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2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：三角函数和解三角形解答题专项练
一、三角恒等变换
1．在中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
2．不查表求的值．
3．的内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求A的大小；
(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 ABC存在，并解决问题．
①M为 ABC的重心，； ②M为 ABC的内心，； ③M为 ABC的外心，．
4．计算：.
5．锐角 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，，求 ABC的面积.
6．已知V的内角的对边分别为，且，
(1)求的大小；
(2)若，求 ABC的面积．
7．在三角形中，角所对的边长分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，，求三角形的面积.
8．在 ABC中，、、分别是内角、、的对边，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
9．在 ABC中，，.求：
(1)的值；
(2)和面积的值．
10．记 ABC的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，求的值．
11．在锐角 ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若，求 ABC周长的取值范围．
12．在 ABC中，角、、的对边分别为，，，已知，，是边上的点，
(1)若且，求的长；
(2)若，，求的值.
13．在 ABC中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)为边上一点，，且，求.
14．已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.
15．在锐角 ABC中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.
16．在 ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，.
(1)求A；
(2)求面积的最大值.
18．在中，角的对边分别是．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
19．在中，角的对边分别为，已知
(1)求；
(2)若求的面积．
二、三角函数
20．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
(1)求；
(2)记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
21．已知为锐角，，求的值.
22．求．
23．求函数的周期．
24．设函数，其中向量，且．
(1)求实数m的值；
(2)求函数的最小值．
25．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求边上的高.
26．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递减区间．
27．已知向量函数；
(1)若，求的值；
(2)当时，求函数的值域．
28．已知函数，.
(1)求出该函数的最小正周期；
(2)求出该函数取最大值时自变量的取值范围.
29．已知函数．
(1)写出的最小正周期；
(2)求的最小值，并求取得最小值时自变量的集合．
30．已知分别为三个内角的对边，.
(1)求的值；
(2)若，求b的值.
31．已知函数，
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求的取值范围．
32．某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．”
该同学解答过程如下：
解：（1）； 因为 ，且， 所以 ． （2） 画出函数在上的图象， 由图象可知，当时，函数的最小值．
下表列出了某些数学知识：
任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念 的正弦、余弦、正切的诱导公式
弧度与角度的互化 函数的图象
三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 上的性质
同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间上的性质
两角差的余弦公式 函数的实际意义
两角差的正弦、正切公式 参数A，ω，φ对函数图象变化的影响
两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式
请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．
33．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，．
(1)求c的值．
(2)求的值．
34．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的取值范围．
35．已知函数，求：
(1)的最小正周期；
(2)取最大值时自变量x的集合.
36．已知为第二象限角，且．
(1)求；
(2)求的值．
37．设，求的值．
38．已知函数的最小正周期为，且，
(1)求；
(2)将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．
39．求函数的周期．
40．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
41．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量（是锐角）总成立，求角．
42．已知函数，
(1)若当时，函数的值域为，求实数的值；
(2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间.
43．由扇形和三角形组成的平面图形如图所示，已知，，点在扇形的弧上运动.
(1)求的值；
(2)求四边形面积的最大值.
44．如图在平面四边形ABCD中，，，，．
(1)求边BC；
(2)若，求四边形ABCD的面积．
45．已知向量、，记．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值．
46．已知在中，，且．
(1)若，求；
(2)若，且，求，．
47．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
(1)求的值；
(2)求的值
48．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．
49．已知函数f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），将函数的图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，x＝是g(x)一个零点．
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期；
(2)求函数y＝g(x)在上的单调区间．
50．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，求的值域；
(3)若且，求的值.
51．已知，，
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值.
三、解三角形
52．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
53．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求的值；
(2)若时，求的面积．
54．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
55．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边长及的值．
56．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)求c及的值.
57．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，
(1)求b
(2)求的值
58．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,．
(1)求的值；
(2)若，求．
59．在中，内角所对的边分别其中，，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
60．在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且.
(1)求边的长；
(2)求角大小及的面积.
61．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
62．已知的内角所对的边分别为，满足.
(1)求外接圆的面积；
(2)若，求的面积.
