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2025--2026高考数学第一轮复习试卷：平面向量解答题专项练
一、平面向量的线性运算（本大题共1小题）
1．如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，.
（1）用，表示（请写出具体推理步骤）；
（2）求的值.
二、平面向量的基本定理及坐标表示（本大题共6小题）
2．在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且.
（1）若，求面积的取值范围；
（2）已知，.
（i）求BC边上的高；
（ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值.
3．如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为.
（1）若，求AP的长；
（2）设，
①用向量表示向量；
②求的值.
4．已知向量.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值.
5．已知，．
（1）若与共线，求的值．
（2）若与的夹角为90°，求的值．
（3）求向量在向量上投影向量．
6．已知，是平面内两个不共线的向量，若，，．
（1）证明：A，B，C三点共线；
（2）若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标．
7．已知点，向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标．
三、平面向量的数量积（本大题共26小题）
8．已知平面向量，，若，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，，向量与向量共线且方向相反，求实数t的值．
9．如图，在边长为2的菱形中.

（1）求；
（2）若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
10．设 向量
（1）若 求;
（2）若 求 的值;
（3）若 求证： //
11．如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，).
（1）当时，用向量，表示向量；
（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
12．已知向量，其中
（1）若，求k的值；
（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
13．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求．
14．已知平面向量、满足，，.
（1）求在上的投影向量（结果用表示）；
（2）求；
（3）若，求.
15．在中，、、分别为的内角、、的对边，满足，为的中点.
（1）求角的大小；
（2）若，，求线段的长度.
16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，．
（1）求向量与向量夹角的余弦值；
（2）点C是线段的三等分点，求点C的坐标．
17．已知平面向量满足.
（1）求向量与的夹角；
（2）求向量的模.
18．已知平面直角坐标系中，点，单位向量与向量垂直.
（1）求单位向量的坐标；
（2）若，且，求向量在上的投影向量.
19．某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H.
（1）求；
（2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值；
（3）若，求的值.
20．在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，．
（1）用，表示，；
（2）若，求；
（3）若，求的取值范围．
21．如图，在平面四边形中，是等边三角形，点E，F分别是，的中点，，，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
22．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.
（1）用与表示；
（2）求的取值范围；
23．平面内给定三个向量.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求满足的实数m，n.
24．在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，.
（1）若，，，求与的夹角.
（2）若
①与夹角余弦值；
②判断四边形的形状，并说明理由.
25．已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
26．在中，，E为中点，与交于点.
（1）设，求实数的值；
（2）若，，，设是上一点，且，求的值.
27．如图，在中，，，分别是，的中点.
（1）设，，试用，表示，；
（2）若，求.
28．已知向量和，且，求：
（1）的值
（2）的值
（3）的夹角的余弦值.
29．已知平面向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求．
30．已知向量、满足，，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角.
31．已知，，.
（1）若，求λ的值；
（2）当k为何值时，？
32．已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且，求．
33．已知向量满足与的夹角为.
（1）求；
（2）当为何值时，向量与垂直？
四、平面向量应用举例（本大题共3小题）
34．（1）叙述余弦定理，并用向量法证明；
（2）叙述正弦定理，并用向量法证明（仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角）；
（3）用正弦定理证明余弦定理．
35．如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设.
（1）试用向量表示；
（2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（3）设的面积为的面积为，求的取值范围.
36．如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为．
（1）求的值；
（2）求的正弦值；
（3）点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值．
五、专题综合（本大题共7小题）
37．如图，我们把由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”，设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
38．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值.
39．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）
（1）若，求A,B之间的余弦距离；
（2）已知，若，求M、P之间的曼哈顿距离；
（3）若点，求的最大值．
40．设是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心顺时针旋转得到，当为零向量时，规定也是零向量．
（1）若，，求，；
（2）若为不共线的向量，满足，请解答下面的问题：
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
41．如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为、中点，求的最大值.
42．定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）．
（1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标；
（2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围；
（3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围．
43．向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）；
（1）证明：；
（2）如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义．
（3）有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长．
参考答案
1．【答案】（1）
（2）3
【详解】（1）
（2），
，，三点共线，，.
2．【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）因为，
所以.
因为，，所以，，所以，
又，所以.
由正弦定理得，，，
代入，得，整理得.
由余弦定理得，所以，，，，
所以.
因为为锐角三角形，所以且，即，
所以，，.
故面积的取值范围为.
（2）（i）因为，所以，
因为，所以，所以.
设为外接圆的半径，为BC边上的高.
由正弦定理，得，
所以，即.
由余弦定理，得，解得，
所以，.
（ii）由，，解得，.
因为是的平分线，所以，
又，，
所以，
所以.
因此，，，的值为.
