资源简介

2025--2026高考数学第一轮复习试卷:解答题专项练
一、等差数列及其通项公式（本大题共2小题）
1．已知数列满足：，，.
（1）若，证明：为常数列，并求的通项公式；
（2）将随机填入的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等；
（3）将所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前项和为，证明：.
2．已知数列的前项和为，，且．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由．
二、等差数列的前n项和公式（本大题共2小题）
3．已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当n取何值时有最小值．
4．为等差数列 的前n项和， 已知
（1）求数列 的通项公式;
（2）求，并求的最小值.
三、等比数列及其通项公式（本大题共2小题）
5．已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和．
（1）求的通项公式及；
（2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数，若存在正整数，使得，则，否则．记数列满足，求的前20项和．
6．在等差数列中，已知成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由；
（3）设，且，求的所有取值．
四、数列通项求法（本大题共2小题）
7．已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值.
8．在数列中，，且.
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
五、数列求和方法（本大题共26小题）
9．记为数列的前项和，已知，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
10．已知是等差数列，且，，数列是等比数列，其前n项和为，且满足，其中.
（1）当时，求数列与数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设数列的前n项和为，已知，证明：；
（3）当时，若数列满足（），且，若对任意正整数i，j（），恒成立，求实数的取值范围.
11．已知数列的前项和为，，且.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，
（i）求数列的前项和；
（ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式.
12．(13分)
已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=(n-1)×2n+1+2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
13．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
14．已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
（1）求；
（2）设，求数列的前21项和．
15．已知数列满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
16．已知在数列中，，，设.
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
17．已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和为．
18．已知数列满足：，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，，求数列的前n项和.
19．已知数列的前n项和为，且，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）求数列的前n项和．
20．记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
21．已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时的值．
22．已知数列满足，，且对任意的，，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
23．已知数列满足，，记，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
24．已知数列满足，记．
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：．
25．已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列．
①求的前20项和；
②证明：．
26．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前n项和；
（3）若对恒成立，求实数k的取值范围.
27．已知数列满足，，数列满足.
（1）求，的值；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）求数列的前项和.
28．已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列.
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）记，求数列的前n项和为.
29．已知数列中，，，且数列为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，证明：．
30．记数列的前项和为，若，，
（1）求的所有可能取值；
（2）若，求的所有可能取值
31．设数列的前项和为，,.
（1） 求的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和；
（3） 设，求证：.
32．已知数列是递增的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
33．记数列的前n项和为，已知，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前n项和.
34．已知数列的前n项和为，且，.
（1）求实数的值和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
六、数列与其它模块综合（本大题共5小题）
35．已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
36．已知数列满足：，其中
（1）已知，令，求数列的通项公式；
（2）已知，且对任意都满足：，求数列的通项公式；
（3）已知，记，证明
37．已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25．数列是公比大于0的等比数列，，．
（1）求和的通项公式；
（2）记，，
（ⅰ）证明是等比数列；
（ⅱ）证明，．
38．模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测 种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
（1）当时，若满足对，有，求；
（2）当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由.
（3）若，，记，证明：.
39．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
（1）若，求；
（2）证明：数列是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明：对任意正整数，.
七、数列新定义问题（本大题共11小题）
40．（17分）
若数列满足:对任意,总存在,,使得,则称是融积数列.
（1） 判断数列{是否为融积数列,并说明理由；
（2） 若等差数列是融积数列,求的通项公式；
（3） 若融积数列单调递增,,,求使成立的的最值.
41．已知数列和常数存在以下关系：对，当时，，则称为的极限，若数列的极限是，则称数列为“超极限数列”.已知数列满足.
（1）写出的前5项；
（2）证明：为“超极限数列”；
（3）若，从中任取一项，求该项能被9整除的概率.
42．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
（1）求和；
（2）求和．
（3）求数列的前项积．
43．设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；
（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.
44．（17分）
若项数为的有穷数列满足:,且对任意的,,或是数列中的项,则称数列具有性质.
（1） 判断数列1,3,4,12与数列2,4,8,16是否具有性质,并说明理由;
（2） 设数列具有性质,是中的任意一项,证明:一定是中的项；
（3） 若数列具有性质,证明:当时,数列是等比数列.
