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2025--2026高考数学第一轮复习试卷：解三角形解答题专项练
一、正弦定理及其公式的变形（本大题共4小题）
1．在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知.
（1）求的最小值；
（2）若，，求.
2．已知分别为锐角三个内角的对边，且.
（1）求A；
（2）若，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
（3）若，求面积的取值范围.
3．在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）证明：.
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若点D满足，且，求的面积．
二、利用正弦定理解三角形（本大题共8小题）
5．在锐角中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）求的取值范围.
6．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
7．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
（1）求的值；
（2）求的长；
（3）若，求的面积.
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c;
（1）若， ， ，求a;
（2）若， ， ，求B;
9．的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求的大小.
（2）如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D．
11．已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD；
（3）若的外接圆的半径为，求的取值范围．
三、三角形面积公式的应用（本大题共12小题）
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，，求外接圆的周长；
（3）若，当的面积取得最大值时，求．
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，且有.
（1）求角；
（2）若的面积为，，求的周长.
15．已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 .
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值；
（3）若，边上的中线长为，求的值.
16．已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的周长为，且，求的面积．
17．在中，已知.
（1）求的长；
（2）若的平分线交点，求的最大值.
18．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A的值；
（2）若角A的平分线交边于点D，，求面积的最小值．
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
20．如图，在中，，，点D在线段BC上.

（1）若∠ADC=，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
21．在中，内角A,B,C所对的边分别为．，角的平分线交AC于
（1）求
（2）若，求的面积．
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足．
（1）若，求；
（2）若，的周长为4，
①求证：；
②求面积的最大值．
23．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的值；
（2）若D为AC的中点，且，，求的面积.
24．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
四、余弦定理及其公式的变形（本大题共12小题）
25．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
26．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
27．已知在中，为钝角，，且.
（1）求；
（2）若周长为15，面积为，求外接圆的面积.
28．已知中，，，.
（1）求a、c的值；
（2）求的值.
29．记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求.
30．在中，角、、对应的边分别为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）当边与边上的中线长均为2时，求的周长；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
31．在中，，，对应的边分别为，，，．
（1）求A；
（2）若为边中点，，求的最大值；
（3）奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．
32．在三角形中，角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求向量在方向上投影的数量.
33．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
34．已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足
（1）求∠A大小；
（2）若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．
35．已知中，.
（1）求的值；
（2）为边的中点，若，求.
36．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，当的周长取最大值时，求的面积；
（3）求的取值范围．
五、利用余弦定理解三角形（本大题共11小题）
37．记的内角所对的边分别为，已知为边上一点，且.
（1）证明：平分；
（2）若，在射线上任取一点，且的面积为1，求的最小值.
38．在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，判断的形状并说明理由．
39．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
40．记的内角的对边分别为，，的面积为．
（1）求的大小；
（2）若外接圆的面积为，求的周长．
41．在中，．M为边上一点，为边上一点，交于P．
（1）若，求；
（2）若在线段的延长线上，的面积为．求证：．
42．在中，内角所对的边分别是，已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
43．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若点D在边AB上，且，，求的值．
44．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长.
45．的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若点在上，且满足，求面积的最大值.
46．已知分别为的内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，的面积为2，求.
47．已知的角对边分别为，.
（1）求角的大小.
（2）设点是的中点，若，求的取值范围.
六、周长与面积最值或范围（本大题共2小题）
48．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.
49．在中，角所对的边分别为，已知，且满足
（1）求角的大小
（2）的内心为，求周长的取值范围.
七、复杂图形（多个三角形拼接、四边形）求解（本大题共2小题）
50．已知的内角的对边分别是为内一点，且．
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，若，求；
51．记的内角的对边分别为，,点在上，且，.
（1）判断的形状；
（2）若四边形满足，．求四边形面积的最大值．
八、正、余弦定理的实际应用-测量高度问题（本大题共2小题）
52．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.

（1）求与两点间的距离；
（2）求塔高.
