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广东省揭阳市普宁市华美实验学校2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025七下·普宁期末） 国产人工智能大模型Deep Seek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光。以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　）
A．Deep Seek B．腾讯元旦
C．微云人工智能 D． 通义千同
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C该图形是轴对称图形，符合题意；
D该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．（2025七下·普宁期末） Deepseek 研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达 0.000000092米，用科学记数法表示 ，则 n 为（　　）
A．-7 B．8 C．-8 D．7
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
∴n=-8
故答案为： C.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤|a|＜10。对于小于1的数，指数n为负数，其绝对值等于小数点向右移动到第一个非零数字后的位数。根据科学记数法的定义，结合题意，作答求解即可.
3．（2025七下·普宁期末） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A. ，计算错误，不符合题意；
B.，计算正确，符合题意；
C.，计算错误，不符合题意；
D.，计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式和平方差公式计算求解即可.
4．（2025七下·普宁期末） 下列事件是必然事件的为（　　）
A．掷一枚骰子，3点朝上
B．任意买一张足球票，座位号是5的倍数
C．明天一定会下雨
D．地球每天都在自转
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 掷一枚骰子，3点朝上，是随机事件，不符合题意；
B：任意买一张足球票，座位号是5的倍数，是随机事件，不符合题意；
C：明天一定会下雨，是随机事件，不符合题意；
D：地球每天都在自转，是必然事件，符合题意；
故答案为： D.
【分析】必然事件是指在一定条件下必然发生的事件。根据必然事件的定义对每个选项逐一判断求解即可.
5．（2025七下·普宁期末） 往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据容器的图片可知容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始高度变化较大，随着时间地推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，所以选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】观察图形，根据容器"上大下小"的形状特点，结合题意，对每个选项逐一判断求解即可.
6．（2025七下·普宁期末） 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）
金额 142.92 元
数量 18 升
单价 7.94 元/升
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：A.金额是随着数量的变化而变化，是变量，不符合题意；
B.数量会根据李师傅加油多少而改变，是变量，不符合题意；
C.单价是不变的量，是常量，符合题意；
D.金额是变量，数量也是变量，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】常量是固定不变的量，变量是变化的量，根据常量和变量的定义，结合表格中的内容求解即可.
7．（2025七下·普宁期末） 在中， ， 中线AD=7， 则AB的长度不可能是(　　)
A．7 B．9 C．17 D．19
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD到点E，使AD=ED，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵AD=ED，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
∵AC+AE＞CE，AE-AC＜CE，
又∵AC=6，AE=2AD=14，
∴8＜AB＜20，
∴AB的长度不可能是7，
故答案为： A.
【分析】根据三角形的中线求出BD=CD，再利用SAS证明△ABD≌△ECD，最后根据三角形的三边关系计算求解即可.
8．（2025七下·普宁期末） 将 n 个边长都为 1 的正方形按如图所示的方法摆放，点 ，···， 分别是正方形对角线的交点，则 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）
A． B． C．1 D．2020
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，正方形ABCD的中心为A1，BC、CD分别与A2所在的正方形交于点E、F，连接A1C，A1D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，
∵∠EA1F=90°，
∴∠EA1C=∠FA1D，
∵∠A1CE=∠A1DF，A1C=A1D，
∴△EA1C≌△FA1D（AAS），
∴，
∴，
同理可得：每个阴影部分的面积都是，
∵2022个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2021个，
∴ 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为，
故答案为： A.
【分析】根据正方形的性质求出∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，再利用AAS证明△EA1C≌△FA1D，最后求重叠部分的面积即可.
9．（2025七下·普宁期末） 自定义运算：，例如：，若 m，n 在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（　　）
A．2028 B．2035
C．2028 或 2035 D．2021 或 2014
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：n＜0＜m，
∴m-n＞m+n，
∵，
∴（m+n）-2（m-n）=7，
∴3n-m=7，
∴
=2（3n-m）+2021
=2×7+2021
=14+2021
=2035，
故答案为：B.
【分析】根据数轴求出n＜0＜m，再求出3n-m=7，最后代入计算求解即可.