3．【答案】（1）2
（2）；
【详解】（1）
在平行四边形中，，垂足为，，
，
解得，故长为2.
（2）①
②，且三点共线，
，
又，
则，
由可知，
展开，化简得到
联立解得，故.
4．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1），
.
（2），
又，，
所以，解得，
所以.
（3）,
，
，
，
，
解得.
5．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为与共线，所以，解得；
（2）因为，，
又与的夹角为90°，
则，解得；
（3）因为，，
所以，，
所以向量在向量上投影向量为．
6．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为，所以．
又因为有公共点点，
所以A，B，C三点共线．
（2）设点P的坐标为，则，，
因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以，
即，解得，
所以点P的坐标为．
7．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
因为，所以，
得；
（2）设，因为点在线段的延长线上且，
所以，
所以，解得：，
所以点的坐标为.
8．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
则
，
解得，又因为，
因此，，即向量、的夹角为．
（2）因为向量与向量共线，所以存在实数λ使得，
即，
因为向量与不共线，所以，
解得或，
因为向量与方向相反，所以，
所以.
9．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在菱形中，易知，，
所以
.
（2）在菱形中，，易知，
由，则，即，
所以
，
故，所以当时，取得最小值为.
10．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【详解】（1）若，则，，
再由，可得
（2）由题意可得，
，
．
结合，可得为第三象限角，故，
；
（3）若，则有，
，
故．
11．【答案】（1）＋
（2），
【详解】（1）解：因为当时，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
（2）因为＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因为，所以当λ＝时，||2有最小值，
即||有最小值.
12．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2），
，
所以，
所以向量在向量的投影向量为.
13．【答案】（1）9
（2）
【详解】（1），
，故，解得；
（2），
，故，解得，
所以，
.
14．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）∵，即，
又∵，，∴.
∴在上的投影向量为.
（2）由（1）知，
.
.
（3）∵，，∴，
作，，，如下图所示：
，即，
，即，
，则，故、共线，即，
又，故、同向，故.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，即，
由余弦定理可得，
因为，故.
（2）因为为的中点，所以，即，
所以
，故.
16．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1）因为点O为坐标原点，，，所以，，
则，
所以向量与向量夹角的余弦值为；
（2）若点C是线段的三等分点，则或，设，
当时，，
则，解得，所以；
当时，，
则，解得，所以，
故点C的坐标为或.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意，
所以，
即，
.
.
.
（2）.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意，设所求为，
因为单位向量与向量垂直，
所以，解得或；
故所求为；
（2）由题意，
因为，且与向量垂直，所以，
解得，
所以，而，
从而，
因为，
所以向量在上的投影向量.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为，
∴由正弦定理可得：，解得.
.
由题可知，.
（2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点.
由题意及对称性可知.
故要使取得最小值，只需最小.
在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时.
∴，
即的最小值为.
（3）由（1）可知：，.
，.
又，
∴由圆的性质可知.
又，
∴，解得.
∴在锐角中，，，
，.
∴由正弦定理可得：，
∴，.
在中，由点H是的垂心可得，，.
在中，由正弦定理可得，.
同理可得，
，
∴.
20．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）由题意知，，
；
（2）若，则，
所以，
可得，
即，所以．
（3）设，，
因为，
所以
，
令，则，，
因为，，
可得，
所以的取值范围是．
21．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）在中，
由余弦定理知，
所以．
（2）在中，由正弦定理知，
所以．
（3）因为是等边三角形，所以，
因为点E，F分别是，的中点，，所以，
所以
．
22．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在直角梯形中，，，为的中点，
所以.
（2）由，得，由，得，
因此，而，
所以.
23．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，所以.
（2）因为，且，
所以，
，解得.
24．【答案】（1）
（2）① ②四边形为梯形，理由见详解
【详解】（1），，
即，则，；
（2）①，，
，
，，与夹角余弦值为；
②，
，且，
四边形为梯形.
25．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，，则，
若，则，解得.
（2）因为，，
则，整理可得，
且，则，可得，
即，所以.
26．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，由，得，则，
而E为中点，则，又，因此，
又点共线，于是，所以.
（2）由，得，
由（1）得，，
由，，，得，
所以
.
27．【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以，，
所以，.
（2）因为，所以，所以,
化简整理得，又因为，所以即,
所以即，所以.
28．【答案】（1）2
（2）
（3）
【详解】（1）.
（2），
（3），
29．【答案】（1）或；
（2）或.
【详解】（1）若，则，故或；
（2）若，则，即，
则或，
若，则，，则，
若，则，，则，
即或.
30．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为向量、满足，，且，
即，解得，
因为，即,
解得.
（2）因为，
，
因此.
因为，因此，即与的夹角为.