53．2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）
（1）若，求折断前树的高度；
（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.
九、正、余弦定理的实际应用-测量距离问题（本大题共2小题）
54．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.
（1）求∠ABC 的正弦值；
（2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.
55．设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上.
（1）若是的中点，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，由点对施以视角运算， 求的最小值.
参考答案
1．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1）由已知得，
整理得，
因为，所以，
又因为，
所以，
可得，
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以或，8分
当时，，由正弦定理得，
当时，，由正弦定理得.
综上，或.
2．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因为，则，所以，故.
（2）由及，可得，
而，当且仅当时取等号，
又为边的中点，，
两边平方得
，
故，当且仅当时取等号，
所以长的最大值为.
（3）由正弦定理，得，，
因为，所以，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以.
3．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）由，
得，
得，
即，
，
，
因为，所以，所以，
所以，即，
又因为，所以.
（2）依题要证明，即证明，
由（1）及正弦定理得：
又因为，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当时，
此时有最大值2，即，
所以得证.
4．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由和正弦定理可得：
，
即，
在中，，代入整理得：，
因，则，故，
因为，所以．
（2）
由（1）知，则，
设，依题意，，
在中，由正弦定理，，得，
因为角是锐角，则，
在中，，因，
故，即，
也即，解得，故，
则，所以，
因，则，
所以，
即的面积为．
5．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，
所以，
又为锐角三角形，所以，所以且，
所以由，得，即，所以.
（2）由（1）可得，
由正弦定理，得，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，即.
6．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）根据题意得，，
由正弦定理得，，
即，
即，
因为，则，则，
则，则．
（2）由正弦定理得，，所以．
所以，
因为是锐角，则，即，解得．
则，故．
所以，则的取值范围为．
7．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
（2）由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（3）方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.
8．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，， ， ，
由余弦定理得，，
所以.
（2）在中，， ， ，
由正弦定理得，，即，由，得，
所以.
9．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
10．【答案】（1）
（2）.
【详解】（1），
在△ABC中，由正弦定理得，
，
由三角形内角和为可得，
，即，
，，，即，
又，，即,.
（2）设，令，，
在中，由正弦定理得，，，.
在中，由正弦定理得，，，，，
，解得.
11．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由余弦定理，
又，所以；
（2）由（1）知，由正弦定理，
则.
（3）由，所以，所以为锐角，故，
所以，
所以，
所以
.
12．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
（2）由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
（3）由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为.
13．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由，由正弦定理可得，
所以由余弦定理可得；
（2）在中，由余弦定理可得，
又，，所以，所以，
由（1）知，所认，
由正弦定理可得外接圆的半径为，
所以外接圆的周长；
（3）在中，由余弦定理可得，
又因为，所以，所以，
所以，当且仅当等号成立，
由（2）可知，所以三角形面积最大时，，
所以.
14．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）在中，由及由正弦定理，
得，即，
整理得，而，则，
又，则，所以.
（2）由余弦定理，得，
又，则，，解得，
所以的周长为.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）∵，，且 ，
∴，故，
∵，∴，故，
∵，∴.
（2）∵的面积为，∴，即，故.
由余弦定理得，，
当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意，
∴，即的最小值为.
（3）

∵为边上的中线，∴，
∴，即，
∴，即，解得或（舍），
此时，为等边三角形，符合题意，
∴.
16．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）根据正弦定理，由，可得，
因为，所以，则，故.
（2）由（1）可知，，
根据余弦定理，，
因为，则，即，
又因为的周长为，即，所以，解得，
所以，的面积.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意得，，得到，
所以，
由正弦定理，得到，又，
所以.
（2）设，因为，
所以，又，所以，
由余弦定理，，
所以
当时，取到最大值.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），由正弦定理得，
又，
所以，由，得，
又，所以.
