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2025--2026高考数学第一轮复习试卷：等式与不等式解答题专项练
一、基本不等式（本大题共12小题）
1．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．
(1)求和的值；
(2)若实数满足，求的最小值.
2．要建造一个容积为，深为的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元，池底的造价为150元，设池底一边长为.
(1)求为何值时，总造价最少？
(2)要使水池的总造价控制在12万元以内，求的取值范围.
3．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并予以证明；
(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
4．（1）设集合，，求：，；
（2）已知、、都是正数，且满足，求证：.
5．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同．若实数．满足．求的最小值．
6．已知函数.
(1)当时，求的定义域及单调递增区间；
(2)若关于的方程在上有解，求的最小值.
7．已知定义在奇函数，满足，且当时，.
(1)求；
(2)求时，函数的解析式；
(3)当时，的最小值为，求实数的值.
8．已知圆与圆，，.
(1)当时，直线与圆交于，两点，若，求；
(2)若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值.
9．已知函数和定义域都为为偶函数，为奇函数，且满足.
(1)求；
(2)从①；②；③这三个结论中选一个，并加以证明；
(3)对都有，求的取值范围.
10．已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若正实数，满足，求的最小值.
11．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．
（1）求的解析式及定义域；
（2）求的最大值．
12．已知关于的不等式的解集为，集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
二、不等关系与一元二次不等式（本大题共19小题）
13．已知不等式的解集为或
(1)求的值
(2)解不等式．
14．已知．
(1)若的解集为，求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
15．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求，的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集（用表示）.
16．已知函数，
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集；
17．设函数，.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集.
18．解不等式：
(1)
(2)
(3)
19．“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
20．已知集合，.
(1)求集合B；
(2)求.
21．已知关于x的不等式：kx2-2kx>x-2.
(1)当k=2时，解不等式；
(2)当k∈R时，解不等式.
22．已知函数，满足
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
23．已知不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．
24．已知，关于x的一元二次不等式的解集为.
(1)求b，c的值；
(2)若为非负实数，解关于的不等式.
25．已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，解关于的不等式.
26．已知函数.
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
27．某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由.
28．函数，
(1)若的解集是或，求实数，的值；
(2)当时，若，求实数的值；
(3)，若，求的解集.
29．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．
阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动
时间 秒 秒
距离 米 米
(1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？
30．（1）已知不等式的解集为，求的最小值.
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
31．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数，的值；
(2)若，解关于的不等式；
(3)若，对于，成立，求的最大值.
参考答案
1．【答案】(1)或1，
(2)2
【详解】（1）幂函数，则，解得或1，
又幂函数在上是减函数，故，解得，
因为，故或，
当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意；
当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意，
综上所述：或1，；
（2）∵实数满足，
∴，则，
∴
.
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最小值是2.
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设水池总造价为元，因为水池的一边长为，所以另一边为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
答：当时，总造价最少，最少为10.8万元.
（2）由（1）得，，
整理得，解得，
所以x的取值范围是.
3．【答案】(1)偶函数，证明见解析；
(2)
【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：
，函数的定义域为，
对于，都有，且，
所以函数为偶函数.
（2）由（1）知，，当且仅当时取等号，
由存在使得不等式成立，得，
所以实数的取值范围为.
4．【答案】（1）见详解；（2）见详解.
【详解】解：（1）因为，
.
①当时，则，则，；
②当时，则，则，；
③当且时，则，则，.
综上所述，当时，，；
当时，，；
当且时，，.
（2）因为、、都是正数，则，当且仅当时，等号成立，
同理可得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，.
5．【答案】
【详解】由可得，解得，
即有，
即，，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
6．【答案】(1)定义域为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）当时，，
令，即，解得或，
所以函数的定义域为；
因为在上单调递减，在上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增；
即的单调递增区间为.
（2）因为关于的方程在上有解，
所以关于的方程在上有解且恒成立，
即在上有解，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
又当时在上恒成立，
所以的最小值为.
7．【答案】(1)
(2)
(3).
【详解】（1）；
（2）设，则，故；
（3）时，，令，则
令，即的最小值为
又，故由最小值的定义知，且等号能取到，
即，且等号能取到，
又，当且仅当即时取等，
因此，即.
8．【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）若，则圆的圆心为，半径，
因为，
所以.
（2）因为圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆内切，
则，则，
即，且，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值9.
9．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）定义域为R, 为奇函数，则，
令得,则.
（2）证明：函数和定义域都为为偶函数，为奇函数,
则，.
因为，则,
两式相减求得.两式相加求得.
若选①,因为，
又，所以.
若选②,因为
，
又，
所以.
若选③,左边
右边.
（3）由得，，
整理得，，
设，当且时，等号成立，
所以.
当时，；
当时，，
因为，
综上所得，，即的取值范围是.
10．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
由韦达定理得，解得，；
（2）由（1）得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值，
即的最小值为.
11．【答案】（1）（2）的最大值为.