63．在中，分别为内角所对的边，若，．
(1)求的面积；
(2)求的最小值．
64．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)证明：为等腰三角形．
(2)若D是边BC的中点，，求的面积．
65．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
66．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：
(1)角B；
(2)的面积S.
67．已知分别为的内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，的面积为2，求.
68．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周长.
69．记的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
70．记的内角，，所对边分别为，，，已知，.
(1)求；
(2)若的面积为，求.
71．已知，，分别为三个内角A，，的对边，且．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的值．
72．在中，内角所对的边分别为.已知，.
(1)求的值；
(2)若点为边上的一个点，且满足，求与的面积之比.
73．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的大小；
(2)若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值．
74．记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求.
75．已知分别是的角的对边，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
76．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
77．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，.
(1)求的大小；
(2)若，求的面积.
78．如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，．

(1)求．
(2)若，，，求的长．
79．记的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)设为边的中点，若，，求的面积．
80．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．
81．已知中角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的周长的最大值，并求出此时角，角的大小.
82．在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若，且BD＝3CD，求cos∠CFB．
83．在①向量，，且，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.
已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
84．在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
85．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且湖足．
(1)求角B；
(2)若，AC边上的中线长为，求的面积．
86．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
87．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积．
88．设的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的面积；
(2)若存在两个这样的，求x的取值范围．
89．在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点在边上，且，.
(1)求；
(2)若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
《2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：三角函数和解三角形解答题专项练》参考答案
1．(1)
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.
（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）由，得，
在中，，
在中，.
（2），
由余弦定理得，
，，
的周长为.
2．
【分析】由，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【详解】.
3．(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根据正弦定理，余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.
4．
【分析】因为，所以对进行和差公式展开，即可求解
【详解】
.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换即可求解，
（2）根据余弦定理，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以.
由为锐角三角形，得.
（2）由（1）及余弦定理知.
因为，，所以，
所以的面积.
6．【小题1】 【小题2】
【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小；
（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积.
【详解】（1），可得
又
（2）由正弦定理得，，
由余弦定理，,可得，，
联立方程组整理得，，所以或（舍）．
7．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式可得，再由正弦定理计算可得；
（2）首先求出、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
因为，则，
所以，由正弦定理得；
（2）由（1）有，又，可得，又，
由余弦定理可得，
又，所以，
所以的面积.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意和余弦定理计算即可求解；
（2）根据同角的三角函数关系求出，由正弦定理求出，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】（1）由余弦定理知，即，
整理得，解得或（舍负），故.
（2）∵，且，∴，
由正弦定理知，即，得，
∴.
9．(1)；
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式将题设化成，根据内角范围求出角即得；
（2）由正弦定理求得，结合条件确定依次求出角和边、.
【详解】（1）由可得，即.
又则
故或解得或.
因，则不是最大角，故得，
所以
（2）由正弦定理，可得. 则
因为，由余弦定理，，
则故
则
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及得到、，代入目标式子计算可得.
【详解】（1）由题意可得，所以由正弦定理得．
即，
在中，因为，，
所以，因为，所以．
（2）由（1）得，
又，故，即，
即，故．
把代入，可得或（舍去），
所以．
11．(1)
(2)周长的取值范围为
【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化即可.
（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.
【详解】（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.
选条件②：因为，所以
所以，又因为，所以，所以，所以，
选条件③：由正弦定理可得
即，又因为，所以，因为，所以.
（2）
，，
则即，
即周长的取值范围为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）设（），在、分别利用余弦定理，即可得到方程组，解得即可；
（2）由正弦定理求出，即可求出，再求出，最后根据利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】（1）依题意设（），则，
在中由余弦定理，
即①，
在中由余弦定理，
即②，
由①②解得或（舍去），
所以.
（2）由正弦定理，即，解得，
又，所以，所以，
又，所以，
所以
.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，再利用辅助角公式求出；
（2）分别在与中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出.
【详解】（1）由，得.
由，
故
所以，
又因为，所以，故.
即，又，所以.
（2）由（1）知：
所以.
