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广东省汕头市潮南区司马浦公校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·潮南月考） 下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：选项A，B和D的图都是对于x的确定的值y有多个值与之对应，所以选项A，B和D不是函数，
选项C满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据函数的概念对每个选项逐一判断求解即可.
2．（2025八下·潮南月考） 下列几组数中，是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．8，12，15 C．9，15，17 D．10，24，26
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是勾股数，不符合题意；
C.，不是勾股数，不符合题意；
D.，能构成直角三角形，是勾股数，符合题意；
故答案为： D.
【分析】牢记勾股数满足的两个条件：①三个正整数；②满足，再对每个选项逐一判断求解即可.
3．（2025八下·潮南月考） 已知一次函数 的图象经过 (　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 ，
∴k=2＞0，b=1＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为： A.
【分析】根据题意先求出k=2＞0，b=1＞0，再判断求解即可.
4．（2025八下·潮南月考） A，B两点被一座小山隔开，在AB外的平地选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，现测得，则AB长为（　　）
A．30 m B．60 m C．90 m D．120 m
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=60m，
∴AB=2DE=120m，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线求出DE是△ABC的中位线，再求出AB=2DE，最后计算求解即可.
5．（2025八下·潮南月考） 若点， 在一次函数 的图象上，且 ，则下列 k 的值可能为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 点， 在一次函数 的图象上，且 ，
∴y随x的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得：k＜1，
∴k的值可能为0，
故答案为：A .
【分析】根据一次函数的性质求出y随x的增大而减小，再求出k-1＜0，最后计算求解即可.
6．（2025八下·潮南月考） 某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（　　）
年龄/岁 12 13 14 15
人数 2 3 10 7
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：（12×2+13×3+14×10+15×7）÷（2+3+10+7）=14（岁），
即该校男子足球队队员的平均年龄是14岁，
故答案为：C.
【分析】结合表格中的数据，利用加权平均数的计算公式计算求解即可.
7．（2025八下·潮南月考） 下列关于二次根式的说法不正确的是（　　）
A．是2的算术平方根 B．
C．与是同类二次根式 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A.∵，
∴是2的算术平方根 ，说法正确，不符合题意；
B. ，计算正确，不符合题意；
C.∵，，
∴ 与是同类二次根式，说法正确，不符合题意；
D. ：，计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的相关定义和运算法则，对每个选项逐一判断求解即可.
8．（2025八下·潮南月考） 关于正比例函数 的描述，错误的是（　　）
A．图象是一条过原点的直线 B．y 随 x 的增大而增大
C．图象过 D．图象过一、三象限
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A.∵当x=0时，y=0，
∴ 图象是一条过原点的直线，
∴该选项描述正确；
B.∵k=5＞0，
∴ y 随 x 的增大而增大，
∴该选项描述正确；
C.∵ 正比例函数 ，
∴当x=1时，y=5×1=5；
∴正比例函数 不经过 ，
∴该选项说法错误，
D.∵k=5＞0
∴ 图象过一、三象限，
∴该选项说法正确，
故答案为： C.
【分析】根据一次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可.
9．（2025八下·潮南月考） 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A. ∵，
∴，
∴该选项能用来验证勾股定理；
B.该选项不能用来验证勾股定理；
C.∵，
∴，
∴该选项能用来验证勾股定理；
D.∵，
∴，
∴该选项能用来验证勾股定理；
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用利用三角形和正方形等面积公式看是否能求出即可作答.
10．（2025八下·潮南月考） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则OH的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB，AO=OC，
∵OA=12，
∴AC=2OA=24，
∵，
∴，
∴BD=20，
∵，
∴∠BHD=90°，
∵OD=OB，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质求出AC⊥BD，OD=OB，AO=OC，再利用菱形的面积公式求出，最后计算求解即可.
二、填空题(本大题共5小题)
11．（2025八下·潮南月考）化简： =　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的性质和化简，计算得到答案即可。
12．（2025八下·潮南月考） 一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为　 　.
【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 一直角三角形的两直角边长为12和5，
∴斜边长为：，
故答案为： 13.
【分析】结合题意，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长即可.
13．（2025八下·潮南月考） 如图，在中，，E是BC边上一点，BE=CD，连接AE，则的度数为　 　.