【详解】（1）如下图所示：
∵设，则，
又，
即，
∴，得
，
∵，
∴，
∴的面积．
（2）由（1）可得，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最大值为，此时．
12．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，1和是方程的两个实数根，且，
得，解得，
是的充分不必要条件，
是的真子集，而
，解得
故的取值范围为
（2）由（1）可得：，
所以，当且仅当时，
取得最小值为，此时.
依题意有，即，
整理得，解得
所以的取值范围为.
13．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为不等式的解集为或,
所以，是方程的两个解，且，
所以，解得.
（2）由（1）知原不等式为，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
14．【答案】(1)；.
(2)答案见解析.
【详解】（1）解：由不等式的解集为，
即的解集为，
所以为方程的根，所以，解得，
又由不等式，解得，所以．
（2）解：由不等式等价于，可得，
当时，解不等式得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
15．【答案】(1)；
(2)答案见详解
【分析】（1）1，2是方程的两根，由韦达定理得到方程组，求出；
（2）因式分解得到的两根，分，，，求出解集.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，
所以解得
（2）由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，解得，不等式的解集为；
③时，解得，不等式的解集为.
16．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为函数，
所以恒成立，
等价于恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意
当时，要使恒成立，
则，即,
解得．
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由得,，
即,又因为，
所以：当，即时，
不等式的解集为 或 ；
当，即时，
可得，不等式的解集为;
当，即时，
不等式的解集为或 ．
综上，时，不等式的解集为 或 ，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为 或 ．
17．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为函数在上单调递减，
当时，即函数在上单调递减，合乎题意；
当时，因为二次函数在上单调递减，
可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）不等式可化为，
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的两根分别为，.
（i）当时，，解原不等式可得；
（ii）当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，
可得：，
即，
解得：或，
所以不等式的解集为：
（2）对于，
即恒成立，
所以不等式的解集为：
（3）等价于且，
解得：或，
所以不等式的解集为：
19．【答案】(1)米
(2)平方米
【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，
因为矩形的长比宽至少多米，所以，
所以，解得，
又因为，所以，
所以草坪宽的最大值为米．
（2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得
，
当且仅当即时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
20．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以或.
（2）因为，所以或，所以.
21．【答案】(1)或
(2)答案见解析
【详解】（1）解：当k=2时，2x2-4x>x-2，即2x2-5x+2>0，
所以（2x-1）（x-2）>0，
解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）原不等式可变形为，
①当时，化简为，
解得，即不等式的解集为；
②当时，化简为，解得，
即不等式的解集为；
③当时，化简为，
所以当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
22．【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由函数，满足，
，解得，
故函数的解析式为：.
（2）由（1）知，即不等式转化为，
则，
所以不等式的解集或.
（3）不等式转化为恒成立，
因为开口向上，
可得，解之可得，
所以实数的取值范围是.
23．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，.
由韦达定理可得，解得；
（2）由（1）可知，则不等式对于均成立，
则当时，不等式恒成立；
当时，不等式对于均成立，
等价于，解得，
综上，可得．
24．【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根.
根据韦达定理，可得，.
解得，.
（2）由（1）知，，则不等式为，即.
当时，不等式化为，解得.
当时，，不等式的解为.
当时，不等式化为，即，此时不等式无解.
当时，，不等式的解为.
综上所得，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为空集；
当时，解集为.
25．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）由，可得对恒成立，
则，解得，
故的取值范围.
（2）由题意可得：，
令，可得或，
对于不等式，则有：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
26．【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
（2）由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当 ，即时取等号.
则，.故实数a的范围是
27．【答案】（1）120 人
（2）存在，.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元，
则 ，
整理得 ， 解得 ，
因为 且， 所以 ， 故，
所以调整后的研发人员的人数最少为 120 人；
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得 ， 整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少， 得 ， 解得
假设存在这样的实数， 使得技术人员在已知范围内调整后， 满足以上两个条件，
因为 ，
当且仅当 ， 即 时等号成立，
所以 ，又因为（），所以.
所以.
28．【答案】(1)，
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）不等式的解集为或，
，且的两根为，，
，，，.
（2），
得，.
（3），，
即，
（1）当时，
（2）当时，则，
①当时，；
②当时，若，即时，或 ，
若，即时， ；
若，即时，或 ；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
29．【答案】(1)2秒
(2)20米/秒
【详解】（1）由题意得，
所以
当时，，
．
当且仅当时即时，等号成立.
答：此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为秒.
（2）根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由，得．
所以，即，
解得．所以．
答：汽车的行驶速度应限制在米/秒.
30．【答案】（1）4；（2）
【详解】（1）由题意得为方程的两个根，
，
由韦达定理得，
则，
因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为4；
（2）因为，
当时，，解得，
当时，要满足，则，解得，
综上可得实数的取值范围是.
31．【答案】(1)，
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，
所以，所以，；
（2）若，不等式可化为，
即，
当时，解得，
当时，解得或，
当时，解得或，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）因为，，成立，
即，对成立，
所以对成立，
即对成立，
所以即
所以，即，
所以的最大值为.
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