在中，；在中，.
又，代入得：.
由余弦定理得：，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到，即可得解；
（2）依题意，设，由三角形为锐角三角形求出，在中利用正弦定理表示，即可表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
又，得，所以，即，
由，解得；
（2）由题意，，
所以，设，，
，又，则，，
在中，由正弦定理可得：.
即，，
，
，，，
，即，
所以面积的最大值为.
15．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式可得，即可得，结合角的范围可得；
（2）利用正弦定理可得，，，代入表达式利用三角恒等变换可得，再根据角的范围由三角函数值域即可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得
，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围是.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，结合半角公式，可得答案；
（2）利用正弦定理，三角函数内角性质以及同角三角函数的基本关系，整理出关于角B的函数解析式，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）由（1）可得：，且C为钝角，
即，
即，，
，
当且仅当，即时取等号．
故的最大值为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由使用三角恒等变换求得值；
（2）将用表示，由 求得关系，使用基本不等式求的最大值，从而得到面积的最大值.
【详解】（1）因为，因为，所以.
（2）由得，，
所以.
所以.
所以.
所以，当且仅当时等号成立.
所以.
所以.
故面积的最大值.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换化简求得，从而得解；
（2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理求得，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，则．
由正弦定理得，
因为，所以，可得，
因为，所以．
（2）因为的面积为，
所以，即，解得，
又，所以由余弦定理得，
则，得，得，
所以的周长为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由已知，可将化简从而求得，然后再利用余弦二倍角公式直接求解即可；
（2）由（1）问，可求解出，并判断为钝角，再根据，从而求解出，再使用和差公式计算，使用正弦定理求解出边长，然后带入面积公式即可完成求解.
【详解】（1）由已知，，所以，
因为，所以，此时，
所以，得，
所以；
（2）由（1）可知，，所以且为钝角，
由，可知，
所以，
由正弦定理可知，，所以，
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求；
（2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
21．
【分析】先通过条件得，再代入计算即可.
【详解】因为为锐角，，
所以，
故.
22．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】原式
.
23．
【分析】代入正切型函数的周期公式即可.
【详解】解：根据正切函数周期公式，函数的周期为.
所以函数的周期为.
24．(1)1；
(2)．
【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出f(x)，再结合即可求出值；
(2)根据辅助角公式化简f(x)解析式，进而根据正弦型函数的性质得到答案．
【详解】（1）向量，，，
，
又，∴，解得．
（2）由(1)得，
当时，的最小值为．
25．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角；
（2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得.
【详解】（1）由正弦定理，，即，
因，故,即是锐角，故；
（2）
如图，由余弦定理，，
知角是锐角，则，
作于点，在中，,
即边上的高是.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解；
（2）根据余弦函数的单调递减区间求解.
【详解】（1）的最小正周期为.
（2）令，，解得：，，
所以的单调递减区间为，.
27．(1)
(2)
【分析】(1)根据三角恒等变换和同角三角函数的关系求解；(2)利用三角函数的图象性质求函数在指定区间内的值域.
【详解】（1）∵，
∴
∵，即，∴，
∴＝.
（2）
当，即时，；
当，即时，，
∴当时，函数的值域为．
28．(1)
(2)
【分析】（1）使用最小正周期公式进行求解即可；
（2）由，，求出的取值范围即可.
【详解】（1）设函数，的最小正周期为，
则，
∴函数，的最小正周期为.
（2）令，，
解得，，
∴函数，取最大值时，自变量的取值集合为.
29．(1)
(2)最小值为，自变量的集合为
【分析】（1）利用求周期的公式求解；
（2）利用正弦型函数的性质可求最值及自变量的集合.
【详解】（1）∵函数，
∴的最小正周期为．
（2）对于函数，
当，时，即当时，时，取得最小值为．
所以函数取得最小值时自变量的集合为．
30．(1)
(2)
【分析】（1）由同一个角的正余弦平方和为1求解即可；
（2）由正弦定理，代入原式求出b.
【详解】（1）在中，因为，所以.
（2）由正弦定理，，又，
所以.