10．（2025七下·普宁期末） 如图所示，在中，，BD平分，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当的值最小时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，在BC上截取BE=BQ，连接PE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°，
∵BP=BP，BQ=BE，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE=PQ，
∴AP+PQ=AP+PE，
∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，
∵∠AEB=90°，∠ABE=68°，
∴∠BAE=90°-∠ABE=22°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=124°，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°，再利用SAS证明△PBQ≌△PBE，最后计算求解即可.
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11．（2025七下·普宁期末） 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是　 　.
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当边长为3的边是腰时，底边为：13-3×2=7，
由3+3＜7，可知不满足三角形三边关系；
当边长为3的边是底边时，腰长为（13-3）÷2=5，
由5+3＞5，可知满足三角形三边关系；
综上所述：其腰长是5，
故答案为： 5.
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系计算求解即可.
12．（2025七下·普宁期末） 一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.8厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为　 　 ().
【答案】y=13+0.8x
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 每挂1千克就伸长0.8厘米，
∴挂x千克重物伸长0.8x厘米，
∴弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为：y=13+0.8x，
故答案为： y=13+0.8x.
【分析】根据题意先求出挂x千克重物伸长0.8x厘米，再求函数解析式即可.
13．（2025七下·普宁期末） 若 ，则 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： 2.
【分析】结合题意，利用完全平方公式计算求解即可.
14．（2025七下·普宁期末） 如图，在锐角三角形ABC中，，BE，CD分别为的角平分线BE，CD相交于点F，FG平分，已知，.的面积为2.5，的面积为　 　.
【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB于点M，
∵∠BAC=60°， BE，CD分别为的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=×（180°-∠BAC）=60°，FM=FN，
∴∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，
∴∠BFD=60°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=∠BFC=60°，
∴∠BFD=∠BFG，
∵BF=BF，∠DBF=∠GBF，
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD=BG，
同理可得：△CEF≌△CGF（ASA），
∴CE=CG，
∴BC=BG+CG=BD+CE，
∵，，
∴BC=BG+CG=5，
∵的面积为2.5，
∴BC·FN=2.5，
∴FN=1，
∴FM=1，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据角平分线的定义求出∠BFG=∠BFC=60°，再利用ASA证明△BDF≌△BGF，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
15．（2025七下·普宁期末） 如图所示，在中，，，点D为射线CB上的动点，，且，BE与AC所在的直线交于点P，若，则=　 　.
【答案】或3
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，当点B在CD上时，过点E作EH⊥AC，交AC的延长线于点H，
∵AE⊥AD，EH⊥AC，
∴∠DAE=90°，∠AHE=90°，
∴∠DAC+∠EAH=∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠DAC+∠AEH，
∵∠ACD=∠AHE，AD=AE，
∴△ACD≌△EHA（AAS），
∴AC=EH，DC=AH，
∵AC=BC，
∴BC=EH，
∵∠CPB=∠HPE，∠BCP=∠EHP=90°，
∴△CBP≌HEP（AAS），
∴PC=HP，
∵，
∴设PC=3x，则AC=8x，
∴CD=AH=8x+3x+3x=14x，
∴BD=CD-BC=14x-8x=6x，
∴，
如图所示，当点B在CD的延长线上，作EM⊥AP于点M，
同理可得：AM=CD，CP=MP，
设CP=MP=3x，AC=BC=8x，AM=CD=2x，
∴BD=BC-CD=6x，
∴，
综上所述，或3，
故答案为： 或3.
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等计算求解即可.
三、解答题(一)(共3小题，每小题7分，共21分)
16．（2025七下·普宁期末） 先化简，再求值：，其中，
【答案】解： 原式=
=
=16x-8y，
∵ ，
∴x-1=0，2y+1=0，
解得：x=1，，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再求出x=1，，最后将x和y的值代入计算求解即可.
17．（2025七下·普宁期末） 如图，已知中，
（1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC、AB于点D、E（不写作法，保留作图痕迹并标明字母）；
（2） 连接AD，若，的周长是18，求的周长.
【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求，
（2）解：连接AD，
∵的周长是18，
∴AB+AC+BC=8+AC+BC=18，
∴AC+BC=10，
∵直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图求解即可；
（2）根据题意先求出AB+AC+BC=8+AC+BC=18，再根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，最后计算求解即可.
18．（2025七下·普宁期末） 在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示.
游戏规定：随意转动转盘，
（1） 指针指到1的可能性是多少？
（2） 若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去，若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
【答案】（1）解：∵ 将一个转盘（均质的）均分成6份，
∴指针指到1的可能性是.
