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2024-2025 学年河北省保定市六校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 的最小值为( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 1 + 1
2.设随机变量 ～ (2, 2)， (0 < < 4) = 0.3，则 ( < 0) =( )
A. 0.65 B. 0.7 C. 0.35 D. 0.25
3.已知离散型随机变量 的分布列如下表所示，则 的值为( )
0 1 2 3
0.3 0.12
0.9
2 0.16
A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D. 16
4.对任意的实数 ，若 4 = 0 + ( 2) + ( 2)21 2 + 3( 2)3 + 44( 2) ，则 0的值为( )
A. 1 B. 4 C. 16 D. 24
5.如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.
现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜
色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为( )
A. 48 B. 24 C. 144 D. 72
6.已知函数 ( ) = ( )2在 = 1 处有极小值，则 6 =( )
A. 1 B. 6 C. 20 D. 6 或 20
7.某校春季运动会需从 6 名男生和 4 名女生中选出 5 人组成志愿者小组，要求小组中至少有 2 名女生，则
不同的选法共有( )
A. 144 种 B. 186 种 C. 190 种 D. 336 种
8.已知直线 = + 是曲线 ( ) = 2 与曲线 ( ) = 的公切线，则 + 等于( )
A. 2 B. + 2 C. 2 或 0 D. 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算不正确的是( )
A. (sin ) = 13 ′ 2 B. ( )′ = 1

2
C. (

2 )′ =

2 D. (ln(3 + 1))
1
′ = 3 +1
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10.1990 年 9 月，美国《 》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《 ’ 》的蒙提霍尔
问题( )：主持人事先在编号为 1，2，3 的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪
车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭.当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持
人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，
当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车.用
表示 号门后有豪车( = 1,2,3)，用 表示主持人打开 号门( = 2,3)，已知甲选择了 1 号门，则下列结论正
确的是( )
A. ( 11) = 3
B. ( 2| 3) = 1
C.主持人打开的是 2 号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择 1 号门
D.主持人打开的是 2 号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选 3 号门
11
(2 1)
.已知函数 ( ) = 1 ，则下列说法正确的有( )
A. ( )有唯一零点
3
B. ( ) = 4 2
C. ∈ ，使得 ( ) = 有三个不等实根
D. ∈ ，使得| (| |)| = 有六个不等实根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( + )8的展开式中 2 6的系数为______．
13 .定义在(0, 2 )上的函数 ( )满足 ( 6 ) = 3且 ′( ) + ( ) > 0，则满足 ( ) > 2 的 的取值
范围为______．
14.勒让德三平方和定理( ’ )是数论中关于自然数表示为三个整数平方和
的重要定理，其核心内容为：如果一个自然数 符合下述条件时，则可以表示为三个整数平方之和，其中 ，
均为非负整数： = 2 + 2 + 2， ≠ 4 (8 + 7).例如：正整数 13 = 32 + 22 + 02，6 = 22 + 12 + 12，设
29 = 2 + 2 + 2，其中 ， ， 均为自然数，则满足条件的有序数组( , , )的个数是______. (用数字作答)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
′(1) 3
已知函数 ( ) = + 2 + ．
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(1)求 ′(1)的值；
(2)求 ( )的极值．
16.(本小题 15 分)
为庆祝校庆，5 名同学(3 男 2 女)相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起. (列出算
式并计算结果)
(1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？
(2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？
(3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？
17.(本小题 15 分)
投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是 3 的倍数时得 2 分，掷得的点数不是 3 的倍数时得 1 分.独立
地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷 3 次骰子，最终得分为 ，求随机变量 的分布列与期望；
(2)学生甲、乙各投掷 4 次骰子，已知甲前两次投掷后得了 4 分，求甲、乙 4 次投掷后，乙最终得分高于甲
最终得分的概率．
18.(本小题 17 分)
相约春风里奔跑幸福中—2025 石家庄马拉松赛后，掀起了体育运动的热潮.为推进“阳光体育”进校园活动，
市教育局随机选取 8 所小学调研“趣味体操”的参与情况，统计各校参与学生人数，得到数据如下表所示：
学校
参加趣味体操人数(人) 45 53 23 37 33 18 24 48
(1)体育特色校评选
若“趣味体操”参与人数超过 30 人的学校可评为“体育特色校”，现在从这 8 所学校中随机选出 3 所，记
可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)体操技能测试
在趣味体操课程中，学生需掌握“平衡木”“跳箱”“前滚翻”三项基础技能.阶段性测试要求：在一轮测
试中，这三项至少有两项达到“优秀”，该轮测试才被记为“优秀”.某同学 3 项基本技能每项达到“优秀”
2
的概率均为5，每项测试及每轮测试互不影响．
①求单轮测试“优秀”的概率；
②如果该同学进行多轮独立测试，若希望“优秀”总次数的期望达到 2 次，理论上至少需测试多少轮？
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( + 2) + ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)设 ( ) = ( ) 2 2 2，当 = 0 时， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.28
13.( 6 ,

