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广东省广州市2025年中考数学真题
一、单选题
1．（2025·广州）下列四个选项中，负无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．3
2．（2025·广州）如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
5．（2025·广州）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（　　）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29
A．
B．
C．
D．
6．（2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A． B．5 C．4 D．8
9．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·广州）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当时，则
C．当且时，则
D．当时，则
二、填空题
11．（2025·广州）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为　 　．
12．（2025·广州）如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
13．（2025·广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025·广州）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为　 　．
15．（2025·广州）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
16．（2025·广州）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是　 　；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为　 　．
三、解答题
17．（2025·广州）解不等式组，并在数轴上表示解集．
18．（2025·广州）如图，，，．求证：．
19．（2025·广州）求代数式的值，其中．
20．（2025·广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：
选手 内容 能力 效果
甲
乙
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
21．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
22．（2025·广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
23．（2025·广州）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是黄金矩形；
（3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
24．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
25．（2025·广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
（1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
（2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
A是无理数
B，C，D是有理数
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】图形的旋转；圆锥的特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是
故答案为：B
【分析】根据圆锥的性质即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，不能合并，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
5．【答案】C
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：由题意可得：
某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是折线统计图
故答案为：C
【分析】根各统计图的特征即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，BD
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10
∴
∵E，F分别为AB，BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴
同理可得：
∴EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG
∴四边形EFGH为矩形
∴
故答案为：B
【分析】 连接AC，BD，根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，同理可得：，则EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG，根据矩形判定定理可得四边形EFGH为矩形，再根据矩形面积即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口朝上，对称轴为
将x=1代入解析式可得，y=-a
∴顶点坐标为(1，-a)
∵两点，在抛物线
∴当且时，y1>0，故y2<0
此时，A选项正确
当时，抛物线在x<1时递减
故x2越大，y2越小，即，B选项错误
当且时，y2>0
此时x2应满足x2<0，或x2>0，C选项错误
当时，抛物线在x>1时递增
故x1越大，y1越大
即，D选项错误
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】144
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵直线，相交于点O，
∴∠2=180°-∠1=144°
故答案为：144
【分析】根据邻补角即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】10
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H
∵∠C=90°，
∴设AC=12k，AD=13k
∴
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB
∴DH=DC=5k
设点B到AD的距离为h
∴
解得：h=10
故答案为：10
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，设AC=12k，AD=13k，根据勾股定理可得CD，再根据角平分线性质可得DH=DC=5k，再根据三角形面积即可求出答案.
15．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
16．【答案】；
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵过点可以引的两条切线，，
∴点P在圆外
∴d>6
∵PA，PB分别切圆于点A，B
∴OP平分∠AOB
∴∠APO=∠BPO
∵OC∥PA
∴∠POC=∠APO
∴∠POC=∠CPO
∴PC=OC
∵PA=x，CD=y
∴PC=OC=y+6
∴BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6
连接OB
∴半径OB⊥PB
∴∠OBC=90°
∴OC2=BC2+OB2
∴(y+6)2=(x-y-6)2+62
∴
故答案为：；
【分析】根据切线性质可得点P在圆外，根据点与圆的位置关系可得d>6，再根据切线性质可得OP平分∠AOB，则 ∠APO=∠BPO，根据直线平行性质可得∠POC=∠APO，则∠POC=∠CPO，即PC=OC，根据边之间的关系可得PC=OC=y+6，BC=PB-PC=x-y-6，连接OB，根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
17．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可求出答案.
18．【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）解：不能以此确定两人的名次，
甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∴，
∴不能以此确定两人的名次；
（2）解：甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∴，
∴甲排名第一，乙排名第二；
（3）解：设计三项成绩的比为，理由，
内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）分别求出两人的平均成绩，再比较大小即可求出答案.
（2）根据加权平均数求出两人的平均成绩，再比较大小即可求出答案.
（3）根据题意进行分析即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采换的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得，，再根据矩形性质可得，，，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则=2，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
（3）根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据勾股定理可得FG，连接，由对折可得：，，，设，则，根据割补法，结合三角形，梯形的面积建立方程，解方程可得x值，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
24．【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
25．【答案】（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作图即可，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②由题意可得在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，由题意可得：，根据圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，则当为的直径时，取得最大值为，即可求出答案.
