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2025--2026高考数学第一轮复习试卷：三角函数解答题专项练
一、同角三角函数的基本关系（本大题共5小题）
1．（1）在中，.求的值；
（2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值.
2．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．
（2）已知，求的值；
（3）若角的终边落在直线上，求的值．
3．已知．
（1）若是第三象限角，求，的值；
（2）先化简再求值：．
4．（1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状．
（2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由．
5．已知函数，其中为第三象限角且
（1）求的值；
（2）求的值.
二、三角函数的诱导公式（本大题共4小题）
6．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
7．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于一点．
（1）求的值；
（2）求的值．
8．（1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求值：（ⅰ）；
（ⅱ）
（2）若，求的值．
9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
三、三角函数的图象与性质（本大题共2小题）
10．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且满足．
（1）求；
（2）求的取值范围．
11．如图，在中，，为边上一点且，.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
四、函数y=Asin（ωx＋φ）（本大题共16小题）
12．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，，，求；
（3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
13．已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
14．已知函数.
（1）若角的终边经过点，求的值；
（2）填写下表，并用五点法作出在的图象；
0
（3）当时，求的值域.
15．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 3 0 0
（1）求出实数和函数的解析式；
（2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围.
16．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）用五点法在下图中画出在闭区间上的简图.
17．函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）已知函数，，求的最大值．
18．已知函数
（1）用“五点法”作出在上的简图;
（2）写出的对称中心以及单调递增区间;
（3）求的最大值以及取得最大值时的集合.
19．已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
20．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求的单调递减区间和其图象的对称中心．
21．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最小值及此时x的取值.
22．已知函数.
（1）求函数的周期和对称轴方程；
（2）若将的图象上的所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上的零点从小到大依次为，求的值；
（3）若方程在上的解为，求.
23．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
24．已知函数.
（1）当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；
（2）若的图象向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求ω的取值范围．
25．已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围.
26．已知向量，函数.
（1）求函数的周期，最大值，最小值；
（2）若，求的值.
27．已知函数．
（1）求的最小正周期，对称中心；
（2）求的单调区间，最值以及取得最值时的值．
五、三角函数模型的简单应用（本大题共5小题）
28．如图，某居民小区有一矩形绿化广场，其中米，米，现将在其内部设计一个三角形花坛种植花卉，其中点在边上，点在边上，要求.
（1）若米，判断是否符合要求，并说明理由；
（2）设，写出的面积关于的表达式，并求的最小值.
29．如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令.
（1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;
（2）求面积的最小值.
30．某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
31．现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设．
（1）求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域；
（2）求养殖面积的最小值，及此时的值．
32．蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚁虫密度值的数据如下表；
2 5 8 11
42 82 42 2
（1）从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由；
（2）在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式；
（3）今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？
六、三角函数综合问题（本大题共3小题）
33．已知函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为，且的图象过点.
（1）若是奇函数，求的最小值；
（2）令，记在区间上的零点从小到大依次为，求的值.
34．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”
（1）判断，，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；
（2）若，，是，的“3重覆盖函数”，求m的取值范围；
（3）若，，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．
35．将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性．
（1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①；
②（其中表示不超过x的最大整数）；
③．
（2）已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，．
（ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标；
（ⅱ）证明在方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求．
七、三角恒等变换（本大题共13小题）
36．（1）若，，求的值．
（2）已知，，，求的值．
37．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
（1）已知试证明此三倍角公式；
（2）若角满足，求的值（已知）；
（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
38．已知函数．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
39．已知.
（1）求，的值；
（2）若，为锐角，且，求.
40．已知函数的最小值为1．
（1）求的值和的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间；
（3）若成立，求的取值范围．
41．求值：
（1）;
（2）．
42．已知向量，，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角.
43．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；
（2）若锐角满足，求的值.
44．已知函数.
（1）求函数的对称中心与对称轴；
（2）当时，求函数的单调递增区间；
（3）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
45．如图，正方形的边长为分别为线段上的动点，设.
（1）若，求；
（2）若的周长为2，
①求；
②求面积的最小值.
46．已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
47．已知函数.
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）当时，求的值域.
48．若，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
八、正弦定理及其应用（本大题共4小题）
49．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
（1）若，求tanC的值；
（2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
50．已知向量，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角三角形中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的取值范围．
51．在斜三角形中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，点满足，且，求的面积．
52．已知的角所对应的边为，，.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，求证：.
九、余弦定理及其应用（本大题共4小题）
53．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，.
（ⅰ）求a．
（ⅱ）过边BC上一点P作AB，AC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值．
54．已知中，，，.
（1）求a、c的值；
（2）求的值.
55．已知中，.
（1）求；
（2）证明：.