（2）解：不会同意，因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小芳去的可能性是，所以游戏不公平.
【知识点】游戏公平性；事件发生的可能性
【解析】【分析】（1）根据转盘（均质的）均分成6份，求解即可；
（2）判断游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，根据题意，计算求解即可.
四、解答题(二)(共3小题，每小题9分，共27分)
19．（2025七下·普宁期末） 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，，，.
（1） 求证：.
（2） 若，，求的度数.
【答案】（1）证明：∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
∵AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠AEB=∠DFC。
∴AE//DF.
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠A=72°，
∴∠AEC=∠A+∠B=72°+30°=102°.
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意先求出BF+EF=CE+EF，再利用SAS证明△ABE≌△DCF，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠A=∠D，∠B=∠C=30°，再求出∠A=72°，最后计算求解即可.
20．（2025七下·普宁期末） 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题.
（1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示.
（2）图2，图3中空白部分面积，分别为19，68，求ab值.
【答案】（1）解：由题意可得： ；
（2）解：由题意可得：①，
②，
由②-①×2，得ab = 15.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）结合图形可知，等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
（2）先用a，b求出，，再计算求解即可.
21．（2025七下·普宁期末） 宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义.试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距1260千米，两车同时出发，两车出发后3小时相遇，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）普通列车到达终点共需　 　小时，它的速度是　 　千米/小时；
（2）求动车的速度；
（3）动车行驶多长时间与普通列车相距140千米？
【答案】（1）14；90
（2）解：设动车的速度为x千米/小时，
由题意可得：3x+3×90=1260，
解得：x=330，
即动车的速度为330千米/小时.
（3）解：①当相遇前动车与普通列车相距140千米，
由题意可得：（1260-140）÷（330+90）=（小时）；
②当相遇后动车与普通列车相距140千米时，
当动车到达终点时用时1260÷330=（小时），
此时两车相距1260-90×=＞140，
所以两车相距140千米是在动车到达终点之前，
由题意可得：140÷（330+90）+3=（小时）
综上所述： 动车行驶小时或小时与普通列车相距140千米.
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由x=0时，y=1260，所以两地相距1260千米，
由函数图象可知x=14时，普通列车到达西安，
即普通列出到达终点共需14小时，
所以它的速度是1260÷14=90（千米/小时），
故答案为：14；90.
【分析】（1）先求出两地相距1260千米，再根据速度=路程÷时间计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出3x+3×90=1260，再解方程计算求解即可；
（3）分两种情况：①当相遇前动车与普通列车相距140千米，②当相遇后动车与普通列车相距140千米时，再结合题意计算求解即可.
五、解答题(三)(共2小题，第22题13分，第2314分，共27分)
22．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为　 　度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
23．（2025七下·普宁期末） 【问题背景】
如图1，在中，已知，，AH是的高，，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒
（1）【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD=　 　cm，CE=　 　cm
（2） 当t为多少时，的面积为？
（3）【深入探究】如图2，当点D在线段BC上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？
（4） 请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且时，CD与CE有什么数量关系？请说明理由.
【答案】（1）3t；2t
（2）解： 当0＜t＜时，点D在BC上，BD=（8-3t）cm，
∵，
∴2（8-3t）=12，
解得：；
当t≥时，点D在CB的延长线上，BD=（3t-8）cm，
∴，
解得：，
综上所述：当 t 为或时， 的面积为 ；
（3）解：与全等，理由如下：
如图3，∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴当BD=CE时，△ABD≌△ACE（SAS），
∴8-3t=2t，
解得：，
∴当 时， 与全等；
此时 ；
（4）解：或，理由如下：
如图所示：
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠ACE=∠ACB+90°=135°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE，
∴3t-8=2t，
解得：t=8，
∴CD=3t=24cm，CE=2t=16cm，
∴CD=3CE或.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：CD=3tcm，CE=2tcm，
故答案为：3t；2t.
【分析】（1）根据速度×时间=路程计算求解即可；
（2）分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出∠BAD=∠CAE，再求出△ABD≌△ACE，最后计算求解即可；
（4）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再利用ASA证明△ABD≌△ACE，最后计算求解即可.