【答案】65°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∵ BE=CD，
∴AB=BE，
∵，
∴∠BAE=∠BEA=65°，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA=65°，
故答案为：65°.
【分析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，AD//BC，再求出∠BAE=∠BEA=65°，最后根据平行线的性质计算求解即可.
14．（2025八下·潮南月考） 已知一组数据：2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的方差为　 　.
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵ 一组数据：2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，
∴x=4，
∴这组数据的平均数为：，
∴
故答案为： .
【分析】根据题意先求出x=4，再求出这组数据的平均数为3，最后根据方差公式计算求解即可.
15．（2025八下·潮南月考） 如图①，在中，，，动点P由点A出发，沿的路径匀速运动，设点P到AC的距离为s，运动的时间为t，s与t的函数图象如图②所示，则BC的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；通过函数图象获取信息；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵ 在中，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当点P在线段AB上时，s=PA，
∴s随x的增大而增大，当点P和点B重合时，PA最大，
∴AB=1，
∴AC=1，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出△ABC是等腰直角三角形，再求出AB=1，最后利用勾股定理计算求解即可.
三、解答题(一)(本大题共3小题)
16．（2025八下·潮南月考） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3，3)，点B(-3，1)，点C(1，-1).
（1） 求AB的长；
（2） 求证：.
【答案】（1）解： 点A(3，3)，点B(-3，1)，
；
（2）证明：A(3，3)，B(-3，1)，C(1，-1)，
由勾股定理同理可得，，；
，，
；
，
；
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据勾股定理求出，，，再求出，最后证明求解即可.
17．（2025八下·潮南月考） 计算：.
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】利用二次根式的性质，绝对值，零指数幂等计算求解即可.
18．（2025八下·潮南月考） 如图，在四边形 ABCD 中，，，对角线 AC，BD 交于点 O.
（1） 求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 若 ，，，则 AC 的长为　 　；BD 的长为　 　.
【答案】（1）证明： ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）4；
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴，
∴，BD=2OB，
∴，
∴BD=2OB=，
故答案为：4；.
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再根据平行线的判定方法求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，再利用勾股定理求出AC和OB的值，最后计算求解即可.
四、解答题(二)(本大题共3小题)
19．（2025八下·潮南月考） 目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注，有关人员开展了对“ADS”、“FSD”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息：
抽取的“ADS”款智驾系统的使用满意度评分数据：
57， 69， 70， 78， 79， 80， 88， 89， 91， 91， 93， 93， 93， 93， 94， 97， 99， 100.
抽取的“FSD”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85， 87， 89， 89， 89， 89， 90.
抽取的“ADS”、“FSD”两款智驾系统的使用满意度评分统计表：
智驾系统 平均数 中位数 众数
“ADS”款 87 92 a
“FSD”款 87 b 89
（1）填空：=　 　； =　 　； =　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次调查中，有840人对“ADS”智驾系统进行评分，有1100人对“FSD”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？
【答案】（1）93；89；15
（2）解： 依题意，“ADS”款智驾系统更受用户喜爱，理由如下：
在平均数都是87分的前提下，但“ADS”款的中位数和众数都比“FSD”款的要高，
∴“ADS”款智驾系统更受用户喜爱
（3）解： 在此次调查中，有840人对“ADS”智驾系统进行评分，有1100人对“FSD”智驾系统进行评分，
（人）， （人），
∴385+504=889(人)
即估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有889人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由抽取的“ADS”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57， 69， 70， 78， 79， 80， 88， 89， 91， 91， 93， 93， 93， 93， 94， 97， 99， 100，可得93分出现次数最多，
∴a=93，
由扇形统计图可得：35%×20=7，
∵抽取的“FSD”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85， 87， 89， 89， 89， 89， 90，
∴，
∴b=89，
∵，
∴m%=100%-35%-35%-5%-10%=15%，
∴m=15，
故答案为：93；89；15.
【分析】（1）结合扇形统计图中的数据，结合题意，计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数作答求解即可；
（3）根据题意先求出（人）， （人），再计算求解即可.
20．（2025八下·潮南月考） 如图，直线与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，直线与 y 轴相交于点 C(0，1)，与直线 相交于点 D(1，3).
（1）① 求线段 AB 的长度；
② 方程组的解为 ▲ ；
（2） 结合图形直接写出 的解集：　 　；
（3） 求 的面积.