（2）由，
，
又因为，角A的平分线交边BC于点D，
所以，整理得：，
由基本不等式得：，所以，当且仅当时取等号，
即，
即面积的最小值为.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，由余弦定理得，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以.
（2）因为，，
由正弦定理得，所以，
因为，所以，
则的面积为.
20．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，.
在中，由正弦定理得，
又，
（2）.
又.
，
解得：
在中，由余弦定理得，
所以.
21．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）由及正弦定理得，
由余弦定理得．
，即，
或
或
或；
（2）由（1）知，
，由角平分线定理得，
，
，
，，，
.
22．【答案】（1）
（2）①见详解 ；②
【详解】（1）方法一：因为，所以为等边三角形，
因为，所以，
所以，
所以，所以，所以．
方法二：在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
所以，又，所以，故．
（2）①证明：因为，所以．
在中，，在中，，
所以，即，
从而，故．
②因为，所以，
解得，当且仅当时，取等号，
又，则，即，即，
整理得，解得，故．
在中，由余弦定理，得
，
，
令，则，所以单调递增，
所以的最大值为．故最大值为．
23．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理得，，
则由得：，
在中，，
，则，
，，
，
，；
（2）∵D为AC的中点，，，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积.
24．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由余弦定理，
又，所以，则；
（2）因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，所以，
所以，又，所以，所以，
则，
所以.
25．【答案】（1）
（2）（i）见详解；（ii）
【详解】（1）由题设，则，故，
所以，又，故.
（2）（i）由题设，若上的高为，
又，
，
所以，即.
（ii）由，则，又为锐角，故，
若，则，且，，
由余弦定理知：，
所以，可得或，
当，则，，此时，则；
当，则，即，不合题设；
综上，.
26．【答案】（1）；
（2）6.
【详解】（1）由题设，整理可得，
所以，又，故.
（2）由题意，又，
所以，故的周长为.
27．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）或，
对于.由知无解，
对于，仅当时有解，
即，.
（2）由，
而
与联立得：，
，
，故，
外接圆的面积为.
28．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）设，，，
则根据余弦定理得，
即，
解得（负舍）；
则，.
（2）因为B为三角形内角，
所以，
，
因为，则
则，
29．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得，
且，
即，
即，
即，
其中为斜三角形，所以，即，
则，即，所以.
（2）
因为，
在中，由余弦定理可得，
又，，所以，
且，所以，
即，解得，所以，
则.
30．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1），

得，
，
（2）在中，由余弦定理有,
在中，由余弦定理有，
而，故，
，，
，
的周长为
（3）
因为三角形为锐角三角形，所以，
31．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理，
所以，即，
若，等式不成立，则，可得，
因为，所以．
（2）由余弦定理，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为为边中点，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
（3），
又，
所以，
由三维分式型柯西不等式有，
当且仅当，即时等号成立．
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则，
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）．
32．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，得，
由题意得，化简得，
因为，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理，则，
由题设，，即，所以，
由余弦定理，则，解得或（舍）.
向量在方向上投影的数量为：.
33．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见详解．
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
34．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）取的中点，连接，则，
可得：
由，可得，
则，即，
整理得，
由余弦定理，可得，
∵，故.
（2）由题意可得：，
则，
可得：，则，当且仅当，即时等号成立，
即，则.
故S最大值为.
35．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
即，由正弦定理角化边可得，
由余弦定理可得；
（2）设，由余弦定理结合（1）得，即，
在中，，在中，，
所以，即，所以，
所以，等式两边同时除以可得，
解得或（舍去），所以.
36．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理，
得，由余弦定理得，
于是，而，所以.
（2）由（1）知，，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，解得，
因此当时，的周长取得最大值6，
此时的面积.
（3）在锐角中，，由，得，，
，
所以的取值范围是.
37．【答案】（1）见详解
（2）.
【详解】（1）和正弦定理，可得.

在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
则，
又，且，
所以，
因为，
所以，
故平分.
（2）由（1）可知平分，
因，则，
因为的面积为1，
所以，
则.