1 / 1广东省揭阳市普宁市华美实验学校2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025七下·普宁期末） 国产人工智能大模型Deep Seek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光。以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　）
A．Deep Seek B．腾讯元旦
C．微云人工智能 D． 通义千同
2．（2025七下·普宁期末） Deepseek 研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达 0.000000092米，用科学记数法表示 ，则 n 为（　　）
A．-7 B．8 C．-8 D．7
3．（2025七下·普宁期末） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·普宁期末） 下列事件是必然事件的为（　　）
A．掷一枚骰子，3点朝上
B．任意买一张足球票，座位号是5的倍数
C．明天一定会下雨
D．地球每天都在自转
5．（2025七下·普宁期末） 往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·普宁期末） 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）
金额 142.92 元
数量 18 升
单价 7.94 元/升
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
7．（2025七下·普宁期末） 在中， ， 中线AD=7， 则AB的长度不可能是(　　)
A．7 B．9 C．17 D．19
8．（2025七下·普宁期末） 将 n 个边长都为 1 的正方形按如图所示的方法摆放，点 ，···， 分别是正方形对角线的交点，则 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）
A． B． C．1 D．2020
9．（2025七下·普宁期末） 自定义运算：，例如：，若 m，n 在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（　　）
A．2028 B．2035
C．2028 或 2035 D．2021 或 2014
10．（2025七下·普宁期末） 如图所示，在中，，BD平分，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当的值最小时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11．（2025七下·普宁期末） 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是　 　.
12．（2025七下·普宁期末） 一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.8厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为　 　 ().
13．（2025七下·普宁期末） 若 ，则 的值是　 　.
14．（2025七下·普宁期末） 如图，在锐角三角形ABC中，，BE，CD分别为的角平分线BE，CD相交于点F，FG平分，已知，.的面积为2.5，的面积为　 　.
15．（2025七下·普宁期末） 如图所示，在中，，，点D为射线CB上的动点，，且，BE与AC所在的直线交于点P，若，则=　 　.
三、解答题(一)(共3小题，每小题7分，共21分)
16．（2025七下·普宁期末） 先化简，再求值：，其中，
17．（2025七下·普宁期末） 如图，已知中，
（1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC、AB于点D、E（不写作法，保留作图痕迹并标明字母）；
（2） 连接AD，若，的周长是18，求的周长.
18．（2025七下·普宁期末） 在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示.
游戏规定：随意转动转盘，
（1） 指针指到1的可能性是多少？
（2） 若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去，若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
四、解答题(二)(共3小题，每小题9分，共27分)
19．（2025七下·普宁期末） 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，，，.
（1） 求证：.
（2） 若，，求的度数.
20．（2025七下·普宁期末） 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题.
（1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示.
（2）图2，图3中空白部分面积，分别为19，68，求ab值.
21．（2025七下·普宁期末） 宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义.试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距1260千米，两车同时出发，两车出发后3小时相遇，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）普通列车到达终点共需　 　小时，它的速度是　 　千米/小时；
（2）求动车的速度；
（3）动车行驶多长时间与普通列车相距140千米？
五、解答题(三)(共2小题，第22题13分，第2314分，共27分)
22．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为　 　度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
23．（2025七下·普宁期末） 【问题背景】
如图1，在中，已知，，AH是的高，，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒
（1）【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD=　 　cm，CE=　 　cm
（2） 当t为多少时，的面积为？
（3）【深入探究】如图2，当点D在线段BC上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？
（4） 请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且时，CD与CE有什么数量关系？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C该图形是轴对称图形，符合题意；
D该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
∴n=-8
故答案为： C.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤|a|＜10。对于小于1的数，指数n为负数，其绝对值等于小数点向右移动到第一个非零数字后的位数。根据科学记数法的定义，结合题意，作答求解即可.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A. ，计算错误，不符合题意；
B.，计算正确，符合题意；
C.，计算错误，不符合题意；
D.，计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式和平方差公式计算求解即可.
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 掷一枚骰子，3点朝上，是随机事件，不符合题意；
B：任意买一张足球票，座位号是5的倍数，是随机事件，不符合题意；
C：明天一定会下雨，是随机事件，不符合题意；
D：地球每天都在自转，是必然事件，符合题意；
故答案为： D.