45．已知序列，，，，，（其中）对应的数阵为：
定义：是序列阵列中从到的经过各数和的最大值（每次经过的数只能往右或往下移动），且．
（1）若，，求；
（2）已知序列，和，，若，，，四个数中最小的数为或，求证：；
（3）请给出数对，，，，组成的所有序列中的最小值，并说明理由．
46．现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．
（1）若是与的等比中项，求；
（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．
（i）求证：是和的减比中项；
（ii）当时，求证：．
47．若数列满足，则称数列具有性质．
（1）若数列具有性质，且，求的值；
（2）若，求证：数列具有性质；
（3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值．
48．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列．
（1）求，的值．
（2）（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，．
49．给定正整数，数列，其中，且．若数列满足：，，时，或，则称数列B为数列A的“调节数列”．
（1）写出数列的所有调节数列B；
（2）若数列A满足通项（），将数列A的调节数列中的递增数列记为，数列中的各项和为（），求m及所有的值；
（3）已知数列A满足：，，且A的所有调节数列是递增数列，求满足条件的A的个数．
50．(17分)
设集合M={a|a=x2-y2,x∈Z,y∈Z}.对于数列{an},如果ai∈M(i=1,2,3,…),则称{an}为“平方差数列”.
(1)已知在数列{an}中,a1=3,(n+1)an-nan+1=1,求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是“平方差数列”;
(2)已知bn=2n,判断{bn}是否为“平方差数列”,说明理由;
(3)已知数列{cn}为“平方差数列”,求证:cicj∈M(i,j=1,2,3,…).
参考答案
1．【答案】（1）；
（2）见详解；
（3）见详解.
【详解】（1）由题意得，
，
，其中，
，即为常数列，
，
.
（2）对任意某行，不妨设，且，
则，
考虑另外的某行或列，不妨设（记为），且，
则，①
若为行，则知为互不相同的正整数，
不妨设，则，
；
②若为列，则该列与上述行恰存在一个交叉的相同格，
在与中同时去掉这个相同数，对于剩余的各自44个数，
这88个数仍各不相同，类似（1）进行考虑，知与仍不相等，
综上所述，命题得证.
（3）对于任意互不相等的正整数，，，，不妨设，
由（2）可知，
故知所有算术平均数的排序应为：
，
易知新数列的项数为，故，
对，使得，知，
则为中任两项的算术平均数之和，
再加上与的个算术平均数之和，
，
由于，则，得，
，
.
2．【答案】（1）见详解
（2）
（3）不存在，理由见详解
【详解】（1）由已知，
，
所以数列为首项，公差的等差数列．
（2）由（1），且时，，
，也符合，所以
所以，
所以，
因为，
所以，
，所以，
记数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
（3）不存在，显然数列为递增数列，
若存在正整数，使得成等差数列，不妨设，
则，
即，
因为，所以，显然不成立，
所以数列中不存在不同的三项构成等差数列．
3．【答案】（1）
（2），当时，取得最小值
【详解】（1）解：设的公差为d，由题意得，即，
解得，
所以的通项公式为；
（2）解：由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为.
4．【答案】（1）
（2），最小值为
【详解】（1）为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
（2）．
时，的最小值为．
5．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设的公比为是与的等差中项，
，，
∴，．
（2）由题意知，，
又，
，即，
故．
又，
．
6．【答案】（1）
（2）是等比数列，
（3）
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
因为成等差数列，
所以，解得，
所以．
（2）因为，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的前项和为．
（3）因为，所以，
因为，
所以，
当时，无解；
当时，解得或（舍去）；
当时，，即，
令，则为关于的单调递增函数，
因为，所以，
所以无解，
所以的取值为，
进一步得，当时，对任意的正整数，
，
满足：，
所以的所有取值是．
7．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则，
当时，，由，得满足上式，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，则，
当，时，，当，时，，
所以当时，的最小值为.
8．【答案】（1）见详解，
（2）
【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
故，即.
（2）解：由（1）得，
则，
①当时，
②当时，
，
综上所述，
9．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）时，，解得或，因为，所以，
时，，得，
因为，所以，又，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解法一：由，所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以，
因为对任意的，成立，
所以，当为奇数时，即，所以，
不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，
因为为奇数，所以时，，则
当为偶数时，，所以，
同理可得，因为为偶数，所以时，，则，
综上，.
解法二：由，
当为偶数时，
.