在中，由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以，
则，
即的最小值为.
38．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
由，所以.
（2）因为，
故，即，又，则，
所以为等腰三角形.
39．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
40．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：在中，因为
由余弦定理可知：，
又因为的面积，所以．
所以，
因为，所以．
（2）解：设外接圆的半径为，则，所以，
由正弦定理得，所以，
因为的面积，所以，
由余弦定理得，
所以，即，所以，
所以的周长为．
41．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）如图，
因为，
所以，因为D为边上一点，，
所以D为中点，所以，
所以，因为，
所以，所以，
在中，因为，
所以，
所以，
即，，
即，，
所以．即；
（2）如图，
在中由余弦定理得，
所以，
设，则，
在中由余弦定理得，
解得，所以，
又因为，
所以，
所以的面积， 的面积，
所以和的面积之差，
即和的面积之差为，
故和的面积相等，
从而和的面积相等，
故．
42．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，则，
即，且，则，
又，
解得；
（2）因为，且，
则；
（3）因为，，
则.
43．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由余弦定理可得,
由正弦定理可得,
由于,所以，
（2）设，则．
，，故，
，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，同理，
，
，即，整理得，
又,故
所以的值为．
44．【答案】（1）
（2）9
【详解】（1）由余弦定理及，可得，
又由正弦定理，可得.
因为，所以，所以，所以.
又因为，所以.
（2）由（1）可知，又知外接圆的半径为，
则由正弦定理得.
又由，可得，
根据余弦定理，得，所以，所以，
所以的周长为.
45．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
又，
，
，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
即面积的最大值为.

46．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，由余弦定理得，，
代入，
则，
即，
即，
因为，所以，则
（2）因为的面积为2，
所以，即，
又因为，，，所以，
则，则
47．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），，
由正弦定理可得：，
，, 即，
，．
（2）如图，延长到，满足，连接，
则为平行四边形，且，
在中，由余弦定理得，
即，可得，即，
由基本不等式得：，
即，即，可得，
（当且仅当取等号号），
又由，即，
故的取值范围是.
48．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以，
即，解得，
又，所以 .
（2）由余弦定理，
即，
故，当且仅当时取等号，
又，故，即周长的取值范围是.
49．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，
根据正弦定理，得，
由，则，
即,
而，故，
又，
所以
（2）由（1）可得，
即，
设的内心为，即，
故.
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以的周长为
因为，
所以，
所以，
所以，
故的周长取值范围为.
50．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，由余弦定理，，
故，且，
设，则，故，
在中，由正弦定理，，则
在中，由正弦定理，，则，故，
即，化简得，
则，整理得，
而，故，故即，
故，故，
故为等边三角形，故的面积为.
（2）因为，，故，设，则，
而，，则，
因，，则，故，
在中，，
在中，有，故，
所以，即，
故.
51．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）
【详解】（1）解：由，可得，即，
因为，所以，所以，解得，
由正弦定理，可得且，
又因为且，
所以，所以，
所以，所以，则，
所以是等腰直角三角形．
（2）解：由（1）知是等腰直角三角形，因为，所以，
因为，在直角中，可得，
又因为，当且仅当时取等号，故，
所以，
所以，即四边形面积的最大值为．
52．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
在中，，由正弦定理得
，
.
（2）由（1）知，
中，
53．【答案】（1）米
（2）救援车不能从此处通过，理由见详解
【详解】（1）在中，，，所以，
由正弦定理，得.，
又,
所以，
所以，求折断前树的高度为以米.
（2）如图，设的内接矩形的边在上，且，
设，因为，，所以，
所以，
所以，
则，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以救援车不能从此处通过.
54．【答案】（1）
（2）海里
【详解】（1）由题设，，，，
在△中，，则；
（2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则，
由，
所以海里.
55．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）
由定义可知：，
在三角形中，，即，
在三角形中，，即，
因为是的中点，且，所以
（2）因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.
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