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4.1.2　指数函数的性质与图象
基础过关练
题组一　指数函数的概念
1.下列函数是指数函数的是(　　)
A.y=x2　　　　B.y=32x+1
C.y=3×4x　　　　D.y=9x
2.若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则(　　)
A.a=1或a=2　　　　B.a=1
C.a=2　　　　D.a>0且a≠1
题组二　指数(型)函数的图象
3.已知函数y=的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称,则实数a的值是(　　)
A.1　　　　B.2
C.4　　　　D.8
4.已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
5.要得到函数y=的图象,只需将函数y=41-x的图象(　　)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
6.函数f(x)=2x+3-x的图象可能为(　　)
A B C D
7.已知函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.b+d>a+c　　　　B.b+db+c　　　　D.a+d8.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=(x>0),函数f(x)的图象经过点(2,16).
(1)写出函数f(x)的解析式;
(2)在同一坐标系中用描点法作出函数f(x),g(x)的图象,并求出当f(x)(3)当x>0时,用N(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记N(x)=min{f(x),g(x)}(例如,min{3,9}=3),求函数N(x)的值域.
题组三　指数(型)函数的性质及其应用
9.函数y=的定义域是(　　)
A.[-2,+∞)　　　　B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1]　　　　D.(-∞,-2]
10.已知a=0.3-0.3,b=0.3-0.2,c=2-0.01,则(　　)
A.c11.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　C.[0,1]　　　　D.(0,1]
12.(多选题)已知函数f(x)=3-|x|-3|x|,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于原点对称　　　　
B.f(x)的最大值为0
C.f(x)在(0,+∞)上单调递减　　　　
D.f(-3)>f(2)
13.(多选题)已知函数f(x)=,则(　　)
A.f(x)在[2,+∞)上单调递增
B.f(x)的值域为(0,+∞)
C.不等式f(x)<256的解集为(-1,5)
D.若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围为[-2,+∞)
14.若函数f(x)的值域为(0,1],且满足f(x)=f(-x),则f(x)的解析式可以是f(x)=　　　　.
15.已知函数f(x)=a2x+ax+1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为13,则实数a的值为　　　　.
16.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2x.
(1)求x<0时, f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x)<1的解集.
17.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值,判断f(x)的单调性并用定义证明;
(2)若存在t∈[1,2],使得f(t2-2t)+f(2t2-k)>0成立,求实数k的取值范围.
题组四　指数(型)函数的实际应用
18.据统计,第y年到滨河国家湿地公园越冬的白鹤只数x近似满足y=3ax-2,观测发现第1年有越冬白鹤300只,则估计第7年有越冬白鹤(　　)
A.700只　　　　B.600只　　　　C.500只　　　　D.400只
19.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,我国规定:100 mL血液中酒精含量达到20~80 mg(包括20 mg,但不包括80 mg)的驾驶员即为饮酒驾车,80 mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他血液中酒精含量会以每小时25%的速度减少,那么他要想驾车,至少需要经过的小时数为(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
能力提升练
题组一　指数(型)函数的图象
1.“a>1”是“函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)的图象经过第三象限”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
2.如图所示,函数y=|2x-2|的图象是(　　)
A B C D
3.函数f(x)=的图象大致是(　　)
A 　B　 C 　D
题组二　指数(型)函数的性质及其应用
4.已知定义在R上的偶函数f(x)对任意x1,x2∈
(-∞,0)(x1≠x2)都有>0,若a=20.3,b=,c=3-0.5,则(　　)
A.f(-a)>f(b)>f(c)　　　　B.f(c)>f(-b)>f(a)
C.f(b)>f(a)>f(-c)　　　　D.f(c)>f(-a)>f(-b)
5.已知函数f(x)=a·4x-(a-2)2x+1在(-2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为(　　)
A.[0,4]　　　　B.(0,4]
C.[2,+∞)　　　　D.{0}∪[2,+∞)
6.(多选题)高斯是德国著名的数学家,是近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为y=[x],[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=,g(x)=[f(x)],则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在R上是增函数
C.g(x)是偶函数
D.g(x)的值域是{-1,0}
7.(多选题)已知函数f(x)=a+b(a,b∈R),则下列结论正确的有　　(　　)
A.存在实数a,b,使得函数f(x)为奇函数
B.若函数f(x)的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则b=2
C.若函数f(x)在区间[0,π]上单调递减,则a>0
D.当a∈[-1,1]时,若 x∈[-1,1],函数f(x)≤1恒成立,则b的取值范围为
(-∞,1)
8.已知函数f(x)=a·4x-a·2x+1+1-b(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)-k·4x≥0在[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.1.2　指数函数的性质与图象
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 9.C
10.A 11.D 12.BC 13.ACD 18.B 19.C
1.D
2.C　由题意得解得a=2.