当为奇数时，
，
所以（下同解法一）
解法三：因为对任意的，成立，
则，即求的最小值，令，
当为奇数时，
则，所以最小值一定在为奇数时取到，
当为奇数时，
，
当时，，当时，，
所以当为奇数时，，
则的最小值为，
所以.
10．【答案】（1）；
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）设等差数列的公差为，已知，，根据等差数列通项公式可得：
，即.
由可得，将其代入得：，
解得.把代入得.
所以.
当时， ①，
当时， ②.
①-②得：，即.
当时，，又，所以，解得.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则.
（2）已知，将其变形为：
.
则
.
因为，所以，则.
又
，
所以单调递增，.
综上，.
（3）当时， ③，
当时， ④.
③-④得：，即.
当时，，又，所以，解得.所以.
因为.
当时，
.
当时，也满足上式.
当为奇数时，单调递减，；
当为偶数时，单调递增，.
因为对任意正整数，恒成立，所以，即，又，解得.
所以，实数的取值范围是.
11．【答案】（1）见详解；
（2）（i）；（ii）.
【详解】（1）由，，则，
所以，故是首项、公差均为1的等差数列；
（2）（i）由（1）得，
当时，，
显然满足，所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
若数列的前项和为，
则，，
所以，
所以；
（ii）当时，，与矛盾，所以，
当时，，与矛盾，所以，
综上，此时，
所以，可得，即，
所以，则
.
12．【答案】见详解
【详解】【解】(1)第一步:当n=1时,计算a1
当n=1时,a1=2. 1分
第二步:当n≥2时,得出递推关系
当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-2)×2n+2①,
又a1+2a2+…+nan=(n-1)×2n+1+2②,
②-①得nan=(n-1)×2n+1+2-(n-2)×2n-2=n·2n,
所以an=2n(n≥2), 3分
第三步:检验n=1时满足关系式
当n=1时,a1=2满足an=2n,
第四步:求得数列通项公式
所以an=2n. 6分
(2)第一步:计算数列{bn}的通项公式
由(1)可得an=2n,
所以bn===-, 9分
第二步:裂项相消法求和
则Sn=b1+b2+b3+…+bn
=+++…+
=1-, 12分
所以数列{bn}的前n项和Sn=1-. 13分
13．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
14．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
15．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）数列中，，，则，，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，则，，
所以数列的前项和.
16．【答案】（1）见详解，
（2）
【详解】（1）由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
（2）由（1）知，数列，都是递增数列，
，即，
因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，故，
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2），
.
18．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为，，显然，
则，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，则，
可得，
所以.
19．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）．
【详解】（1）证明：因为，时，，得
所以当时，，
两式作差得，
所以，
又，所以，
即，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
（2）证明：由（1）可知，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
（3）由（2）可知，即，
根据题意得，
则，
所以，
两式相减得，
即，
所以．
20．【答案】（1）；；
（2）．
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
21．【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）最大项为，或．
【详解】（1）因为，所以当时，，
两式相减得，，整理得，
即，而当时，，
经检验满足此式，所以.
（2）（ⅰ）由（1）得，，所以，
，，
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）得，，所以，
因为成等比数列，所以，即，
所以，故，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
则当时单调递增，当时单调递减，
，，
因此最大项为，此时或．
22．【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，，
所以对任意的，，，即为定值，
所以数列是公差为2的等差数列，
据，，得，，
所以，解得，故，
所以
（2）由（1）可知，，
所以当，，
，
又符合上式，所以
所以，
故
，
因为，，
所以
23．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）因为，，，
所以，
即，
又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知，
所以.
（3）由（2）得，
设，其前n项和为，
则，
，
两式相减得，
所以，
所以.
24．【答案】（1）见详解，
（2）见详解
【详解】（1）因为
，
又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
所以当为偶数时，；
当为奇数且时，
．
也符合上式．
综上所述，
（2）由（1）得，则，
可得，
两式相碱，可得
．
则．
因为，
所以为递增数列，
则，
所以．
25．【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，即，
由，取，得，即，
解得，，所以；
（2）①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以的前20项和为；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
26．【答案】（1），；
（2）；
（3）.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
故，
验证，当时，，符合，
故数列的通项公式为，；
（2）由（1）可知，
所以，
故；
（3）因为对恒成立，
所以，令，
则当时，，
当时，，，
因为，，，，，，
所以，
当时，数列递减，
所以，
故实数k的取值范围是.