56．已知向量，，函数．
（1）求的解析式和当时在方向上的投影向量；
（2）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长；
（3）若，，求．
参考答案
1．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在中，因为，又，
则，，
，
所以
（2）易知
.
2．【答案】（1）①，②；（2）；（3）0.
【详解】（1）①
，
②；
（2），故，
解得，
；
（3），
∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角，
当是第二象限角时，，
当是第四象限角时，，
综上，的值为.
3．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，，若是第三象限角，
则解得.
（2）由题意，
若，则原式.
4．【答案】（1），是钝角三角形；
（2）存在，使等式同时成立，理由见解析
【详解】（1）因为关于x的方程的两根为，．
所以，
由，可得，
解得，所以，所以，
解得或，
因为为的一个内角，所以，所以，
又，所以，且，所以，
所以，所以，所以是钝角三角形；
（2）存在，使等式同时成立.
由，得，
所以，两式平方后相加可得，
又因为，得到，即.
因为，所以或.
将代入，得，
由于，所以.
将代入，得，
由于，这样的角不存在.
综上可知，存在，使等式同时成立.
5．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
，
为第三象限角，故，，故，
.
（2）
.
6．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）；.
（2），
.
7．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由三角函数的定义可得，，
所以.
（2）由三角函数的定义可得，
所以
.
8．【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），（2）
【详解】（1）由于角的终边经过，
（ⅰ）故，
（ⅱ），
，
（2）
，
故，
9．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为角的终边经过点，且.
所以，.
（2）因为，，，.
且，，，
所以.
10．【答案】（1）
（2）．
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，
因为，所以；
（2）由（1）知，所以，
由正弦定理知.
因为为锐角三角形，，所以解得，
所以，可得，所以，
所以的取值范围是．
11．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），，，且为锐角，
在中，由正弦定理得，
解得，，
，
.
（2）在中，由正弦定理得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
，
，，且，
，
，，，
故的取值范围为.
12．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）依题意知，，，
所以，又，可得，故函数（），
由图象经过点，所以，
可得，所以，，
所以，，又因为，所以，
所以，
令解得，
故对称中心为.
（2）因为，所以，
所以，
由，
可得，即，可得，
所以；
（3）因为对任意的，，都有，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
，
令，则，，
对称轴为，所以①，可得，
②，可得，
③，可得，
综上.
13．【答案】（1），作图见解析
（2）
（3）
【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
0
2 0 0
在直角坐标系中作图如下：
（2）依题意是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
（3）由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
14．【答案】（1）
（2）见解析
（3）
【详解】（1）若角的终边经过点，则，，
所以；
（2）
0
0
0 2 0
根据表格数据描点作图
（3）当时，，
当时，即时，函数取得最小值，
当时，即时，函数取得最大值，
所以函数的值域是.
15．【答案】（1），；
（2）
（3）.
【详解】（1）由题意得，所以，且，
所以，且，所以，
故，.
（2）的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
可得的图象，
因为图象的一个对称中心为，
则，得，
因为，所以当时，此时取得最小值为.
（3）当取最小值时，，
当时，，
此时，如图：
恰有两个实数根，
结合图象可知，即，
.
16．【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）
，
因为，
所以，即，
所以当时，的值域为；
（2）由得，列表如下：
0
0 2 0 0
如图所示：
.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由图象可知的最大值是，所以，
当时，，可得，又，所以，
当时，有最小值，所以，解得，
所以；
（2）
，
可得
所以，即时，取得最大值为.
18．【答案】（1）作图见解析；
（2）对称中心，增区间为；
（3）最大值为2, .
【详解】（1）由，得，
列表如下：
0
1 2 1 0 1
画出函数的图象，如图：
（2）由，得，
因此函数图象的对称中心为，
由，得，
所以函数的递增区间为．
（3）当，即时，，
所以函数的最大值为2，此时的集合为．
19．【答案】（1），.
（2）
【详解】（1）因为.
由，得，.
所以函数的单调增区间为：，.
（2）当时，，
结合函数的图象可得：，所以即.
即函数在区间上的值域为.
20．【答案】（1）；
（2）单调递减区间为，，，．
【详解】（1）由的部分图象知，当时，，
当时，，解得，．
因为，所以，则．
因为且，得，故．
（2）将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，
将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得的图象．
令，整理得，，
故的单调递减区间为，．
令，则，故图象的对称中心为，．
21．【答案】（1）
（2）最小值为，此时.
【详解】（1）∵，
∵，则，
∴的单调递增区间为.
（2）∵，则，
∴，即，
故当，即时，取到最小值.
22．【答案】（1），对称轴方程；
（2）；
（3）.
【详解】（1）依题意，函数，
所以函数的周期；
令，得
所以函数图象的对称轴方程.
