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2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算中错误的是( )
A. B.
C. D.
2.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
3.过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为( )
A. 不存在 B. C. D. 或
4.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为( )
A.
B.
C.
D.
5.投掷枚质地均匀的骰子，设事件“这枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有枚骰子朝上的点数为奇数”，则( )
A. B. C. D.
6.平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若，分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 平面平面
B. 线段的最小值为
C. 当，时，点到直线的距离为
D. 当，分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量的分布列为
则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离如图，在棱长为的正方体中，点在上，且；点在上，且则下列结论正确的是( )
A. 线段是异面直线与的公垂线段
B. 异面直线与的距离为
C. 点到直线的距离为
D. 点到平面的距离为
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的定义域为
B. 是偶函数
C. 是奇函数
D. 对任意的，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量与共线，且方向相同，则 ______．
13.某校面向高一全体学生共开设门体育类选修课，每人限选一门已知这三门体育类选修课的选修人数之比为：：，考核优秀率分别为、和，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为______．
14.已知，若，，成立则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设数列是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和为．
16.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求的单调区间和极值．
17.本小题分
为积极响应国家医药卫生体制改革及年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”我市人民医院打算从各科室推荐的名医生中任选名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动这名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各名．
求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
设表示选出的人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，为等边三角形，平面平面，点在线段上．
若，在上找一点，使得，，，四点共面，并说明理由；
求点到平面的距离；
若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆过点，且．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设为原点，过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与轴不重合，直线，分别与轴交于，两点求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设数列是公差为的等差数列，，
若，，成等比数列，可得，
解得或舍去，
则．
，
可得前项和
．
16.函数，于是，求导得，
解得，所以所求切线方程为，即．
函数的定义域为，
求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，，递减区间为，
极大值，极小值．
17.事件总数为，
其中外科医生名，内科医生名，眼科医生名，
设事件“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况：
恰好选出名外科医生和名眼科医生和恰好选出名外科医生，
用表示“恰好选出名外科医生和名眼科医生”，表示“恰好选出名外科医生”，
且，互斥，
因为，，
所以概率为；
由题知可为，，，故，，
，
将表格数据代入期望公式可得，
．
18.解：当时，、、、四点共面，理由如下：
证明：令，，
即，，
又，，
故E、、、四点共面；
取的中点，连接，，如图所示：
为等边三角形，，
，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
平面， ，
，，
，
，且平面，平面，，
平面，
平面，，
在菱形中，，则，，
设点到平面的距离为，
则，即，
即，
解得，
故点到平面的距离为；
由得，，两两垂直，则建立以为原点的空间直角坐标系，
则，，，，，
为线段上一点，设，则，
，
平面，
平面的法向量为，
，
解得．
，
设平面的法向量为，
则，则，
取，则，，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
由图知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
19.解：Ⅰ因为椭圆过点，
所以，
因为，
所以，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ当直线斜率不存在时，直线的方程为，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上，为定值，定值为．
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