1 / 1广东省广州市2025年中考数学真题
一、单选题
1．（2025·广州）下列四个选项中，负无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．3
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
A是无理数
B，C，D是有理数
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．（2025·广州）如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转；圆锥的特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是
故答案为：B
【分析】根据圆锥的性质即可求出答案.
3．（2025·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，不能合并，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
5．（2025·广州）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（　　）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：由题意可得：
某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是折线统计图
故答案为：C
【分析】根各统计图的特征即可求出答案.
6．（2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
7．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
8．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A． B．5 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，BD
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10
∴
∵E，F分别为AB，BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴
同理可得：
∴EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG
∴四边形EFGH为矩形
∴
故答案为：B
【分析】 连接AC，BD，根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，同理可得：，则EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG，根据矩形判定定理可得四边形EFGH为矩形，再根据矩形面积即可求出答案.
9．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
10．（2025·广州）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当时，则
C．当且时，则
D．当时，则
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口朝上，对称轴为
将x=1代入解析式可得，y=-a
∴顶点坐标为(1，-a)
∵两点，在抛物线
∴当且时，y1>0，故y2<0
此时，A选项正确
当时，抛物线在x<1时递减
故x2越大，y2越小，即，B选项错误
当且时，y2>0
此时x2应满足x2<0，或x2>0，C选项错误
当时，抛物线在x>1时递增
故x1越大，y1越大
即，D选项错误
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题
11．（2025·广州）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为　 　．
【答案】144
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵直线，相交于点O，
∴∠2=180°-∠1=144°
故答案为：144
【分析】根据邻补角即可求出答案.
12．（2025·广州）如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
13．（2025·广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：且
故答案为：且
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．（2025·广州）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为　 　．
【答案】10
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H
∵∠C=90°，
∴设AC=12k，AD=13k
∴
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB
∴DH=DC=5k
设点B到AD的距离为h
∴
解得：h=10
故答案为：10
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，设AC=12k，AD=13k，根据勾股定理可得CD，再根据角平分线性质可得DH=DC=5k，再根据三角形面积即可求出答案.
15．（2025·广州）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
16．（2025·广州）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是　 　；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为　 　．
【答案】；
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵过点可以引的两条切线，，
∴点P在圆外
∴d>6
∵PA，PB分别切圆于点A，B
∴OP平分∠AOB
∴∠APO=∠BPO
∵OC∥PA
∴∠POC=∠APO
∴∠POC=∠CPO
∴PC=OC
∵PA=x，CD=y
∴PC=OC=y+6
∴BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6
连接OB
∴半径OB⊥PB
∴∠OBC=90°
∴OC2=BC2+OB2
∴(y+6)2=(x-y-6)2+62
∴
故答案为：；
【分析】根据切线性质可得点P在圆外，根据点与圆的位置关系可得d>6，再根据切线性质可得OP平分∠AOB，则 ∠APO=∠BPO，根据直线平行性质可得∠POC=∠APO，则∠POC=∠CPO，即PC=OC，根据边之间的关系可得PC=OC=y+6，BC=PB-PC=x-y-6，连接OB，根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
三、解答题
17．（2025·广州）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可求出答案.
18．（2025·广州）如图，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．（2025·广州）求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
20．（2025·广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：
选手 内容 能力 效果
甲
乙
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
【答案】（1）解：不能以此确定两人的名次，
甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∴，
∴不能以此确定两人的名次；
（2）解：甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∴，
∴甲排名第一，乙排名第二；
（3）解：设计三项成绩的比为，理由，
内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）分别求出两人的平均成绩，再比较大小即可求出答案.
（2）根据加权平均数求出两人的平均成绩，再比较大小即可求出答案.
（3）根据题意进行分析即可求出答案.
21．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
22．（2025·广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采换的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·广州）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是黄金矩形；
（3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得，，再根据矩形性质可得，，，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则=2，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
（3）根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据勾股定理可得FG，连接，由对折可得：，，，设，则，根据割补法，结合三角形，梯形的面积建立方程，解方程可得x值，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
24．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
25．（2025·广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
（1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
（2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作图即可，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②由题意可得在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，由题意可得：，根据圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，则当为的直径时，取得最大值为，即可求出答案.
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