（2）依题意，，由，得，
由，得，令，，，
设，直线与函数在上的图象有四个交点，
点关于直线对称，点关于直线对称，
点关于直线对称，则，，，
即，则
所以.
（3）方程在上的解为，则为方程在上的两解，不妨设，
当时，，，，
，，，，
，，则，
，
于是，所以.
23．【答案】（1），；
（2），.
【详解】（1）函数，
所以的最小正周期；
由，得，
所以的单调递减区间是.
（2）当时，，则当，即时，取得最小值，
所以的最小值为，取得最小值时的集合为.
24．【答案】（1）和
（2）
【详解】（1）解：因为，
所以
，
由的图象关于直线对称，可得，
所以解得，
又因为，所以当时，.
所以，令，
解得，
又由，所以，或，
即在上的单调递增区间为和.
（2）解：由已知得，令得，
即，因为在上仅有一个零点，
所以，
由于，所以得，
解得因为，所以，所以.
25．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）,
令，
解得：，
所以的单调递减区间为
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到，
则，
因为，所以，
所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点，
结合正弦函数的图象：
可得当或，即或，
即或，或时，与只有一个交点，
所以实数的取值范围为
26．【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为；
（2）.
【详解】（1）向量，
则，
所以函数的周期为，最大值为2，最小值为.
（2）由，得，
所以.
27．【答案】（1），；
（2）答案见解析
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的对称中心为；
（2）令，解得，
令，解得，
所以的严格增区间为，严格减区间，
当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值，
28．【答案】（1）符合要求，理由见解析
（2），；最小值为平方米
【详解】（1）由题意，（以下单位为米），，，
由勾股定理得，，，，
，且，所以符合要求.
（2）由已知，，则，当点Q在D点时，此时角取得最小值为0，当点Q在C点时，此时角取得最大值为，故
在中，，
在中，
，
令
当，即时，最大，S最小， 最小值为平方米
29．【答案】（1）是正三角形，；
（2）.
【详解】（1）过作，过作，垂足分别为，如图，
由，，得，
在中，，在中，，
由是正三角形，则，即，
整理得，又，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
而，
由，得，则当，即时，取最大值，
所以时，取得最小值.
30．【答案】（1）
（2）16小时.
【详解】（1）根据数据，，
，，，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，1，
或；
所以，该船在至或至能安全进港，
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
31．【答案】（1）
（2）面积最小值为，
【详解】（1）过点作垂直于，垂足为，
则，
所以，
所以；
（2），
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以养殖面积的最小值为，此时的.
32．【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）月
【详解】（1）适合.
当与时，，而，且与，且均为单调函数，
所以适合.
（2）由5月份蚊虫最多，11月份最少，得，所以，得，
由，得，
所以，将代入得，
即，又，所以，
故.
（3）令，得，
即，得，
又，故，
即养殖场应准备在月采取灭蚊措施.
33．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）依题意，函数的最小正周期满足，即，解得，
把点代入中，可得，因，则，
故函数解析式为.
因是奇函数，故，
则有，解得，
故当 时，取得最小值.
（2）由 ，可得，
设，由可得，
则在区间上的零点个数即函数与函数在区间上的交点个数.
作出其图象如下：

由图知，两者共有6个交点，即，这些交点的横坐标依次为，
根据图象的对称性，可知，
则，
因，代入可得：
，
解得，
即.
34．【答案】（1）不是，理由见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1），
，，
故的值域为，当时，，
此时，只有三个实数满足要求，
故不是的“4重覆盖函数”.
（2），，
令，则的大致图象如下：
是的“3重覆盖函数”，
，
在成立，
.
（3），
，令，
为的“9重覆盖函数”，
即有9个实数根，
即有9个实数根，
因为与的大致图象如下，
当时，解得，
当时，解得，
综上，要满足题意，所以，即.
35．【答案】（1）在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性．
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；（ⅲ）
【详解】（1）注意到；
；
．
所以函数在方向上具有平移不变性；
函数在方向上具有平移不变性；
函数在方向上具有平移不变性，其中；
（2）（ⅰ）由题目中所给信息可得：点关于直线对称的点是
，点关于点对称的点是．
（ⅱ）设点在函数的图象上，则由题 点关于直线对称后的点在函数的图象上，则点关于点对称后的点在函数的图象上，则关于直线对称后的点在函数
的图象上，则关于点对称的点在函数的图象上．所以在方向上具有平移不变性．
（ⅲ）由（2），
，注意到.
设点在函数的图象上，其中，
则在函数的图象上，其中，
令，则，
所以．
36．【答案】（1）（2）．
【详解】（1）由，，
可得，
故，
即，解得．
（2）因为，所以．又．
所以．
因为，，
所以．
所以
．
37．【答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）由
，得证.