31．(1) ，k∈Z
(2)
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程在上有解即可.
【详解】（1）
当 ，k∈Z时，单调递增，
∴函数的单调递增区间为，k∈Z．
（2）函数在上有零点，也就是在上有解．
∵当时，．
∴a的取值范围是．
32．答案见解析
【分析】直接根据解题过程选出所用到的数学知识.
【详解】该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有：
①弧度制的概念；
②三角函数的周期性；
③函数的图象；
④正弦函数在区间上的性质；
⑤参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
33．(1)3.
(2).
【分析】（1）运用同角三角函数的平方关系及余弦定理可求得c的值.
（2）运用正弦定理可求得的值.
【详解】（1）∵△ABC为锐角三角形，，
∴，
由余弦定理得：，解得：.
故c的值为3.
（2）由正弦定理得：，即：，解得：.
故的值为.
34．(1)
(2)
【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式；
（2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围.
【详解】（1）由图象可知，，，
设最小正周期为，，∴，
∴，
又∵，且，
∴，，∴，
∴函数的解析式为.
（2）当时，，，
∴函数的取值范围是.
35．(1)最小正周期为
(2)
【分析】（1）根据周期的计算公式即可求解，
（2）根据整体法即可求解.
【详解】（1）由，得的最小正周期为.
（2）由，解得.
故取最大值时自变量的集合为.
36．(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值；
（2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可.
【详解】（1）由题设，则.
（2）.
37．
【分析】直接用反三角函数的运算法则求解即可.
【详解】
故答案为：
38．(1)，
(2)1；的集合为．
【分析】（1）根据周期确定参数，再根据结合的取值范围确定；
（2）先确定函数的解析式，化简，确定最大值，再利用整体法确定取最大值时值的集合．
【详解】（1）因为最小正周期为，所以；
由可知，，
即，，得，，
又因为，所以．
（2）由（1）知，
因为将图象往右平移个单位后得函数，所以，
即，
所以
因为，所以的最大值为1，
当，即时取得，
故取最大值时值的集合为．
39．
【分析】首先利用余弦的二倍角公式化简得，再利用公式，代入数据即可.
【详解】，
则其最小正周期为.
40．(1)
(2)最大值为，；最小值为－1，.
【分析】（1）利用函数的周期公式，及整体代入求得增区间.
（2）利用整体代入法求得函数的最大值最小值以及取得最值时的x的值.
【详解】（1）函数的最小正周期，
由，，
解得：，，
所以函数的单调递增区间是.
（2）由，得，
则当，即时，
；
当，即时，
，
所以函数在上的最大值为，此时；
最小值为－1，此时.
41．．
【分析】根据向量共线定理得到，变形后得到，对照系数后得到，从而求出.
【详解】因为直线l上有不同的三点A，B，C，存在实数，使得，
∴，
即，
∴，
∴．
∵是锐角，
∴．
42．(1)；
(2)对称中心为，单调减区间为，的单调增区间为.
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，结合得到，从而列出方程组，求出实数的值；
（2）整体法求解函数的对称中心和单调区间.
【详解】（1）
，，
，又，
，因此，
∴，解得：.
（2）由（1）知，令，
整理得，
的图像的对称中心为，
令，整理得：，
得单调减区间为，
令，整理得：，
故的单调增区间为.
43．(1)
(2)
【分析】（1）在中，先用余弦定理求，再用正弦定理求解；（2）设，用表示，再结合三角恒等变换与三角函数求最大值.
【详解】（1）在中，由余弦定理知，
所以.
由正弦定理知，，
所以.
（2）记四边形的面积为,，则，
由（1）可知，，
所以，
，
所以
其中
故当，即时，取等号，
此时，四边形的面积取得最大值.
44．(1)1；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长；
（2）分别利用三角形面积公式求得的面积，进而求得四边形ABCD的面积．
【详解】（1）因为，为锐角，
所以．
因为，，在中，
由余弦定理得，
即，得．
（2）在中，由正弦定理得，
即，所以．
在中，由余弦定理得，
即，解得．
因为，，
所以．
45．(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式求出函数解析式，再根据余弦函数的周期性即可得解；
（2）根据三角函数的奇偶性求解即可.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期；
（2），
因为函数为奇函数，
所以，解得，
又因为，所以.
