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2024-2025学年黑龙江省黑河市龙西北名校联盟高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量，则点对应的复数为( )
A. B. C. D.
2.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是( )
A. B.
C. D.
5.与函数的图象不相交的一条直线是( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，则下列命题一定正确的有( )
若，则；
若，则存在实数，使得；
若，则；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 图象的对称中心为
D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
8.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，的共轭复数分别为，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若为纯虚数，则
C. 若，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
D. 若，则在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为
10.下列说法中正确的有( )
A. 与垂直的单位向量为
B. 已知在上的投影向量为且，则
C. 若非零向量，满足，则与的夹角是
D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列与有关的结论，正确的是( )
A. 若，则这样的三角形有且只有两个
B. 若，则为等腰直角三角形
C. 若，，为外心，则
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期为，则的值为______．
13.定义：已知，，分别为的三个内角，，所对的边，若，且，则边的最小值为______．
14.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形已知正八边形的边长
为，是线段的中点，为正八边形内的一点含边界，则的最大
值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若为纯虚数，求；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在直角坐标系中，已知向量，，其中，为坐标平面内一点．
若，，三点共线，求的值；
若向量与的夹角为，求的值；
若四边形为矩形，求点坐标．
17.本小题分
养殖户承包一片靠岸水域，如图，为直岸线，，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知．
求岸线上点与点之间的直线距离；
如果线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围．
18.本小题分
三角形中，，，分别是角，，的对边，已知点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于，．
求角的大小；
若，求的值；
若点是三角形的重心，求的最小值．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量的坐标；
记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为为纯虚数，
所以，即，解得，
，
故．
依题意，即，解得，
故的取值范围为．
16.解：已知向量，，其中，
所以，，
由于，，三点共线，
故，解得．
由于，，
故，
解得；
设点，
由，，，，
由于四边形为矩形，
所以，
故，解得；
由，所以，解得，；
故D．
17.解：，为直岸线，，，，
该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知，
在中，由余弦定理，
得，
即岸线上点与点之间的直线距离为千米；
如果线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，
记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，
在中，设，
，
故有，
，
设两段网箱获得的经济总收益为万元，
则
，
，，，
故的取值范围为．
18.由题意，，
由正弦定理，可得，
整理得，
故，
因为，所以；
如图，
由题意可得，
因为，，三点共线，
故可设，
又因，，三点共线，
故，解得，
所以，
故；
因为，
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，
当且仅当时取等号，
所以，即，
所以的最小值为．
19.解：，
所以；
依题意，
由得，
因为，
所以，
所以；
由题知，，
所以
因为，，
所以，
令，
所以问题转化为函数的最值问题，
因为函数的对称轴为，
所以当，即时，
的最大值在处取得，为；
当，即时，
的最大值在处取得，为；
当，即时，
的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为．
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