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(共12张PPT)
　　一般地,函数y=xα为幂函数,其中α为常数.
4.4 幂函数
知识点 1 幂函数的概念
知识 清单破
1.常见幂函数的性质
知识点 2 常见幂函数的性质与图象
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
单调性 增函数 在[0,+∞)上单调递增, 在(-∞,0)上单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上单调递减,
在(-∞,0)上单调递减
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
公共点 图象都经过点(1,1)
2.在同一平面直角坐标系内作出函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象,如图所示.

1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都经过
点(1,1).
2.若α>0,则幂函数y=xα的图象经过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
3.若α<0,则幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,
图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.
知识点 3 幂函数的共同特征
知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.y=- 是幂函数. (　 )
2.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).(　 )
3.幂函数的图象一定不会出现在第四象限,但可能出现在第二象限. (　 )
4.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.(　 )
5.当α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. (　 )


√


讲解分析
1.根据幂函数在第一象限内的图象可以确定幂指数α与0,1的大小关系.
2.依据图象高低可以判断幂指数的大小,相关结论如下:
(1)在x∈(0,1)上,幂指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);
(2)在x∈(1,+∞)上,幂指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
疑难 情境破
疑难 1　幂函数图象的应用
典例　若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,则当x为何值时,
(1)f(x)>g(x)
(2)f(x)=g(x)
(3)f(x)解析 设f(x)=xα,
因为点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,
所以将( ,2)代入f(x)=xα中,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2.
同理,可求得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示.

