙人数相等”，即可计算出m的值；
（2）根据公式“平均分=”即可计算出甲组的平均分；然后按照中位数的定义，将甲组成绩从高到低或者从低到高排列，中间的数就是中位数，如果中间有两个数，那么中位数就是这两个数的平均数；
（3）同样按照中位数的定义和查找方法即可计算出乙组对应的中位数，然后对比甲组和乙组数据进行分析即可。
20．（2025·金华二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEllAC，CEllBD.
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）若AB=3，AC=5，求菱形OCED的面积.
【答案】（1）证明： ，，
四边形OCED是平行四边形，
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
OC=OD，
四边形OCED是菱形。
（2）解： ，，
，
由菱形和矩形的中心对称性可知，
又，
，
菱形的面积是6.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、勾股定理等知识。
（1）先利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可得出四边形OCED是平行四边形；然后根据“矩形的对角线互相平分”，得出OC=OD，最后根据“临边相等的平行四边形是菱形”即可得出证明结果；
（2）先利用勾股定理求出BC的长度，然后根据“菱形和矩形的中心对称性”得出，而，此时求出△ABC的面积即可求出答案。
21．（2025·金华二模）如图为正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹），
（1）在图1的正六边形ABCDEF内部作一点M，连接AM，使得∠BAM=60°.
（2）在图2的正六边形ABCDEF内部作一点N，连接AN，使得tan∠BAN=
【答案】（1）解：如图，∠MAB即所求作图形.
（2）解：如图，∠NAB即所求作图形.
【知识点】多边形的对角线；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）连接BE、CF交于M点，连接AM即可；因为正六边形内角和是（6-2）×180°=720°，所以∠AFM=60°，而AM=MF，所以连接AM之后，△AFM就是等边三角形， ∠BAM=60° ；
（2）连接CF、BD交于N点，连接AN即可。因为∠BNC=90°，∠BCN=60°，∠ABD=90°，当BC=2时，CN=1，BN=，所以 tan∠BAN= 。
22．（2025·金华二模）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛，设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示.
（1）填空：A、C两海岛间的距离为　 　km，a=　 　；
（2）求线段PN所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长.
【答案】（1）70；1.4
（2）解：设线段PN所表示的函数关系式为（k、b为常数，且）. 将坐标N（0，4）和P（1.4，50）分别代入，
得， 解得，
∴线段PN所表示的函数关系式为).
（3）解：线段 MN 所表示的函数关系式为 、 为常数，且 ).
将坐标 M(0，20) 和 N(0.4，0) 分别代入 ，
得 ，解得 ，
线段 MN 所表示的函数关系式为
当-50x+20=15时，解得x=0.1；
当50x-20=15，解得x=0.7；
0.7-0.1=0.6 (h).
答：该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）从图上可以看出，A到B的距离为20km，B到C的距离为50km，因此A、C两海岛间的距离=20+50=70km，
海巡船的速度为，a=h。
故答案为：（1）70，1.4.
【分析】（1）根据条件“ 某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛 ”，结合图象可以发现，MN就是A到B的路线，N到P就是B到C的路线，因此可以看出A到B的距离为20km，B到C的距离为50km，这样就可以计算出A、C两海岛间的距离；然后根据AB的距离和时间，可以计算出海巡船的速度，推算出BC的时间，最后即可计算出a的值；
（2）先确定N和P点的坐标，然后利用待定系数法代入，列出二元一次方程组求解即可；
（3）同样利用待定系数法求出MN的函数关系式，然后分两种情况分别求出x的值，最后作差即可。
23．（2025·金华二模）已知点（1，2）在抛物线（b，c为常数）的图象上.
（1）用含b的代数式表示c；
（2）当b的值变化时，的顶点总在另一抛物线的图象上，
①求p，q的值；
②若抛物线和抛物线围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围.
【答案】（1）解：点(1，2)在关于x的二次函数y=x2+2bx+c的图象上，
∴把(1，2)代入y1=x2+2bx+c，得2=12+2b+c，
∴c=1-2b；
（2）解：①二次函数y1=x2+2bx+c的顶点坐标为(-b，c-6)，
∵c=1-2b，
∴二次函数y1=x2+bx+c的顶点坐标为(-b，-b2-2b+1)，
令x=-b，则，
∴-b2-2b+1=-x2+2x+l，
即二次函数y1=x2+2bx+c的顶点坐标为(x，-x2+2x+1)，
表明顶点总在二次函数y2=-x2+2x+1的图象上，
与y2=-x2+px+q比较系数得，p=2，q=1
②当 时，抛物线 经过点 时，是临界状态，此时 ，顶点坐标为 ，封闭区域内的整点为
当顶点沿着抛物线 往左下方移动时，抛物线 最先经过的点可能是 或 ；
当抛物线 经过点 时， ，
当抛物线 经过点 时， ，
所以当抛物线 经过点 时，也是临界状态，
所以 ；
当 时，由抛物线的轴对称性可得 ；
所以 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点 （1，2） 代入二次函数中，计算化简即可求出答案；
（2）①结合（1）的计算结果，并利用顶点坐标公式，即可列出二次函数y1=x2+2bx+c的顶点坐标，并结合 抛物线 进行对比，即可求出p和q的值；
②分b＞-1和b＜-1两种情况进行分析，根据对称轴以及抛物线顶点进行逐步分析，即可得出答案。
24．（2025·金华二模）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆.点D为边AB上的动点，DP，DQ分别切圆C于点P，点Q，连接PQ，分别交AC和BC于点E，F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连接CM，BM.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，连接CP、CQ.
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴∠CPD=∠CQD=90°，
∵∠PDQ=60°，
∴∠PCQ=360°-∠PDQ-∠CPD-∠CQD=120°，
∴劣弧PQ为120°；
（2）解：连接CD，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，
∴DP=DQ，
∵CP=CQ，
∴C，D在线段PQ的垂直平分线上，
∴CD⊥PQ，
∵CE=CF，
∴CD平分∠ECF，
∵DG⊥BC，∠A=90°，
∴AD=AG，
∵AB=3，AC=5，
，
，
，
，即，
解得：；
（3）解：①连接CD，CP，CQ，如图所示：
根据解析（2）可知：CD垂直平分PQ，
点M为PQ的中点，
点M在CD上，
，
，
，
，
，
；
②BM的最小值为4.
【知识点】切线的性质；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应角；多边形的内角和公式；面积及等积变换
【解析】【解答】解：（3）②BM的最小值为4，理由如下：
由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
.∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∴ CE为定值，
∵，
∴ 点M在以CE为直径的圆上运动，
取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，
∵，
∴
BM＝BH-MH=4，
即BM的最小值为4.
【分析】（1）根据切线的性质以及四边形的内角和360°，即可求出劣弧PQ的度数；
（2）根据切线的性质得出DP=DQ，根据垂直平分线特点得出CE=CF、CD平分∠ECF，从而推出AD=AG，然后利用勾股定理求出BC的长度，最后利用等面积公式即可求出AD的长；
（3）①证明出，即可得出，变形即可得出证明结果；
②同样利用相似三角形，得出，并结合①的结论可以求出CE的长度，此时即有当B、M、H三点共线时，BM最短，求出AH的长度，利用勾股定理即可求出BH的长度，BM的长度即可求出。
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