【答案】（1）解： ①在中，
当时，；当时，，
.
，
线段AB的长度为
②；
（2）
（3）解：，
，
，
的面积为
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵ 直线 和 直线 相交于点D，
又∵点D的坐标为（1，3），
∴ 方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵ ，
∴的函数值大于0，
则此时x的取值范围是x＜4，
∵，
∴x＞1，
综上所述， 的解集为.
【分析】（1）①根据题意先求出点A和B的坐标，再求出OA和OB的长，最后利用勾股定理计算求解即可；
②观察函数图象求出点D的坐标为（1，3），再求解即可；
（2）根据题意先求出x的取值范围是x＜4，再求出x＞1，最后求解集即可；
（3）根据点B和点C的坐标求出BC=3，再利用三角形的面积公式计算求解即可.
21．（2025八下·潮南月考） 综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.
（1） 若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.
（2） 若畅畅的方案中正方形②的边长为 dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.
（3） 若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，则　 　的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)
【答案】（1）解：依题意，底面正方形①的边长为
裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为
（2）解：四个直角处的小正方形边长为
长方体铁箱的宽为，长为
无盖长方体铁箱的体积为
（3）欣欣
【知识点】二次根式的实际应用；几何体的展开图
【解析】【解答】解：（3）∵ 这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，
∴欣欣的方案中底面正方形①的边长是，
底面积：，
体积：，
畅畅的方案中底面正方形②的边长是，
∴制作的无盖长方体铁箱的宽为，
底面积：，
体积：，
∵，
∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大，
故答案为：欣欣.
【分析】（1）根据题意先求出底面正方形①的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出长方体铁箱的宽为，再求出长为5dm，最后求体积即可；
（3）根据题意，先求出欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积，再求出畅畅的，最后比较大小求解即可.
22．（2025八下·潮南月考） 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ，求证：；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形，，，求四边形 EFMN 周长的最小值.
【答案】（1）解： ∵EM垂直平分BD，
∴，，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BMDE是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作，使得，连接PQ，MO，
∵矩形ABCD，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△QPM中，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（3）解： 如图，延长 EN 交 BC 的延长线于 H，则，
又平行四边形 MNEF 中，，而，
，
，
，
如图，作点 F关于 BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则，，即的最小值为F'N的长，
由勾股定理可得，，
的最小值为，
∴平行四边形 EFMN 周长的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，， 再利用全等三角形的判定方法证明，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出F'N的值，最后计算求解即可.
23．（2025八下·潮南月考） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点M(4，a)，直线AB，CD分别交坐标轴于点A、B、C、D.
（1） 求直线CD的函数表达式，并求出点A、B、C、D的坐标；
（2） 如图2，点P为线段CD上的一个动点，将BP绕点B逆时针旋转得到BQ.点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3） 直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 已知点 在直线 的图象上，
，，
把点 代入直线 ，得 ，
解得，，
直线 CD 的函数表达式为：；
在直线 中，令 ，则 ，，
令 ，解得 ，，
直线 中，令 ，则 ，
，
令 ，解得 ，
（2）解：如图所示，过点P作轴于点R，过点Q作轴于点S，
∵旋转，
，，
，且，
，
，；
点P在直线的图象上，
设，则，
，，，
；
令，，
，，
，整理得，；
或：当P与D重合时，得Q(5，3)；
当P与C重合时，得Q(，
∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：
（3）存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）解： 存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 ；理由如下：
在直线 中，令 ，则 ，
∴，则 ，
∵ 点 F 是直线 上有任意一点，
∴ 设 ，
第一种情况，如图所示，以 BD、BF 为边，四边形 BDNF 是菱形，过点 F 作 轴于点 T，
则 ，，
∴，，
∴，即 ，
解得，，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
第二种情况，如图所示，以 BF 为对角线，四边形 BDFN 是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
点 F 于点 M 重合；
∴F(4，1)，
∴N(4，6)；
第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形BFDN是菱形，连接FN交BD于点W，
，
，
四边形BFDN是菱形，
，，
点F的纵坐标为，即，
解得，，
，
；
综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或.
【分析】（1）根据题意先求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线 CD 的函数表达式为：，最后计算求解即可；
（2）利用AAS证明，再求出点Q的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出BD的值，再分类讨论，结合函数图象，利用菱形的性质等计算求解即可.