观察图象可得:
(1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).
(2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x).
(3)当-1讲解分析
幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定
义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:(1)利用幂函数
的单调性求出α的取值范围;(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值.
疑难 2 幂函数的性质的应用
典例　已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)>3x2+(k-1)x在[1,3]上恒成立,求实数k的取值范围.
解析 (1)∵f(x)为幂函数,
∴m2-2m-2=1,
解得m=-1或m=3.
当m=-1时,f(x)=x-1,其在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
当m=3时,f(x)=x3,其在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
故f(x)=x3.
(2)由(1)得x3>3x2+(k-1)x在[1,3]上恒成立,
∴k-1< =x2-3x在[1,3]上恒成立,
当x∈[1,3]时,(x2-3x)min= -3× =- ,
∴k-1<- ,解得k<- ,
故实数k的取值范围为 .4.4　幂函数
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.已知函数①y=,其中为幂函数的是(　　)
A.①②④⑤　　　　B.③④⑥
C.①②⑥　　　　D.①②④⑤⑥
2.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)xα的图象过点,则k-α=　　(　　)
A.或-
C.-或-
题组二　幂函数的图象及其应用
3.已知幂函数y=xα在第一象限内的图象如图所示,α分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为(　　)
A.2,1,,-1
B.2,-1,1,
C.,1,2,-1
D.-1,1,2,
4.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(　　)
A. C.3　　　　D.9
5.函数y=ax与y=xa的图象如图所示,则实数a的值可能是(　　)
A.　　　　D.3
题组三　幂函数的性质及其应用
6.函数f(x)=(-x2+2x+3的单调递减区间为(　　)
A.[-1,1]　　　　B.(-∞,1]　　　　C.(-1,1]　　　　D.(1,3)
7.已知a=,则(　　)
A.a8.已知幂函数①y=x-1;②y=;
③y=x3;④y=x-2.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:a.偶函数;b.值域是{y|y∈R且y≠0};c.在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个是正确的,一个是错误的,则他研究的函数是　　　　.(填序号)
9.已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x-1)(3)若正实数a,b满足a+b=4m,求的最小值.
能力提升练
题组一　幂函数的图象及其应用
1.已知函数y=ax-3-(a>0且a≠1)的图象恒过点P.若点P在幂函数f(x)的图象上,则幂函数f(x)的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
2.已知点(n,8)在幂函数f(x)=(m-2)xm的图象上,则g(x)=的值域为(　　)
A.[0,1]　　　　B.[-2,0]　　　　C.[-1,2]　　　　D.[-2,1]
3.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)为增函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若x1>x2>0,则f
4.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)定义h(x)=求函数h(x)的最大值及单调区间.
题组二　幂函数的性质及其应用
5.已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数,若函数y=f(x)-4(a-1)x在区间(2,4)上单调,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,2]　　　　B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[2,3]　　　　D.(-1,2]∪[3,+∞)
6.已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0　　　　B.恒小于0
C.等于0　　　　D.无法判断
7.写出一个同时具有下面三个性质的幂函数:　　　　.
(1)偶函数;(2)值域是{y|y>0};(3)在(-∞,0)上是增函数.
8.已知幂函数f(x)=(2m2-2m-3)xm.
(1)若f(x)的定义域为R,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)为奇函数, x∈[1,2],使f(x)>3x+k-1成立,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.4　幂函数
基础过关练
1.C 2.B 3.A 4.BC 5.B 6.C 7.C
1.C　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数.
①是α=-1的情形;②是α=2的情形;③不是幂函数;④是常数函数,不是幂函数;⑤中x2的系数是2,不是幂函数;⑥是α=-的情形.所以只有①②⑥是幂函数.故选C.
易错警示　幂函数的解析式y=xα中,α为常数,xα的系数为1.
2.B　由题意得k2+k-1=1,解得k=1或k=-2.
因为f(x)的图象过点,所以,解得α=.所以k-α=或k-α=-.
3.A　幂函数y=xα在区间(0,1)上的图象符合“指大图低”的规律,所以在区间(0,1)上,从上至下的曲线对应的幂函数的指数依次为-1,,1,2,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为2,1,,-1.故选A.
4.BC　设f(x)=xa,
由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.
若f(x)的图象经过A,B,C三点,由f(-1)=(-1)a=-1,得a为正奇数或分子,分母均为奇数的分数,则f(x)的解析式可能为f(x)=x,满足f(0)=0,此时f(3)=3;
若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,满足f(0)=0,此时f(3)=;
若f(x)的图象经过B,C,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,此时点C不在f(x)的图象上,即f(x)的图象不能同时经过B,C,D三点.
故选BC.
5.B　观察题图可知,图象①对应指数函数y=ax,图象②对应幂函数y=xa,
由图象①知函数y=ax单调递减,所以0由图象②知函数y=xa在x<0时有意义,所以a的分母为奇数,排除A,C.
故选B.
6.C　由-x2+2x+3>0,得x2-2x-3<0,即(x+1)(x-3)<0,解得-1令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则t=-x2+2x+3在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减,又y=在(0,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,1].
7.C　由y=(x>0)单调递增,可知c==a,
由y=x15(x>0)单调递增,b15=()15=310=(35)2=2432,可得b8.答案　④
解析　函数y=x-1为奇函数,值域是{y|y∈R且y≠0},在(-∞,0)上是减函数,故①不符合;
函数y=为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上是增函数,故②不符合;
函数y=x3为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上是增函数,故③不符合;
函数y=x-2为偶函数,值域是(0,+∞),在(-∞,0)上是增函数,故④符合.
9.解析　(1)由f(x)为幂函数得m2-2m+2=1,所以m=1,
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以5k-2k2>0,解得0当k=1时, f(x)=x3为奇函数,不满足题意,
当k=2时, f(x)=x2为偶函数,满足题意,
所以f(x)=x2.
(2)因为函数f(x)为偶函数,
所以f(2x-1)又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,解得-1所以x的取值范围为(-1,1).
(3)因为a>0,b>0且a+b=4m=4,
所以(a+1)+(b+1)=6,即=1,
所以,
当且仅当,且a+b=4,即a=1,b=3时取等号,
所以.
能力提升练
1.A 2.D 3.BCD 5.B 6.A
1.A　令x-3=0,得x=3,∴y=a0-.
设f(x)=xα(α为常数),∵点P在幂函数f(x)的图象上,∴f(3)=3α=,解得α=-1,∴f(x)=x-1,故选A.
2.D　∵f(x)是幂函数,∴m-2=1,解得m=3,
∴f(x)=x3,将(n,8)代入,得n3=8,解得n=2,
∴g(x)=,
则解得2≤x≤3,
故函数g(x)的定义域是[2,3],
易知函数g(x)在[2,3]上单调递减,g(2)=1,g(3)=-2,故函数g(x)的值域是[-2,1],
故选D.
3.BCD　因为函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),
所以9α=3,解得α=,则f(x)=,定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数,易知f(x)为增函数,所以当x>1时, f(x)>1,作出函数f(x)的图象,如图所示:
由图象知A(x2, f(x2)),B(x1, f(x1)),C, f,
所以当x1>x2>0时, f,
故选BCD.
4.解析　(1)设f(x)=xα,
因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,
所以()α=2,解得α=2,即f(x)=x2.
设g(x)=xβ,
因为点在幂函数g(x)的图象上,
所以2β=,解得β=-1,即g(x)=x-1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分).
由题意及图象可知h(x)=根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和(1,+∞).
5.B　因为函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为幂函数,所以-2m2+m+2=1,解得m=1或m=-.
当m=1时, f(x)=x2为偶函数,符合题意;
当m=-时, f(x)=为非奇非偶函数,不符合题意.所以 f(x)=x2,所以y=x2-4(a-1)x,其图象的对称轴为直线x=2(a-1).
①若函数y=x2-4(a-1)x在(2,4)上单调递增,则2(a-1)≤2,解得a≤2;
②若函数y=x2-4(a-1)x在(2,4)上单调递减,则2(a-1)≥4,解得a≥3.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[3,+∞).
6.A　因为函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=-2或m=3,
又因为对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,
所以函数f(x)=(m2-m-5)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-6>0,
所以m=3,则f(x)=x3,显然f(x)为奇函数,
由a+b>0得a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0.
7.答案　y=x-2(答案不唯一)
解析　函数y=f(x)=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
因为y=x-2=>0,所以函数y=x-2的值域是{y|y>0}.
易知函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,
所以y=x-2是同时具有给定三个性质的一个幂函数.(答案不唯一)
8.解析　(1)因为f(x)=(2m2-2m-3)xm是幂函数,
所以2m2-2m-3=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时, f(x)=x2,其定义域为R,符合题意;
当m=-1时, f(x)=x-1=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不符合题意.所以f(x)=x2.
(2)由(1)可知f(x)为奇函数时, f(x)=x-1=,
x∈[1,2],使f(x)>3x+k-1成立,即 x∈[1,2],使>3x+k-1成立,
所以 x∈[1,2],使k-1<-3x成立,
令h(x)=-3x,x∈[1,2],则k-1 x1,x2∈[1,2],且x1因为1≤x10,>0,
所以(x2-x1)>0,即h(x1)>h(x2),
所以h(x)=-3x在[1,2]上是减函数,
所以h(x)max=h(1)=1-3=-2,
所以k-1<-2,解得k<-1,
所以实数k的取值范围是(-∞,-1).
12

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