2 )
14.12
15.(1) ′(1) 3因为 ( ) = + 2 + ， > 0，
( ) = 1 + ′(1) 3所以 ′ 2 2，
所以 ′(1) = 1 + ′(1)2 3，解得 ′(1) = 4；
(2)由(1) 3可知 ( ) = 2 + ， > 0，
( ) = ( +1)( 3)所以 ′ 2 ，
令 ′( ) = 0，解得 = 1(舍去)或 = 3，
所以当 变化时， ( )， ′( )变化情况如下表所示：
(0,3) 3 (3, + ∞)
′( ) 0 +
( ) 4单调递减 2 3 单调递增
所以 ( )仅有极小值为 (3) = 4 2 3，无极大值．
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16.已知 5 名同学(3 男 2 女)相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起，
(1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，
先将 3 名男生排在一起，有 33 = 6 种排法，
再将 2 名女生排在一起，有 22 = 2 种排法，
将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有 22 = 2 种排法，
由分步乘法计数原理可知，共有 3 × 23 2 × 22 = 6 × 2 × 2 = 24 种排法．
(2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，
先将 3 名男生排好，共有 33 = 6 种排法，
再在这 3 名男生中间的 2 个空位中插入 2 名女生，共有 22 = 2 种排法，
再由分步乘法计数原理，共有 3 23 × 2 = 6 × 2 = 12 种排法．
(3)若同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，
先将甲乙丙以外的其余 2 人排好，共有 22 = 2 种排法，
由于甲乙相邻，则有 22 = 2 种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的 2 人的中间及两边共 3 个空位中，共有 23 = 6 种排法，
由分步计数原理，共有 2 × 2 22 2 × 3 = 2 × 2 × 6 = 24 种排法．
17.(1)投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是 3 的倍数时得 2 分，
掷得的点数不是 3 的倍数时得 1 分，
独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分，
投掷 3 次骰子，最终得分为 ，
2 1 1 2
由题意得学生每次掷骰子得 2 分的概率为6 = 3，得 1 分的概率为 1 3 = 3．
由题意学生投掷 3 次得分 的取值为 3，4，5，6，
( = 3) = ( 2 )3 = 83 27，
( = 4) = 1( 1 )13 3 (
2 2 12 4
3 ) = 27 = 9，
( = 5) = 2( 1 )2( 2 )1 = 6 = 23 3 3 27 9，
( = 6) = ( 1 )33 =
1
27，
∴ 的分布列为：
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3 4 5 6
8 4 2 1
27 9 9 27
∴ ( ) = 3 × 827 + 4 ×
4 2 1
9+ 5 × 9 + 6 × 27 = 4．
(2)学生甲、乙各投掷 4 次骰子，甲前两次投掷后得了 4 分，
记 =“甲最终得分为 分”， = 6，7，8，
=“乙最终得分高于甲最终得分”，
( ) = 2( 2 2 4 1 2 1 4 1 2 16 2 3 ) = 9， ( 7) = 2 3 × 3 = 9， ( 8) = ( 3 ) = 9，
当甲最终得 6 分时，乙需要最终得 7 分或者 8 分，
则 ( | ) = 4( 16 4 3 )
4 + 34(
1 3 2 9
3 ) 3 = 81；
1 1
当甲最终得 7 分时，乙需要最终得 8 分，则 ( | ) = 4 47 4( 3 ) = 81；
当甲最终得 8 分时，乙不会比甲得分高，则 ( | 8) = 0，