1 / 1广东省汕头市潮南区司马浦公校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·潮南月考） 下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·潮南月考） 下列几组数中，是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．8，12，15 C．9，15，17 D．10，24，26
3．（2025八下·潮南月考） 已知一次函数 的图象经过 (　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
4．（2025八下·潮南月考） A，B两点被一座小山隔开，在AB外的平地选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，现测得，则AB长为（　　）
A．30 m B．60 m C．90 m D．120 m
5．（2025八下·潮南月考） 若点， 在一次函数 的图象上，且 ，则下列 k 的值可能为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2025八下·潮南月考） 某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（　　）
年龄/岁 12 13 14 15
人数 2 3 10 7
A．12 B．13 C．14 D．15
7．（2025八下·潮南月考） 下列关于二次根式的说法不正确的是（　　）
A．是2的算术平方根 B．
C．与是同类二次根式 D．
8．（2025八下·潮南月考） 关于正比例函数 的描述，错误的是（　　）
A．图象是一条过原点的直线 B．y 随 x 的增大而增大
C．图象过 D．图象过一、三象限
9．（2025八下·潮南月考） 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·潮南月考） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则OH的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
二、填空题(本大题共5小题)
11．（2025八下·潮南月考）化简： =　 　．
12．（2025八下·潮南月考） 一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为　 　.
13．（2025八下·潮南月考） 如图，在中，，E是BC边上一点，BE=CD，连接AE，则的度数为　 　.
14．（2025八下·潮南月考） 已知一组数据：2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的方差为　 　.
15．（2025八下·潮南月考） 如图①，在中，，，动点P由点A出发，沿的路径匀速运动，设点P到AC的距离为s，运动的时间为t，s与t的函数图象如图②所示，则BC的长为　 　.
三、解答题(一)(本大题共3小题)
16．（2025八下·潮南月考） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3，3)，点B(-3，1)，点C(1，-1).
（1） 求AB的长；
（2） 求证：.
17．（2025八下·潮南月考） 计算：.
18．（2025八下·潮南月考） 如图，在四边形 ABCD 中，，，对角线 AC，BD 交于点 O.
（1） 求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 若 ，，，则 AC 的长为　 　；BD 的长为　 　.
四、解答题(二)(本大题共3小题)
19．（2025八下·潮南月考） 目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注，有关人员开展了对“ADS”、“FSD”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息：
抽取的“ADS”款智驾系统的使用满意度评分数据：
57， 69， 70， 78， 79， 80， 88， 89， 91， 91， 93， 93， 93， 93， 94， 97， 99， 100.
抽取的“FSD”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85， 87， 89， 89， 89， 89， 90.
抽取的“ADS”、“FSD”两款智驾系统的使用满意度评分统计表：
智驾系统 平均数 中位数 众数
“ADS”款 87 92 a
“FSD”款 87 b 89
（1）填空：=　 　； =　 　； =　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次调查中，有840人对“ADS”智驾系统进行评分，有1100人对“FSD”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？
20．（2025八下·潮南月考） 如图，直线与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，直线与 y 轴相交于点 C(0，1)，与直线 相交于点 D(1，3).
（1）① 求线段 AB 的长度；
② 方程组的解为 ▲ ；
（2） 结合图形直接写出 的解集：　 　；
（3） 求 的面积.
21．（2025八下·潮南月考） 综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.
（1） 若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.
（2） 若畅畅的方案中正方形②的边长为 dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.
（3） 若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，则　 　的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)
22．（2025八下·潮南月考） 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ，求证：；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形，，，求四边形 EFMN 周长的最小值.
23．（2025八下·潮南月考） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点M(4，a)，直线AB，CD分别交坐标轴于点A、B、C、D.
（1） 求直线CD的函数表达式，并求出点A、B、C、D的坐标；
（2） 如图2，点P为线段CD上的一个动点，将BP绕点B逆时针旋转得到BQ.点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3） 直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：选项A，B和D的图都是对于x的确定的值y有多个值与之对应，所以选项A，B和D不是函数，
选项C满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据函数的概念对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是勾股数，不符合题意；
C.，不是勾股数，不符合题意；
D.，能构成直角三角形，是勾股数，符合题意；
故答案为： D.
【分析】牢记勾股数满足的两个条件：①三个正整数；②满足，再对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 ，
∴k=2＞0，b=1＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为： A.
