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2024-2025学年宁夏吴忠中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则( )
A. B. C. D.
2.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. 与相交 B. 与平行
C. 与相交 D. 与异面
3.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点若，则( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱锥的底面边长为，高为，则该三棱锥的表面积是( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、的对边分别是、、，且，，，则的外接圆直径为．
A. B. C. D.
7.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷宋蒋祁陶记中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实图为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为，上面的花口盏是底面直径分别为和的圆台，下面的盏托由底面直径的圆柱和底面直径分别为和的圆台组合构成，示意图如图，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数的虚部为
B. 若为虚数单位，则
C. 在复数集中，方程有两个解，依次为
D. 已知是虚数单位，，若，则实数
10.已知表示向量，表示向量，向量，，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 若向量与垂直，则实数的值为
B. 已知点，若，，三点共线，则实数的值为
C. 在方向上的投影向量的模为
D. 若，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中错误的是( )
A. 若，则定为等腰三角形
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，为单位向量，且，则向量与的夹角为______．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，，则 ______．
14.已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，．
若，求向量的坐标；
若向量，的夹角为，求和的值．
16.本小题分
已知，，．
若，求的值；
求的单调递增区间；
若，求的值域．
17.本小题分
在中，角，，所对的边长分别为，，，在；两个条件中任选一个，补充在下面问题中将选的序号填在横线处，
已知，_____．
若，求；
若的周长为，求的面积．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，．
求角；
若是线段的中点，且，求；
若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19.本小题分
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的项点为，，设．
Ⅰ将，用含有的关系式表示出来；
Ⅱ该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设，
所以，解得，
向量的坐标为或；
，，
，
所以，
．
16.解：因为，，
由，可得，即，
所以；
因为
，
令，
解得，
即的单调递增区间为；
当时，，
因为在时单调递增，在时单调递减，
又当时，，
当时，，
当时，，
所以
所以
即的值域为．
17.若选：，
则，
所以，即，
由可得，
可得，所以，
由正弦定理，可得；
若选，则，
所以，由，得，
由正弦定理，可得．
中，，
所以，
即，
因为周长为，所以，
代入得，，
所以面积．
18.解：，，
根据正弦定理得：，化简得，
，
又，，，
，，
，；
由及余弦定理得：，即，
又，，
，
由得：，
．
由得，则，即，
由正弦定理可知，，
．
为锐角三角形，，，
，，，
，则的周长的取值范围为．
19.解：Ⅰ在中，
由正弦定理可知，
则，即
由正弦定理可得，
则即
Ⅱ，
，
在中，由余弦定理可知
，
，，
当时，即时，
取最大值，
，
，
即当时，取最大值．
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