46．(1)或
(2)，
【分析】（1）利用三角形面积公式可构造方程求得，根据同角三角函数关系可得，结合诱导公式可得结果；
（2）利用三角形面积公式可构造方程求得，由余弦定理可求得，代入正弦定理中可求得结果.
【详解】（1）当时，，，解得：；
当为锐角时，，，
；
当为钝角时，，，
；
综上所述：或.
（2），，，
，，
由余弦定理得：，解得：，
由正弦定理得：，.
47．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义可得，进而可求正切，
（2）由诱导公式化简，代入即可求解.
【详解】（1）由三角函数定义得，
两边平方解得，又，故 ，
∴ ．即．
（2），
由（1）得．原式
48．(1);
(2)与.
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式；
（2）结合函数特点，分与两种情况下进行求解.
【详解】（1）的图象向右平移个单位长度，得到,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2），
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求在区间上的所有最大值点有与.
49．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为；
【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的零点求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【详解】（1）函数；
将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
由于，整理得：，
故或，
整理得或，
即ω＝6k+3或ω＝6k+5（k∈Z）；由于，
所以k＝0，ω＝3，故，
所以函数y＝f(x)的最小正周期为；
（2）由于函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
令，
整理得；
由于，故函数的单调递增区间为；
令，
整理得；
由于，整理得函数的单调递减区间为．
所以函数y＝g(x)在上的单调递增区间为，单调递减区间为．
50．(1)单调递增区间：，单调递减区间：
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数的性质求值域；
（3）根据正弦的两角差公式求解.
【详解】（1），
当时，单调递增，
即，
∴的单调递增区间：，
当时，单调递减，
即，
的单调递减区间：；
（2）∵，∴，
∴，
∴的值域为；
（3）∵，
∵，∴，
∴，
∴.
51．(1)最小正周期，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的周期性和单调性结合整体思想即可得解；
（2）根据求得角，设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，再利用正弦定理求得，再根据三角形的内角关系及三角函数求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）解：
，
所以函数的最小正周期，
令，则，
所以函数单调递增区间为；
（2）解：因为，
所以，
又，则，
所以，所以，
设边上的高为，
则，所以，
因为，
所以，
，
则
，
因为，所以，
故，
所以当，即时，，
所以，
即边上的高的最大值为.
52．(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入给定等式计算作答.
（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.
【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
53．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案；
（2）先求，利用面积公式可得答案.
【详解】（1），由余弦定理得，，
又，
，化简得，
．
（2）由（1）得，
为锐角，，
，，
的面积．
54．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
55．(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.
（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】（1）由，且，
则，
所以．
（2）由，
则，
又，则．
56．(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；
（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.
【详解】（1）由且，则，
所以.
（2）由，则，
而，则.
57．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求得.
（2）利用正弦定理求得.
【详解】（1）由余弦定理，
所以.
（2）由正弦定理.
58．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为，
角化边即可得到，再结合可得，，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为,
结合余弦定理，得，
即，
所以．
（2）由，
即，即
即，又，
所以，，
所以.
59．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解；
（2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
又，，
所以，解得；
（2）由（1）可得，，，
所以，
可得，
所以
60．(1)5
(2)，
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由正弦定理，得
（2）由余弦定理，所以
61．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.
【详解】（1）椭圆的方程为，
椭圆的方程为，
分别为椭圆的左焦点和右焦点，
，
，线段的长度；
（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，
，
，
,
．
点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
且，
顶点的轨迹方程为
62．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理直接计算求解即可；
（2）根据正弦定理求得，得到，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）设外接圆的半径为
在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
外接圆的面积为
（2）因为，所以，所以
因为，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
所以的面积
63．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出，然后由三角形的面积公式求解；
（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.
【详解】（1）由余弦定理，，结合可得，
整理可得，根据三角形的面积公式，.
（2）由（1）知，根据基本不等式，，
当时，的最小值是.