【分析】根据题意先求出k=2＞0，b=1＞0，再判断求解即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=60m，
∴AB=2DE=120m，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线求出DE是△ABC的中位线，再求出AB=2DE，最后计算求解即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 点， 在一次函数 的图象上，且 ，
∴y随x的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得：k＜1，
∴k的值可能为0，
故答案为：A .
【分析】根据一次函数的性质求出y随x的增大而减小，再求出k-1＜0，最后计算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：（12×2+13×3+14×10+15×7）÷（2+3+10+7）=14（岁），
即该校男子足球队队员的平均年龄是14岁，
故答案为：C.
【分析】结合表格中的数据，利用加权平均数的计算公式计算求解即可.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A.∵，
∴是2的算术平方根 ，说法正确，不符合题意；
B. ，计算正确，不符合题意；
C.∵，，
∴ 与是同类二次根式，说法正确，不符合题意；
D. ：，计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的相关定义和运算法则，对每个选项逐一判断求解即可.
8．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A.∵当x=0时，y=0，
∴ 图象是一条过原点的直线，
∴该选项描述正确；
B.∵k=5＞0，
∴ y 随 x 的增大而增大，
∴该选项描述正确；
C.∵ 正比例函数 ，
∴当x=1时，y=5×1=5；
∴正比例函数 不经过 ，
∴该选项说法错误，
D.∵k=5＞0
∴ 图象过一、三象限，
∴该选项说法正确，
故答案为： C.
【分析】根据一次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A. ∵，
∴，
∴该选项能用来验证勾股定理；
B.该选项不能用来验证勾股定理；
C.∵，
∴，
∴该选项能用来验证勾股定理；
D.∵，
∴，
∴该选项能用来验证勾股定理；
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用利用三角形和正方形等面积公式看是否能求出即可作答.
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB，AO=OC，
∵OA=12，
∴AC=2OA=24，
∵，
∴，
∴BD=20，
∵，
∴∠BHD=90°，
∵OD=OB，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质求出AC⊥BD，OD=OB，AO=OC，再利用菱形的面积公式求出，最后计算求解即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的性质和化简，计算得到答案即可。
12．【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 一直角三角形的两直角边长为12和5，
∴斜边长为：，
故答案为： 13.
【分析】结合题意，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长即可.
13．【答案】65°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∵ BE=CD，
∴AB=BE，
∵，
∴∠BAE=∠BEA=65°，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA=65°，
故答案为：65°.
【分析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，AD//BC，再求出∠BAE=∠BEA=65°，最后根据平行线的性质计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵ 一组数据：2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，
∴x=4，
∴这组数据的平均数为：，
∴
故答案为： .
【分析】根据题意先求出x=4，再求出这组数据的平均数为3，最后根据方差公式计算求解即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；通过函数图象获取信息；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵ 在中，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当点P在线段AB上时，s=PA，
∴s随x的增大而增大，当点P和点B重合时，PA最大，
∴AB=1，
∴AC=1，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出△ABC是等腰直角三角形，再求出AB=1，最后利用勾股定理计算求解即可.
16．【答案】（1）解： 点A(3，3)，点B(-3，1)，
；
（2）证明：A(3，3)，B(-3，1)，C(1，-1)，
由勾股定理同理可得，，；
，，
；
，
；
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据勾股定理求出，，，再求出，最后证明求解即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】利用二次根式的性质，绝对值，零指数幂等计算求解即可.
18．【答案】（1）证明： ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）4；
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴，
∴，BD=2OB，
∴，
∴BD=2OB=，
故答案为：4；.
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再根据平行线的判定方法求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，再利用勾股定理求出AC和OB的值，最后计算求解即可.
19．【答案】（1）93；89；15
（2）解： 依题意，“ADS”款智驾系统更受用户喜爱，理由如下：
在平均数都是87分的前提下，但“ADS”款的中位数和众数都比“FSD”款的要高，
∴“ADS”款智驾系统更受用户喜爱
（3）解： 在此次调查中，有840人对“ADS”智驾系统进行评分，有1100人对“FSD”智驾系统进行评分，
（人）， （人），
∴385+504=889(人)
即估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有889人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由抽取的“ADS”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57， 69， 70， 78， 79， 80， 88， 89， 91， 91， 93， 93， 93， 93， 94， 97， 99， 100，可得93分出现次数最多，
∴a=93，
由扇形统计图可得：35%×20=7，
∵抽取的“FSD”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85， 87， 89， 89， 89， 89， 90，
∴，
∴b=89，
∵，
∴m%=100%-35%-35%-5%-10%=15%，
∴m=15，
故答案为：93；89；15.
