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2024-2025学年重庆市渝北中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则( )
A. B. C. D. 或
5.在长方体中，，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.渝北中学大力传承和弘扬“红岩莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动某同学为测量王朴母子雕像的高度雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点，在地面选取了两点，其中，，，四点在同一个铅垂平面内，在点处测得点的仰角为，在点处测得点，的仰角分别为，，测得，则按此法测得的王朴母子雕像的高为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边为，若，，则长为( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，的对边分别为，，若，则的大小可能为( )
A. B. C. D.
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则实数的值为
C. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 在上的投影向量的坐标为
11.如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面平面
C. 存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行
D. 若，则直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量不共线，若与共线，则实数的值为______．
13.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且，则外接圆面积为______．
14.正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则线段长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，．
求；
若，求．
16.本小题分
已知点，，为坐标原点，为轴上一动点．
，求点的坐标；
当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，分别为，的中点，求证：
平面；
平面．
18.本小题分
如图，正方体中，为的中点．
若点满足，求证：，，，四点共面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角；
求的取值范围；
当时，角的平分线交于，求长度的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.在中，由正弦定理，可得，
由，可得，即为锐角，所以；
在中，，可得，
由余弦定理得，所以．
16.根据题意，设点，又，，
则，
由，
可得，
解得或，
所以的坐标为或；
由可得：，
当时，取得最小值，
此时，
则，
设与夹角为，
则此时，
即向量与的夹角的余弦值为．
17.证明：连接交于，连，，
在三棱柱中，矩形中，，则，
，分别为，的中点，且，
为中点，且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
底面，平面，，
，，
，，
，，平面，平面，
平面，，
在矩形中，，为的中点，
，
底面，平面，，
、均为等腰直角三角形，
，，
，
，，，，平面，
平面．
18.证明：连接，，由，知，且，
因为为的中点，因此，
因此，且，因此四边形为平行四边形，
因此，
因为，，因此四边形为平行四边形，
因此，
因此，故E，，，四点共面．
证明：延长交于，连接，则与面所成角就是与面所成角．
过作交与，连接，过作与，连接，
因为平面，平面，因此，，
因为，，，平面，因此平面，
因为平面，因此，，
因为，，，平面，
因此平面
因此就是与面所成角．
令，由，得，
在中，，
同理在中，，
在中，，
故直线平面所成角的正弦值为．
19.解：因为，
由正弦定理，可得，整理得，
由余弦定理可得，
又因为，所以．
由可知，
由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，则，解得，
可得，则，
所以，即．
由，
可得
因为，所以，
所以式：，可得，
由可得，
则，即，
所以，
令，则，
因为
，
由可知，，则，
所以
因为在上单调递增，
所以时，为最大值，
所以长度的最大值为．
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