3.C　由题意得与a互为倒数,即=1,解得a=4.
4.D　∵a0=1,∴f(x)=ax-1-2的图象恒过定点(1,-1),∴m=1,n=-1,∴g(x)=1+,其图象不经过第四象限.
5.A　因为y==(2-2)x=4-x=41-(x+1),
所以只需将函数y=41-x的图象向左平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象.
6.A　f(0)=20+30=2, f(1)=2+>2=f(0),故排除D;
f(-2)=2-2+32=, f(-1)=2-1+3==f(-2),故排除C;
f=4,
所以<2,即f7.B　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,
故c>d>a>b,所以b+d8.解析　(1)∵f(x)的图象经过点(2,16),
∴f(2)=a2=16,解得a=±4,又a>0,∴a=4,
∴f(x)=4x,x∈R.
(2)列表:
x - 0 1
f(x) 1 2 4
x 1 2
g(x) 3 2 1
描点作图:
令f(x)又y=4x在区间(-∞,+∞)上单调递增,
∴x<-2,故x的取值范围是(-∞,-2).
(3)由(2)及题意可得N(x)的图象如下:
由图可知,N(x)的值域为(0,2].
9.C　由题意得-125≥0,即,所以2x-1≤-3,解得x≤-1,故所求函数的定义域为(-∞,-1].
10.A　因为y=0.3x在R上单调递减,且-0.3<-0.2<0,所以0.3-0.3>0.3-0.2>0.30=1,即a>b>1.
因为y=2x在R上单调递增,且-0.01<0,
所以c=2-0.01<20=1,所以c11.D　由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间[1,2]上单调递减,得a≤1;由g(x)=(a+1在区间[1,2]上单调递减,得0<<1,因此a+1>1,解得a>0.因此实数a的取值范围是(0,1],故选D.
12.BC　f(x)=3-|x|-3|x|的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=3-|-x|-3|-x|=3-|x|-3|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,A错误;
f(x)=3-|x|-3|x|=-3|x|,当x>0时, f(x)=-3x,由y=,y=-3x在(0,+∞)上单调递减可得f(x)在(0,+∞)上单调递减,C正确;
f(-3)=f(3)因为f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以当x<0时, f(x)单调递增,
所以f(x)的最大值为f(0)=0,B正确.
故选BC.
13.ACD　函数y=x2-4x+3=(x-2)2-1在[2,+∞)上单调递增,在R上的值域为[-1,+∞),而函数y=2x在R上单调递增,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增, f(x)≥2-1=,A正确,B错误;
不等式f(x)<256 <28 x2-4x+3<8 x2-4x-5<0,解得-1函数g(x)=,显然y=x2-(a+4)x+3在上单调递减,
而函数y=2x在R上单调递增,则函数g(x)在上单调递减,
因此(-∞,1] ,即≥1,解得a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞),D正确.
14.答案　(答案不唯一)
解析　由题意可知,函数的值域为(0,1],且函数为偶函数,满足条件的函数可以是f(x)=.(答案不唯一)
15.答案　3或
解析　f(x)=a2x+ax+1,令ax=t,则t>0,
则y=t2+t+1=,该二次函数在(0,+∞)上单调递增.
①若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,故f(x)max=f(1)=a2+a+1=13,解得a=3或a=-4(舍去);
②若0综上可得a=3或a=.
16.解析　(1)当x>0时, f(x)=1-2x;
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2-x,
又f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1,
∴x<0时, f(x)=2-x-1.
(2)当x>0时,不等式f(x)<1可化为1-2x<1,∴2x>0,显然成立;
当x=0时,由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,0<1,成立;
当x<0时,不等式f(x)<1可化为2-x-1<1,∴2-x<2,解得x>-1,∴-1综上可知,不等式f(x)<1的解集为(-1,+∞).
17.解析　(1)由题意,得f(0)==0,所以a=-1,
当a=-1时, f(x)=-1,
则f(-x)==-f(x),则f(x)为奇函数,满足题意,故a=-1.
函数f(x)=在定义域R上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈R且x1f(x1)-f(x2)=>0,
因为>0,所以f(x1)>f(x2),
故函数f(x)=在定义域R上单调递减.
(2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)>0,得f(t2-2t)>-f(2t2-k).
因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)>f(k-2t2),
由(1)知f(x)在R上为减函数,所以t2-2t即存在t∈[1,2],使得k>3t2-2t成立,
令g(t)=3t2-2t,其图象开口向上,对称轴为直线t=,所以g(t)在[1,2]上单调递增,
故k>g(1)=3-2=1,
所以k的取值范围为(1,+∞).
18.B　由题意知,当y=1时,x=300,所以1=3300a-2,解得a=,故y=-2.当y=7时,7=-2,解得x=600.