（2）由（1）知，可得，
而.
（3）由，则，
所以，则，
所以，可得（负值舍），
所以.
38．【答案】（1）2；（2）．
【详解】（1）因为，
，
，
所以．
（2）由，得，，
所以，
.
39．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，又，
所以，则或；
（2）由，，
可得，
因为，为锐角，所以，所以．
40．【答案】（1），最小正周期
（2）
（3）
【详解】（1），
由题意，解得，的最小正周期．
（2）令，则．
因为的单调递增区间是，
由，得；
，得；
所以，在的单调递增区间是．
（3）由题意知，，即，
当时，，
所以当，即．
所以，即．
所以的取值范围是．
41．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）原式．
（2）
，
,
．
42．【答案】（1），；（2）.
【详解】知
又
（1）
（2）
又
又
43．【答案】（1）；
（2）见详解.
【详解】（1）由题设知：，则，
又，
；
（2）由（1）知：，且，
又为锐角，为第四象限角，所以为第四象限角或第一象限角.
当为第一象限角时，则，
当为第四象限角时，则.
44．【答案】（1）对称中心为；对称轴为；
（2）和；
（3）或.
【详解】（1）∵
，
令，解得，
所以对称轴为；
令，解得，
所以对称中心为.
（2）由（1）得，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（3）将的图象向左平移个单位后，得，又因为，则，
则的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
45．【答案】（1）
（2）①1；②
【详解】（1）依题意得，
所以.
（2）①，
所以，
，
在中，，
即，
整理得，
所以.
②（法一）由①可知，所以，
故.
又，
所以
.
当，即时，的面积取到最小值.
注：用积化和差公式也可以，即
.
（法二）由，得，
（或者也对）.
由①可知，
当且仅当时，等号成立，
所以，整理得，
所以.
46．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为为锐角，且，所以，
所以．
（2）由（1）知，因为，且，
所以，
所以，
，
所以．
47．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）
，
定义域为，
；
（2），
，
即 ，
，
.
48．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），均为锐角，且，所以；
所以，故；
（2）由于，均为锐角，所以，
由于，所以；
.
49．【答案】（1）因为，所以，
解得或sin,当时，，，
所以，；当时，因为，
所以，又，所以．
（2）∵，∴，，
∴，即，∴，
由角平分线定理可知，，又，所以，
由，可得，∴，，所以．
50．【答案】（1）和
（2）
【详解】（1）解：由向量，
可得，
，
令，得；
又因为，当时，；当时，，
所以函数在上的单调递增区间是和.
（2）解：由（1）可得，即，
因为，所以，所以，则，
又由正弦定理得，则，，
则．
，
因为为锐角三角形，可得由，即，得，
所以，所以，则，
所以的取值范围为，所以，
即面积的取值范围为.
51．【答案】（1）
（2）9
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴.
∵,∴.
（2）依题意画图为：

∵
∴，
∴，即为边上靠近的三等分点.
∵，∴，，
∵ ∴，，
设，则
法一：
在，中，由正弦定理，
， ，
∴，，
∴.
法二：
∵ ， ∴即，
∴，
在中，由余弦定理，
∴，
即 ,∴，，，
∴.
52．【答案】（1）
（2）；
（3）见详解
【详解】（1）由和正弦定理知，
又，则，又，
因，解得；
（2）由得，
，
即，
由，，即，
则或，
当时，，与题目中的矛盾，舍去，
故，又，故，
即；
（3）因，则，
则，即，
故，
即，
因为，故为钝角，令，，
令，
由，
故在上单调递减，
有，，所以，
因，则
由可得，
则，从而，则.
又，则，
所以，即
又，则，
综上：
53．【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）在中，，则.
由及正弦定理得，
整理，得，
即，
∵，，则，
又，故.
（2）（ⅰ）在中，，，
则，
由正弦定理，得，∴.
（ⅱ）如图，∵，∴与互补，故，
设，则，，，
∴，
则
，
当时，DE取得最小值.
54．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）设，，，
则根据余弦定理得，
即，
解得（负舍）；
则，.
（2）因为B为三角形内角，
所以，
，
因为，则
则，
55．【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）由辅助角公式可得，
即，则，
又，故.
（2）设中角的对边分别为，
由余弦定理且，
可得，
当且仅当时取等，
故.
由正弦定理可得，
又，故，即，得证.
56．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
所以
所以
，
，
所以；
当时，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，则，
由余弦定理，又，，
所以
设的边上的中线为，则，
所以
，
所以，所以的边上的中线长为；
（3）因为，可得，
即，又，则，
所以，
所以.
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