27．【答案】（1），
（2）见详解
（3）
【详解】（1）由已知得：，
.
（2）证明：因为，，
所以，
而，所以是以为首项，为公差的等差数列.
（3），
因为，，，由（2）得，
所以.
28．【答案】（1）9，6
（2）见详解
（3）
【详解】（1）因为成等差数列，所以，
当时，，即，所以，
因为成等比数列，所以，
当时，，即，所以
（2）由条件可得，且，又，
故，代入中，得时，
有，即，
所以数列为等差数列
（3）由（1）（2）知数列为等差数列且，
所以数列是首项为2，公差1为的等差数列，
得，即，
故，即，
所以时，，且也符合上式，故，
则，
数列的前n项和为，
29．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列，
设数列的公差为，则，故，
所以，故.
（2）因为，
所以
，故原不等式成立.
30．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意，，得，
或，得，
或或，得
（2）由题意，对两边平方得到，
则
，
解得，
由，可知
31．【答案】
（1），即.
当时，，所以；
当时，，
，
当时，也满足上式，
,.
（2），，，
，
,.
（3）由（1）可得，
，
，
，
.
32．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设数列的公比为，，则.
由得，由得，
所以，解得或（舍去），
所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，设，
则，
将以上两式相减得，
所以.
设，
则.
33．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）由，
当时，，
两式相减得，即，①
则，②
由①②整理得，，
所以；
又，则当时，，
当时，，则，
所以，满足，
所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为.
（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
则，
所以.
34．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）当时，，又，则，所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
35．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）设的公比为，则，又，
当时，，当时，，
两式相减可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比数列的通项公式为；
（2）由，，可得，
所以，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以.
即.
36．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【详解】（1）由得，
，即，，
，是等比数列，首项为2，公比为，
即；
（2）由得：，
又得：，
两式相减得：，
得：或，
当时，代入①得：解得：，
当时，代入①得：解得：，
.
（3）由可推出，
，从而可得数列是递增数列.
由，
得：，
，
由得：
37．【答案】（1），；，
（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）见详解
【详解】（1）因为等差数列的第2项为3，其前5项和为25．
所以，，
计算得，公差为，
所以；
设等比数列的公比为，因为，所以，
解得或（舍），故；
（2）（ⅰ）由题意，，
所以，
所以，且，所以数列是以4为公比的等比数列；
（ⅱ）由题意知，，
所以，所以，
设，则，
两式相减得，
所以，
所以．
38．【答案】（1）
（2）不存在，理由见详解
（3）见详解
【详解】（1）当时，，
由题意知：，，
两式作差得：，或；
当时，，解得：或，又，；
当时，，解得：；
恒成立，又，，
数列为常数列，即.
（2）当时，；
假设在数列中，存在连续的三项成等比数列，则，
，，
，即，
又，，解得：，与矛盾，
假设错误，即在中，不存在连续的三项成等比数列.
（3）当时，，
当时，且，；
，，，，
数列为递减数列，
，，
.
39．【答案】（1），
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）
由已知有，故的方程为.
当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.
故，从而，.
（2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.
展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
方法二：因为，，，则，
由于，作差得，
，利用合比性质知，
因此是公比为的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
这就得到，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.
所以和平行，这就得到，即.
方法三：由于，作差得，
变形得①，
同理可得，
由（2）知是公比为的等比数列，令则②，
同时是公比为的等比数列，则③，
将②③代入①，
即，从而，即.
40．【答案】
（1） 是融积数列,理由如下：
设,当时,取,则,
即对任意,总存在,,,,,使得,
则是融积数列.…………2分
（2） 第一步:根据融积数列定义判断前3项的关系
设等差数列的公差为.
又是融积数列,所以对任意的,总存在,,,,使得,则.…………3分
第二步:分情况讨论得到的通项
对于,有下列三种情况:
①若则或
②若则或
③若则或或
由①②③得或或.…………6分
第三步:分情况讨论是否满足题意
对于,取,
则,则是融积数列;…………7分
对于,同上可得也是融积数列;…………8分
对于,则,当,时都有,,
故不存在,,使得,故不是融积数列.…………9分
第四步:得出结论
综上,0或1.…………10分
（3） 第一步:根据已知,递推出与的关系
因为是单调递增的融积数列,,,所以,
所以,,,,
,,,,
所以.…………12分
第二步:由的单调性确定的最小值
又因为单调递增,所以,…………13分
当以上各式等号同时成立时,故的最小值为10.…………14分
第三步:根据融积数列性质,确定的最大值
因为是融积数列,所以对任意的,总存在,,,,使得,
而,,所以对任意的必存在,使得,
又因为是单调递增数列,所以,则,
则,由,得,
当时取等号,故的最大值为122.…………16分
综上,的最小值为10,最大值为122.…………17分
41．【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【详解】（1）因为，
所以，，，，
所以.