19.C　设他需要经过x小时才能驾车,
则60(1-25%)x<20,即.
当x=3时,;
当x=4时,.
所以他至少需要经过4小时才能驾车,故选C.
能力提升练
1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.BD 7.ABC
1.C　当a>1时, f(0)=1-a<0,再结合指数函数y=ax(a>1)的图象特征可知f(x)的图象经过第一、三、四象限,所以充分性成立;
对于函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1),当00且f(x)单调递减,此时f(x)的图象不经过第三象限,当a>1时, f(0)=1-a<0且f(x)单调递增,此时f(x)的图象经过第三象限,所以必要性成立.
综上所述,“a>1”是“函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)的图象经过第三象限”的充要条件.
2.B　∵y=|2x-2|=∴当x=1时,y=0,
当x>1时,函数y=2x-2单调递增,且y>0,
当x<1时,函数y=2-2x单调递减,且y>0.
故选B.
3.C　易得函数f(x)的定义域为xx≠±,关于原点对称,且f(-x)==-f(x),
所以函数f(x)=为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B;
因为当x>0时,ex>1>e-x>0,所以当0时, f(x)=>0,故排除D;
当x趋近于+∞时, f(x)也趋近于+∞,故排除A.
故选C.
4.D　由题意可知,当x1a=20.3>20=1,b==20.5>20.3=a,0a>c>0,所以f(b)由函数f(x)是偶函数,可得f(c)>f(-a)>f(-b).
5.A　令t=2x,则y=at2-(a-2)t+1,当x∈(-2,+∞)时,t=2x单调递增,且t>.
当a=0时,y=at2-(a-2)t+1=2t+1,该函数单调递增,则函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增,符合题意;
当a>0时,y=at2-(a-2)t+1的图象开口向上,对称轴为直线t=,由题意得,所以0当a<0时,y=at2-(a-2)t+1的图象开口向下,对称轴为直线t=,
该函数在上单调递减,不符合题意.
综上,a的取值范围为[0,4].
6.BD　对于A,易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为函数f(x)=,所以f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,故A错误;
对于B,因为y=ex为增函数,所以y=为减函数,y=-为增函数,所以f(x)=为增函数,故B正确;
对于C,因为g(1)=[f(1)]==-1,所以g(1)≠g(-1),
所以g(x)不是偶函数,故C错误;
对于D,因为1+ex>1,所以-,所以g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0},故D正确.
7.ABC　在A中,当a=b=0时, f(x)=0(x∈R),此时f(x)为奇函数,故A正确.
在B中,易知y=为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递减,图象过点(0,1),且无限接近于x轴,若函数f(x)=a+b的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则a=-2,b=2,故B正确.
在C中,若函数f(x)=a+b在区间[0,π]上单调递减,则a>0,故C正确.
在D中,当a∈(0,1]时, x∈[-1,1],有+b≤f(x)≤a+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则a+b≤1,即b≤1-a,而0≤1-a<1,故b≤0;
当a=0时, f(x)=b,若 x∈[-1,1], f(x)≤1恒成立,则b≤1;
当a∈[-1,0)时, x∈[-1,1],有a+b≤f(x)≤+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则+b≤1,即b≤1-,而1<1-,故b≤1.
综上,b的取值范围为(-∞,0],故D不正确.
故选ABC.
8.解析　(1)令t=2x,x∈[1,2],则t∈[2,4],原函数可转化为g(t)=at2-2at+1-b.
∵a>0,∴g(t)在[2,4]上单调递增.
∵t=2x在[1,2]上单调递增,
∴f(x)在[1,2]上单调递增,
∴
(2)由(1)知f(x)=4x-2·2x+1,
∴f(x)-k·4x=4x-2·2x+1-k·4x.
令m=2x,由x∈[-1,1],得m∈,
则m2-2m+1-k·m2≥0在上有解,
即k≤1-上有解.
令h(m)=1-,m∈,
则h(m)max=h=1,∴k≤1,
故实数k的取值范围为(-∞,1].
17(共18张PPT)
一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
知识点 1 指数函数
知识 清单破
4.1.2 指数函数的性质与图象
温馨提示　指数函数解析式的结构特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数;
(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1;
(3)ax的系数是1.
知识点 2 指数函数的性质与图象
函数 y=ax(a>0且a≠1) a>1 0图象
性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 奇偶性 非奇非偶函数 定点 图象过定点(0,1) 函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,0时,y>1
单调性 增函数 减函数
知识拓展　指数函数y=ax(a>0且a≠1)的底数a对图象相对位置的影响:
(1)在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即“底大图高”;
(2)在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大,即“底大图低”.