64．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形；
（2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积；
【详解】（1）证明：因为由正弦定理得
因为，由余弦定理得，
代入化简可得
所以为等腰三角形。
（2）由题可知因为D是边BC的中点，，
在和中，利用余弦定理的推论得
代入，可得
由得
则的面积
65．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意利用坡面的坡比的定义计算可得；（2）求得的的长度和正弦定理可求得山的高度.
【详解】（1）坡面的坡比为
（2）在中,
在中,根据正弦定理
所以山高为
66．(1)
(2).
【分析】(1)正弦定理求解；
(2)根据面积公式求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
因为在中，且，所以.
（2）因为，
所以.
所以.
67．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，，
代入，
则，
即，
即，
因为，所以，则
（2）因为的面积为2，
所以，即，
又因为，，，所以，
则，则
68．(1)
(2)6
【分析】（1）由三角恒等变换得到，得到；
（2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，进而，得到三角形周长.
【详解】（1）由得，
，
即，
故，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2），由正弦定理得，
因为，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周长为.
69．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合已知条件求出的值，再结合三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）由及正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因为，故.
（2）因为，即，
所以的面积为.
70．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，进一步由余弦定理得，再结合余弦定理可得；
（2）首先求得，然后结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，由余弦定理得，
整理得，所以，则，
所以由余弦定理得.
（2）因为，所以，
所以的面积为.
所以，解得（负值已舍去），
所以.
71．(1)；
(2).
【分析】（1）先由题和正弦定理边化角并结合两角和正弦公式化简得，接着由两角差的正弦公式得到即可求解角A；
（2）结合（1）求出角C，接着由即可求解.
【详解】（1）由题和正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，即；
（2）由题意可得，，
解得．
72．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角即可；
（2）由正弦定理边化角，及三角形面积公式将面积比转化为角正弦之比即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得:，
在三角形中，，显然，所以，
所以，又因为，
所以或（显然不成立），所以；
（2）因为，所以，即.
在三角形中，，所以，所以，
因为，所以，
所以；
所以；
所以由正弦定理得：与的面积之比等于
.
73．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和正弦和角公式求出，得到；
（2）求出，设，，利用列出方程，求出，由余弦定理和基本不等式得到，得到答案.
【详解】（1），由正弦定理得
，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2）因为，，，
所以，
设，，
故，令，
解得，
由余弦定理得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故.
74．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解，
（2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解.
【详解】（1）由题意知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即，
又，所以.
（2）因为的面积为，解得，
所以，
由余弦定理得，所以.
75．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解.
（2）由（1）知，，利用正弦定理可得，然后利用换元思想得，利用函数的单调性求解即可.
【详解】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得，，
或.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
设，则，则，
设，
则在上单调递增，则，
即.
的取值范围为.
76．(1)
(2)条件①：；条件②：
【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得.
（2）选条件①：首先利用余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求得.
选条件②:首先利用正弦定理求出，再结合三角函数恒等变换求出，再利用三角形面积公式即可求得.
【详解】（1）解：（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
又因为，所以．
（2）选条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
选条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
77．(1)
(2)
【分析】（1）由已知得，结合正弦定理得 得，计算得到的大小.
（2）法一：由（1）知，代入求得，结合余弦定理求得或，最后利用三角形面积公式计算结果；法二：求出的大小，再利用三角形面积公式即可.
【详解】（1）由已知得，由正弦定理得 得
， 得
（2）法一：由（1）知，代入得，
由余弦定理 得
得或
①当时，
②当时，
法二：代入得
∵，∴，或
①时，
②时，
78．(1)
(2)或
【分析】（1）利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求得答案，
（2）利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，得，
因为，所以,
（2）因为，，所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，
，
得，解得或
79．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）由余弦定理有，由得即可求得，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，，
，
，，
，，，又
；
（2）由余弦定理得：，，
，，，
，解得，
的面积为．
80．(1)；
(2)的最大值为8，.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值，进而求出值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，，
由余弦定理得，而，
所以.