【分析】必然事件是指在一定条件下必然发生的事件。根据必然事件的定义对每个选项逐一判断求解即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据容器的图片可知容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始高度变化较大，随着时间地推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，所以选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】观察图形，根据容器"上大下小"的形状特点，结合题意，对每个选项逐一判断求解即可.
6．【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：A.金额是随着数量的变化而变化，是变量，不符合题意；
B.数量会根据李师傅加油多少而改变，是变量，不符合题意；
C.单价是不变的量，是常量，符合题意；
D.金额是变量，数量也是变量，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】常量是固定不变的量，变量是变化的量，根据常量和变量的定义，结合表格中的内容求解即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD到点E，使AD=ED，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵AD=ED，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
∵AC+AE＞CE，AE-AC＜CE，
又∵AC=6，AE=2AD=14，
∴8＜AB＜20，
∴AB的长度不可能是7，
故答案为： A.
【分析】根据三角形的中线求出BD=CD，再利用SAS证明△ABD≌△ECD，最后根据三角形的三边关系计算求解即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，正方形ABCD的中心为A1，BC、CD分别与A2所在的正方形交于点E、F，连接A1C，A1D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，
∵∠EA1F=90°，
∴∠EA1C=∠FA1D，
∵∠A1CE=∠A1DF，A1C=A1D，
∴△EA1C≌△FA1D（AAS），
∴，
∴，
同理可得：每个阴影部分的面积都是，
∵2022个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2021个，
∴ 2022 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为，
故答案为： A.
【分析】根据正方形的性质求出∠A1CB=∠A1DA2=45°，A1C=A1D，∠CA1D=90°，再利用AAS证明△EA1C≌△FA1D，最后求重叠部分的面积即可.
9．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：n＜0＜m，
∴m-n＞m+n，
∵，
∴（m+n）-2（m-n）=7，
∴3n-m=7，
∴
=2（3n-m）+2021
=2×7+2021
=14+2021
=2035，
故答案为：B.
【分析】根据数轴求出n＜0＜m，再求出3n-m=7，最后代入计算求解即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，在BC上截取BE=BQ，连接PE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°，
∵BP=BP，BQ=BE，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE=PQ，
∴AP+PQ=AP+PE，
∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，
∵∠AEB=90°，∠ABE=68°，
∴∠BAE=90°-∠ABE=22°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=124°，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°，再利用SAS证明△PBQ≌△PBE，最后计算求解即可.
11．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当边长为3的边是腰时，底边为：13-3×2=7，
由3+3＜7，可知不满足三角形三边关系；
当边长为3的边是底边时，腰长为（13-3）÷2=5，
由5+3＞5，可知满足三角形三边关系；
综上所述：其腰长是5，
故答案为： 5.
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系计算求解即可.
12．【答案】y=13+0.8x
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 每挂1千克就伸长0.8厘米，
∴挂x千克重物伸长0.8x厘米，
∴弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为：y=13+0.8x，
故答案为： y=13+0.8x.
【分析】根据题意先求出挂x千克重物伸长0.8x厘米，再求函数解析式即可.
13．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： 2.
【分析】结合题意，利用完全平方公式计算求解即可.
14．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB于点M，
∵∠BAC=60°， BE，CD分别为的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=×（180°-∠BAC）=60°，FM=FN，
∴∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，
∴∠BFD=60°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=∠BFC=60°，
∴∠BFD=∠BFG，
∵BF=BF，∠DBF=∠GBF，
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD=BG，
同理可得：△CEF≌△CGF（ASA），
∴CE=CG，
∴BC=BG+CG=BD+CE，
∵，，
∴BC=BG+CG=5，
∵的面积为2.5，
∴BC·FN=2.5，
∴FN=1，
∴FM=1，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据角平分线的定义求出∠BFG=∠BFC=60°，再利用ASA证明△BDF≌△BGF，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
15．【答案】或3
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，当点B在CD上时，过点E作EH⊥AC，交AC的延长线于点H，
∵AE⊥AD，EH⊥AC，
∴∠DAE=90°，∠AHE=90°，
∴∠DAC+∠EAH=∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠DAC+∠AEH，
∵∠ACD=∠AHE，AD=AE，
∴△ACD≌△EHA（AAS），
∴AC=EH，DC=AH，
∵AC=BC，
∴BC=EH，
∵∠CPB=∠HPE，∠BCP=∠EHP=90°，
∴△CBP≌HEP（AAS），
∴PC=HP，
∵，
∴设PC=3x，则AC=8x，
∴CD=AH=8x+3x+3x=14x，
∴BD=CD-BC=14x-8x=6x，
∴，
如图所示，当点B在CD的延长线上，作EM⊥AP于点M，
同理可得：AM=CD，CP=MP，
设CP=MP=3x，AC=BC=8x，AM=CD=2x，
∴BD=BC-CD=6x，
∴，
综上所述，或3，
故答案为： 或3.