知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.函数y=2x+1是指数函数. (　 )
2.若指数函数f(x)=(2a+1)x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为(0,+∞).(　 )
3.函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到. (　 )
4.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,若 > ,则a
√

√
讲解分析
指数幂比较大小的类型及方法
(1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性进行判断;
(2)底数不同,指数相同:利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断;
(3)底数不同,指数不同:通过中间量来比较,中间量常选用0或1.
注:对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较,可先根据其与特殊值(常选用0或1)的大小比较进
行分组,再比较各组数的大小.
疑难 情境破
疑难 1 比较指数幂的大小
典例　下列不等式中成立的是 (　 )
A.1.12.1<1.11.9　　　 B.0.82.1<0.81.9
C.0.82.1>1.11.9　　　 D.1.12.1>1.92.1
B
解析 因为y=1.1x在R上是增函数,2.1>1.9,所以1.12.1>1.11.9,故A错误;
因为y=0.8x在R上是减函数,2.1>1.9,所以0.82.1<0.81.9,故B正确;
因为0<0.82.1<1,1.11.9>1,所以0.82.1<1.11.9,故C错误;
在同一平面直角坐标系中作出y=1.9x,y=1.1x的图象,如图,作出直线x=2.1,可知1.92.1>1.12.1,故D
错误.

讲解分析
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0且a≠1)的单调性求解;
(2)形如af(x)>b的不等式,可将b化成以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0且a≠1)的单调性求
解;
(3)形如ax>bx的不等式,可借助函数y=ax与y=bx(a>0且a≠1,b>0且b≠1)的图象求解;
(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用换元法,将其转化为不含指数的不等式.
疑难 2 解指数不等式
典例　解下列不等式:
(1) ≤2;
(2) < (a>0且a≠1);
(3)4x-6×2x-1-4<0.
解析 (1)∵2= ,∴原不等式可化为 ≤ .∵y= 在R上是减函数,
∴3x-1≥-1,解得x≥0,
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)当0x2+6,∴-3x>5,解得x<- ;
当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,
∴x2-3x+1- .
综上所述,当01时,原不等式的解集为 .
(3)令t=2x,则t>0,原不等式可化为t2-3t-4<0,∴0∵y=2x在R上是增函数,∴x<2.
故原不等式的解集是{x|x<2}.
讲解分析
1.求与指数函数有关的函数的定义域时,要观察函数是y=af(x)型还是y=f(ax)型.
(1)当函数是y=af(x)(a>0且a≠1)型时,由于指数函数y=ax的定义域是R,所以函数y=af(x)的定义域
与f(x)的定义域相同.
(2)当函数是y=f(ax)(a>0且a≠1)型时,先令u=ax,然后确定y=f(u)的定义域,即u=ax的值域,由此构
造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,从而得到y=f(ax)的定义域.
2.求与指数函数有关的函数的值域时,重点是要注意指数函数的值域为(0,+∞).
(1)求函数y=af(x)(a>0且a≠1)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函
数y=af(x)的值域.
(2)求函数y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域,先令u=ax,然后利用函数u=ax的单调性确定u=ax的值域,进
疑难 3 与指数函数有关的函数的定义域、值域
而确定函数y=f(u)的值域,即为y=f(ax)的值域.
典例　求下列函数的定义域和值域:
(1)y= ;
(2)y=4x-2x+1;
(3)y= (a>0且a≠1).
解析 (1)由题意得1- ≥0,解得x≥0,
∴函数的定义域为[0,+∞).
∵x≥0,∴0< ≤1,∴0≤1- <1,
∴0≤y<1,∴函数的值域为[0,1).
(2)函数的定义域为R.
y=4x-2x+1=(2x)2-2x+1= + .
∵2x>0,∴当2x= ,即x=-1时,函数取得最小值 .∴函数的值域为 .
(3)由ax+1>0恒成立,得函数的定义域为R.
设ax=t,则t∈(0,+∞),y= =1- .
∵t>0,∴t+1>1,∴0< <1,∴-2< <0,
∴-1<1- <1.∴函数的值域为(-1,1).
讲解分析
1.形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法
　　当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.
2.形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法
　　通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的
单调区间,再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.
疑难 4 与指数函数有关的函数的单调性
典例　求下列函数的单调区间:
(1)y= ;(2)y= -8· +17.
解析 (1)令u=x2-2x+3,则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为
增函数,又y= 在R上为减函数,∴函数y= 的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,
+∞).
(2)设u= ,则y=u2-8u+17(u>0).
易知y=u2-8u+17在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增.
令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8· +17的单调增区间是[-2,+∞).
令 ≥4,得x≤-2,∴y= -8· +17的单调减区间是(-∞,-2].
∴函数y= -8· +17的单调增区间是[-2,+∞),单调减区间是(-∞,-2].

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