【分析】（1）结合扇形统计图中的数据，结合题意，计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数作答求解即可；
（3）根据题意先求出（人）， （人），再计算求解即可.
20．【答案】（1）解： ①在中，
当时，；当时，，
.
，
线段AB的长度为
②；
（2）
（3）解：，
，
，
的面积为
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵ 直线 和 直线 相交于点D，
又∵点D的坐标为（1，3），
∴ 方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵ ，
∴的函数值大于0，
则此时x的取值范围是x＜4，
∵，
∴x＞1，
综上所述， 的解集为.
【分析】（1）①根据题意先求出点A和B的坐标，再求出OA和OB的长，最后利用勾股定理计算求解即可；
②观察函数图象求出点D的坐标为（1，3），再求解即可；
（2）根据题意先求出x的取值范围是x＜4，再求出x＞1，最后求解集即可；
（3）根据点B和点C的坐标求出BC=3，再利用三角形的面积公式计算求解即可.
21．【答案】（1）解：依题意，底面正方形①的边长为
裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为
（2）解：四个直角处的小正方形边长为
长方体铁箱的宽为，长为
无盖长方体铁箱的体积为
（3）欣欣
【知识点】二次根式的实际应用；几何体的展开图
【解析】【解答】解：（3）∵ 这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，
∴欣欣的方案中底面正方形①的边长是，
底面积：，
体积：，
畅畅的方案中底面正方形②的边长是，
∴制作的无盖长方体铁箱的宽为，
底面积：，
体积：，
∵，
∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大，
故答案为：欣欣.
【分析】（1）根据题意先求出底面正方形①的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出长方体铁箱的宽为，再求出长为5dm，最后求体积即可；
（3）根据题意，先求出欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积，再求出畅畅的，最后比较大小求解即可.
22．【答案】（1）解： ∵EM垂直平分BD，
∴，，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BMDE是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作，使得，连接PQ，MO，
∵矩形ABCD，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△QPM中，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（3）解： 如图，延长 EN 交 BC 的延长线于 H，则，
又平行四边形 MNEF 中，，而，
，
，
，
如图，作点 F关于 BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则，，即的最小值为F'N的长，
由勾股定理可得，，
的最小值为，
∴平行四边形 EFMN 周长的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，， 再利用全等三角形的判定方法证明，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出F'N的值，最后计算求解即可.
23．【答案】（1）解： 已知点 在直线 的图象上，
，，
把点 代入直线 ，得 ，
解得，，
直线 CD 的函数表达式为：；
在直线 中，令 ，则 ，，
令 ，解得 ，，
直线 中，令 ，则 ，
，
令 ，解得 ，
（2）解：如图所示，过点P作轴于点R，过点Q作轴于点S，
∵旋转，
，，
，且，
，
，；
点P在直线的图象上，
设，则，
，，，
；
令，，
，，
，整理得，；
或：当P与D重合时，得Q(5，3)；
当P与C重合时，得Q(，
∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：
（3）存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）解： 存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 ；理由如下：
在直线 中，令 ，则 ，
∴，则 ，
∵ 点 F 是直线 上有任意一点，
∴ 设 ，
第一种情况，如图所示，以 BD、BF 为边，四边形 BDNF 是菱形，过点 F 作 轴于点 T，
则 ，，
∴，，
∴，即 ，
解得，，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
第二种情况，如图所示，以 BF 为对角线，四边形 BDFN 是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
点 F 于点 M 重合；
∴F(4，1)，
∴N(4，6)；
第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形BFDN是菱形，连接FN交BD于点W，
，
，
四边形BFDN是菱形，
，，
点F的纵坐标为，即，
解得，，
，
；
综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或.
【分析】（1）根据题意先求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线 CD 的函数表达式为：，最后计算求解即可；
（2）利用AAS证明，再求出点Q的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出BD的值，再分类讨论，结合函数图象，利用菱形的性质等计算求解即可.
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