∴ ( ) = ( 6 ) + ( 7 ) + ( 8 )
= ( 6) × ( | 6) + ( 7) × ( | 7) + ( 8) × ( | 8)
4 9 4 1 1
= 9 × 81 + 9 × 81 + 9 × 0
= 40729，
∴甲、乙 4 40次投掷后，乙最终得分高于甲最终得分的概率为729．
18.(1)趣味体操”参与人数超过 30 人的学校可评为“体育特色校”，
从这 8 所学校中随机选出 3 所，记可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量 ，
参加“趣味体操”人数在 30 人以上的学校共 5 所，则 所有可能取值为 0，1，2，3，
0 3 1 1 2 15
则 ( = 0) = 5 33 = 56， ( = 1) =
5 3 =
8
3
8 56
，
2 1 3 0
( = 2) = 5 3 = 15 5 3 5
38 28
， ( = 3) = 3 = 8 28
，
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
1 15 15 5
56 56 28 28
( ) = 1 × 0+ 15 × 1+ 15 × 2+ 5 × 3 = 105 = 1556 56 28 28 56 8．
(2)①由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：
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= 2( 2 )2 3+ 3( 2 3 443 5 5 3 5 ) = 125．
②该同学在 轮测试中获“优秀”次数 服从二项分布，
44
即满足 ( , )， = 125，
∵ ( ) = = × 44125 ≥ 2，
∴ ≥ 125×244 ≈ 5.68．
∴希望“优秀”总次数的期望达到 2 次，理论上至少需要进行 6 轮测试．
19.(1) ∵ ( ) = 2 + ( + 2) + ，
∴ ′( ) = 2 2 + ( + 2) + 1 = ( + 1)(2 + 1)，
①当 ≥ 0 时， ′( ) ≥ 0， ( )在 上单调递增，
1
②当 < 0 时，由 ′( ) = 0 得 = ln( )，
令 ′( ) > 0 得 < ln( 1 )；令 ′( ) < 0 得 > ln(
1
)；
∴ ( )在( ∞, ln( 1 ))
1
上单调递增，在(ln( ), + ∞)上单调递减；
综上，当 ≥ 0 时， ( )在 上单调递增；
当 < 0 时， ( )在( ∞, ln( 1 1 ))上单调递增，在(ln( ), + ∞)上单调递减；
(2)当 = 0 时， ( ) = ( ) 2 2 2 = 2 2 2 ≥ 0 恒成立，
≤ 1 ( ) = 1即2 恒成立，令 ( > 0)

，只需 ( ) ≥ 2，
2 + ′( ) = 2 ，
令 ( ) = 2 + ， ′( ) = 2 + 2 + 1 ，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( ) = 2 + 单调递增，
1
1 ∵ ( ) = 2 1 < 0， (1) = > 0，
∴ 1 1 10 ∈ ( , 1)，使得 ( 0) =
2
0 0 + 0 = 0，即 0 0 = ln0
，
0
令 ( ) = ，则 ( 0) = (ln
1
)，0
∵ ′( ) = + = ( + 1) > 0，∴ > 0 时 ( )单调递增，
∴ 0 = ln
1
=
1
0，即 0 = ，①
0 0
∈ (0, 0)时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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∈ ( 0, + ∞)时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增，
故 ( )在 = 0处取得最小值 ( 0)，
1
0 0 0 1
结合①可得 ( ) = 0 0 1 = 0 = 1+ 0 10 = 1，0 0 0
∴ ( ) = 1 ≥ 2，解得 ∈ ( ∞,2]．
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