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等计算求解即可.
16．【答案】解： 原式=
=
=16x-8y，
∵ ，
∴x-1=0，2y+1=0，
解得：x=1，，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再求出x=1，，最后将x和y的值代入计算求解即可.
17．【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求，
（2）解：连接AD，
∵的周长是18，
∴AB+AC+BC=8+AC+BC=18，
∴AC+BC=10，
∵直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图求解即可；
（2）根据题意先求出AB+AC+BC=8+AC+BC=18，再根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，最后计算求解即可.
18．【答案】（1）解：∵ 将一个转盘（均质的）均分成6份，
∴指针指到1的可能性是.
（2）解：不会同意，因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小芳去的可能性是，所以游戏不公平.
【知识点】游戏公平性；事件发生的可能性
【解析】【分析】（1）根据转盘（均质的）均分成6份，求解即可；
（2）判断游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，根据题意，计算求解即可.
19．【答案】（1）证明：∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
∵AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠AEB=∠DFC。
∴AE//DF.
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠A=72°，
∴∠AEC=∠A+∠B=72°+30°=102°.
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意先求出BF+EF=CE+EF，再利用SAS证明△ABE≌△DCF，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠A=∠D，∠B=∠C=30°，再求出∠A=72°，最后计算求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意可得： ；
（2）解：由题意可得：①，
②，
由②-①×2，得ab = 15.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）结合图形可知，等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
（2）先用a，b求出，，再计算求解即可.
21．【答案】（1）14；90
（2）解：设动车的速度为x千米/小时，
由题意可得：3x+3×90=1260，
解得：x=330，
即动车的速度为330千米/小时.
（3）解：①当相遇前动车与普通列车相距140千米，
由题意可得：（1260-140）÷（330+90）=（小时）；
②当相遇后动车与普通列车相距140千米时，
当动车到达终点时用时1260÷330=（小时），
此时两车相距1260-90×=＞140，
所以两车相距140千米是在动车到达终点之前，
由题意可得：140÷（330+90）+3=（小时）
综上所述： 动车行驶小时或小时与普通列车相距140千米.
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由x=0时，y=1260，所以两地相距1260千米，
由函数图象可知x=14时，普通列车到达西安，
即普通列出到达终点共需14小时，
所以它的速度是1260÷14=90（千米/小时），
故答案为：14；90.
【分析】（1）先求出两地相距1260千米，再根据速度=路程÷时间计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出3x+3×90=1260，再解方程计算求解即可；
（3）分两种情况：①当相遇前动车与普通列车相距140千米，②当相遇后动车与普通列车相距140千米时，再结合题意计算求解即可.
22．【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
23．【答案】（1）3t；2t
（2）解： 当0＜t＜时，点D在BC上，BD=（8-3t）cm，
∵，
∴2（8-3t）=12，
解得：；
当t≥时，点D在CB的延长线上，BD=（3t-8）cm，
∴，
解得：，
综上所述：当 t 为或时， 的面积为 ；
（3）解：与全等，理由如下：
如图3，∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴当BD=CE时，△ABD≌△ACE（SAS），
∴8-3t=2t，
解得：，
∴当 时， 与全等；
此时 ；
（4）解：或，理由如下：
如图所示：
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠ACE=∠ACB+90°=135°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE，
∴3t-8=2t，
解得：t=8，
∴CD=3t=24cm，CE=2t=16cm，
∴CD=3CE或.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：CD=3tcm，CE=2tcm，
故答案为：3t；2t.
【分析】（1）根据速度×时间=路程计算求解即可；
（2）分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出∠BAD=∠CAE，再求出△ABD≌△ACE，最后计算求解即可；
（4）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再利用ASA证明△ABD≌△ACE，最后计算求解即可.
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