31．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题可知，，
，
解得
（2）由，得
， ，
32．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：由向量，
因为，所以，解得．
（2）解：由题意得，向量，，
由，可得，则，
即，解得或，
因为，所以，可得，
所以．
33．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由与的夹角为，得，
所以.
（2）由向量与垂直，得
，解得，
所以当时，向量与垂直.
34．【答案】（1）余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．，见详解；（2）见详解；（3）见详解
【详解】（1）余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
或者：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则
，，．
证明：仅证明，其他同理可证．
因为，
所以，即．
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
或者：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则．
证明：法1：当是钝角三角形时，不妨设A为钝角，过点A作与垂直的单位向量，则，，，．

因为，所以，
即，
即．
即，所以．
同理可证，所以．
法2：当是钝角三角形时，不妨设A为钝角．
如图，过点B作边上的高，

则，
即，
即，
即，即，
所以．
同理可证，所以．
（3）仅证明，其他同理可证．原式等价于．
证明：由正弦定理，得．
，
所以．
35．【答案】（1）；
（2）是，；
（3）
【详解】（1）∵为的中点，为的中点，
∴.
（2）∵三点共线，∴，又∵，
∴由（1）知，
而不共线，所以，解得，
所以为定值.
（3），
由（2）知，即
则
令且，所以
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
且，∴有最小值，最大值，
故.
36．【答案】（1）60
（2）
（3）点是圆弧的中点，
【详解】（1）解法一：
因为两点在复平面内对应的复数分别为，
所以,
从而，
因此.
解法二：
因为两点对应的复数分别为，
所以,
从而，
因此.
（2）解法一：
由（1）知，，从而可得：
.
所以，
可得.
解法二：由（1）知，,
由余弦定理得：
，所以.
由正弦定理得：,
所以得：.
（3）由题意可知，的面积是定值，因为点与点关于直线对称，
所以只需求的面积的最大值即可.
在中，的长度是定值，故只需求点到直线的距离的最大值，
因为曲线为圆弧，所以当点是圆弧的中点时，点到直线的距离最大，
从而的面积达到最大.
连接,因为，
可知,
又因为,
五边形的面积为，则有
.
37．【答案】（1）
（2）见详解
（3）.
【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得
.
令，则
因为，所以，则，
又，
即，
所以，.
已知恒成立，即对恒成立.
因为时，，所以对恒成立.
令，，单调递增，
当时，.
所以，即实数的取值范围是.
38．【答案】（1）2；
（2）7；
（3）16
【详解】（1）由已知，得，
设的夹角为，由，可得，即，
又，所以，
所以.
（2）设，则，，
设的夹角为，则，
，
所以，
又，
所以.
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是16.
39．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）依题意，，则，
因此，
所以A,B之间的余弦距离.
（2），
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以M、P之间的曼哈顿距离
.
（3）设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图，

当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为.
40．【答案】（1），；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）0
【详解】（1）已知，将以点为旋转中心顺时针旋转得到.
根据向量旋转的性质，若，则旋转后的，所以.
那么.
已知，将以点为旋转中心顺时针旋转得到，则.
所以.
（2）（ⅰ）已知，两边同时进行RT运算与做点积，即.
根据RT运算的分配律（可由向量数量积的分配律推导）可得：.
因为，设，则，.
所以，又因为不共线，，则.
（ⅱ）根据向量数量积的分配律可得：
.
由RT运算的定义可知，，.
因为，，，所以，，.
则.
41．【答案】（1）；
（2）；
（3）
【详解】（1）由题意可知，，的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，.
则，所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
，则，
，
因为与的夹角为，则，解得.
（3）依题意设，，
且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，，
由题意可知，，，
则，
在中依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则
42．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）解：
，
所以函数的相伴向量．
（2）解：由题知：，
所以．
①当时，；
②当时，．
所以，
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，
单调递减且，
∵图象与有且仅有四个不同的交点，
所以实数k的取值范围为
（3）解：的“相伴函数”，其中，，．
当，即，时取得最大值．
所以，
当时，此时，，，所以无意义，
当时，所以，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以时，
所以．
43．【答案】（1）证明见详解；
（2），几何意义为以向量构成的平行六面体的体积；
（3）.
【详解】（1）左边由定义可得，
右边左边．
故等式得证.
（2）设，由定义可得底面的面积为：，
又因为为同时与垂直的向量，故为底面的法向量，
则平行六面体的体高为：，
所以平行六面体的体积为：，
又因为，故点在底面的投影为的重心，易得，
所以．
所以，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积．
（3）如图，设正四面体的棱长为，其中
设，且平面与交于，与交于，
故有，
又由（2）可得，
，
同理，
由（1）可得，
所以，
，
所以，即．
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