（2）证明：，
故，
，
而当时，，
，，
故，
故.，
，
对，要想使得，只需，
即，只需取，
其中为的整数部分，
此时，即，原命题得证.
（3）当时，，
故，
故，
则，
被9整除，有3种情况：①被9整除；②被9整除；③都能被3整除.
第③种情况：若都能被3整除，则能被3整除，则能被3整除，显然错误，
设除以9的余数为，将一一列出：，
发现：，
再由的特点：，可知：，
将会重复的排列次序，
故是以24为周期的数列，
在一个周期内，，即能被9整除，故所求概率为.
42．【答案】（1），
（2），
（3）
【详解】（1）由题意，，，.
（2），所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即；
设，则，即，
又因为，所以，所以，
所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（3）要求，
只需求，
又，
所以
，
所以，所以.
43．【答案】（1）的元素为和；（2）详见详解；（3）详见详解.
【详解】（1）根据题干可得，，，，，，
满足条件，2满足条件，不满足条件，3不满足条件，
不满足条件，4不满足条件，，，，，均小于，因此5满足条件，因此；
（2）因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数.
因此，从而.
（3）设数列的所有“时刻”为，
对于第一个“时刻” ，有，3，，，
则．
对于第二个“时刻” ，有，3，，，
则．
类似的，，．
于是，．
对于，若（A），则．
若（A），则，否则由（2）知，，，，中存在“时刻”与只有个“时刻”矛盾．
从而
．
另解：（3）
①若（A），由（2）可知，，此时结论成立；
②若（A），设（A），，，，其中，3，，，，2，，，
不妨设，由题意，
所以，
同理，所以．
以此类推，我们有
，
，
，
将以上各式累加，得到，
故此时结论也成立．
综合①②可知，若数列满足，3，，，则元素个数不小于．
44．【答案】
（1） 【解】第一步：写出结论
数列1,3,4,12具有性质,数列2,4,8,16不具有性质.
第二步:说明数列1,3,4,12具有性质
对数列1,3,4,12,有,,,,,,,都是数列中的项提示：注意理解题意,或是数列中的项，
所以数列1,3,4,12具有性质.············2分
第三步:说明数列2,4,8,16不具有性质
对数列2,4,8,16,,都不是数列里的项,所以数列2,4,8,16不具有性质.············4分
（2） 【证明】第一步：先证明是数列中的项
由数列具有性质,可得不是数列中的项（提示：,所以不是数列中的项）,所以为数列中的项,故,所以是数列中的项；············5分
第二步:证明当时,是数列中的项
当时,则,所以不是数列中的项（提示：因为是数列中的最大项）,
因为数列具有性质,所以 一定是数列中的项.············7分
第三步:写出结论
综上,一定是数列中的项.············8分
（3） 【证明】第一步：证明
依题意,所以,
由（2）可知,一定是数列中的项,
所以,,, ,,（提示：通过各项之间的大小关系,确认与已知数列各项一一对应）,
所以············11分
第二步:证明
当时,,所以不是数列中的项,
所以是数列中的项.由,又,
可得,, ,,
所以,············14分
因为,由以上可知,,且,
所以,且,所以············15分
第三步:和两式相除,得时数列为等比数列
又,
两式相除,可得,
所以时,数列为等比数列.············17分
45．【答案】（1）
（2）见详解
（3），理由见详解
【详解】（1）由题意，得．
（2）因为，，
①当，，时，所以，
因为，，
所以；
②当，，时，所以，
因为，，
所以．
（3）考察序列，，，，．
所以，
，
．
设，所以．
对于数对，，，，组成的所有序列，要使最小，应使得，最小，从而，应在其中，如下表：
2 6
5 4
如是，要是前面较小，则进一步确定表中数据：
2 8 11 11 6
5 11 16 11 4
所以．
下面证明，
不妨设存在，，，，组成的数对序列为：，
使得，
若，则，矛盾；
若，，则，矛盾；
若，，则，矛盾．
综上分析，，
所以的最小值为52．
46．【答案】（1）1
（2）证明见解析.