（2）在中，由余弦定理得，，
则，即，当且仅当时取等号，
此时，所以的最大值为8，.
81．(1)
(2)，
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助余弦定理与基本不等式即可得周长的最大值，亦可得此时角，角的大小.
【详解】（1）由，
则有，
即，
由，故，则有，即，即；
（2）由余弦定理，可得，
则，故，
当且仅当时，等号成立，即，即，
即的周长的最大值为，此时，即.
82．(1)∠ABC＝60°
(2)
【分析】（1）由两三角形的面积相等可得，再由可得，从而结合已知可得，进而可求得∠ABC；
（2）设，则，然后在中分别利用勾股定理求出，再在中利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）如图所示
在中，，点在边上．
在平面内，过作且，
所以，，
且的面积等于的面积，
由于，
所以，
因为为的中点，
故，
所以，
因为为锐角，
所以．
（2）如图所示：
设，由于，，，
所以，
由于，所以，则．
且，解得，
在中，利用余弦定理得
83．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，结合正弦定理以及余弦定理，可得答案；
（2）利用余弦定理，结合三角形面积公式，可得答案.
【详解】（1）若选条件①，则，
根据正弦定理得，∵，
∴，，∵，∴.
若选条件②，根据正弦定理得，，
∵，∴.
若选条件③，∵，∴，
∴，根据正弦定理得，
∵，∴，，∴，∴.
（2）根据余弦定理得，
∴，∴，的面积为.
84．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论；
（2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长.
【详解】（1）证明：在中，，，
由余弦定理得，即①.
又，
即，故②.
由①②得，即，
故.
所以为等边三角形.
（2）在中，由，
得，
又直线为的平分线，
则，
所以，即③，
又由余弦定理可得，即.④，
由③④可知，
解得或（舍），
所以的周长为.
85．(1)
(2)
【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解；法二，利用余弦定理角化边，进而求出角.
（2）利用中点向量关系，借助数量积的运算律求出边c，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）（1）法一：由已知及正弦定理可得：
可得，因为，所以，
因为，所以，因为，所以.
法二：由已知及余弦定理可得：，
化简得，由余弦定理可得
因为，所以，因为，所以.
（2）由，得，
即，整理得，即，解得，
所以.
86．(1)
(2)．
【分析】（1）利用余弦定理可得，整理后可知，进而可求解.
（2）由三角形周长可得，利用基本不等式可解得最值.
【详解】（1）由余弦定理，得，即
则，
所以
又，所以．
（2）由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取等号
所以面积，
故面积S的最大值为．
87．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求；
（2）由，可得，结合余弦定理可得，可求的面积.
【详解】（1）∵，∴由正弦定理可得，
∴，
整理得：，
∴，
由于，
所以；
（2）∵的角平分线AD与边BC相交于点D，
∴，∴，
∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，解得或（舍去）．
∴的面积．
88．(1)2
(2)
【分析】（1）应用正弦定理可得，进而得，根据三角形面积公式可得结果；
（2）法一：由正弦定理得，问题转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，结合图象可得结果；法二：由余弦定理得有两个不相等的正实数根，利用判别式、根与系数关系列不等式可得结果.
【详解】（1）由正弦定理得，，即，解得，
因为，所以，故，
所以的面积．
（2）法一：由正弦定理得，，即，得，
由得，
所以在内有两解，即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，
作出在上的图象，由图可知，，解得，
综上，x的取值范围为.
法二：由余弦定理得，，即，
整理得，
由题意得，该方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
综上，x的取值范围为.
89．(1)
(2)
【分析】（1）由面积公式得到，再由求出，即可得解；
（2）首先求出，设，在中利用正弦定理将，转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，再求出函数的值域，即可得解.
【详解】（1）∵，
∴记点到的距离为，则，
∴，，，
∴．
∴，又，∴．
（2）由（1）知，，，∴．
设．
在中，由正弦定理可得，
∴，则，，
∴
∵为锐角三角形，，解得，
又，在均为递增函数，且函数值均为正数，
又在上单调递减，
所以在上单调递减，
当时，
当时，所以，
故．
答案第1页，共2页

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