【详解】（1）由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得，
则，即有，，，而，
因此，由是与的等比中项，得，即，而，
所以.
（2）（i）由是和的减比中项，得，
而，则，于是，令，则，
因此，即，
由（1）知，，，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，于是得，
所以是和的减比中项.
（ii）由（i）知，，，，
由，得，，
而，当时，，，因此，
由，得，即，变形得，
因此，
，
所以.
47．【答案】（1）
（2）见详解
（3）9
【详解】（1）由得，
根据题意，数列具有性质，
由，所以，故.
（2），故
(常数)
故数列具有性质.
（3）因为，
所以当时，，
两式相减得，，
即，
由数列各项都为正数，可得，
即，
又，解得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以，
得，
因为数列具有性质，所以成等比数列，
故，
于是，即，其中
，即，
，由知 ，
①若为偶数，则，即；
②若为奇数，则，即；
综上①②可得，的最小值为.
48．【答案】（1），；
（2）（i）；（ii）见详解.
【详解】（1）令，显然，
由，
.
（2）（i）由按上述规则产生共个正整数，
而产生共个正整数则个正整数包含①，
②，
故，
，
当时，
又，.
(ii)由，
当时，，
由，
当时，
令，
，
，
，
.
49．【答案】（1）
（2），
（3）所有符合条件的数列A共有个
【详解】（1）.
（2）因为，由题意共个数，
而共有项，则“调节数列”共有种情况，所以.
不妨设；则
；则
依此类推；则
故
（3）依题意，对任意，
有或或，
因为均为递增数列，所以，即同时满足：
①，②，③，④.
因为A为递增数列，因此①和②恒成立.
又因为A为整数数列，对于③，也恒成立.
对于④，一方面，由，得，即.
另一方面，，所以，
即A从第2项到第项是连续的正整数，
所以，
因此，
故共有种不同取值，即所有符合条件的数列A共有个.
50．【答案】答案见解析
(1)【详解】第一步:对递推式变形构造新数列,求数列{an}的通项公式
由(n+1)an-nan+1=1,变形可得-=-=-+.
当n≥2时,=++…++a1.
因为a1=3,-=-+,-=-+,…,-=-+.
所以=3---…-=2+,则an=2n+1.又当n=1时,a1=3,符合上式,所以an=2n+1.
　 5分
第二步:证明数列{an}是“平方差数列”
因为an=2n+1=(n+1)2-n2,且n+1∈Z,n∈Z,所以an∈M,
所以数列{an}是“平方差数列”. 7分
(2)【详解】{bn}不是“平方差数列”. 8分
理由如下:
第一步:讨论x,y的奇偶,得到集合M中元素的特征
a=x2-y2=(x+y)(x-y),x∈Z,y∈Z,
①当x,y均为奇数时,x+y,x-y均为偶数,则a被4整除;
②当x,y均为偶数时,x+y,x-y均为偶数,则a被4整除;
③当x,y一奇一偶时,x+y,x-y均为奇数,则a为奇数;
综上,集合M中的元素要么被4整除,要么为奇数. 10分
第二步:得出结论
所以b1=2 M,
所以{bn}不是“平方差数列”. 12分
【一题多解】
{bn}不是“平方差数列”.
理由如下:第一步:验证x+y与x-y都是奇数时是否满足题意
假设2n=x2-y2=(x+y)(x-y).
因为x+y与x-y同奇同偶,
若x+y与x-y都是奇数,那么(x+y)(x-y)也是奇数,而2n是偶数,矛盾. 10分
第二步:验证x+y与x-y都是偶数时是否满足题意,得出结论
若x+y与x-y都是偶数,设x+y=2p,x-y=2q,p∈Z,q∈Z,
则2n=4pq,即2n-2=pq.
当n=1时,21-2=≠pq(p,q∈Z),所以bn=2n M,
所以{bn}不是“平方差数列”. 12分
(3)【证明】第一步:将ci,cj∈M,表示为x2-y2的形式
因为ci∈M,设ci=-(x1,y1∈Z),cj∈M,设cj=-(x2,y2∈Z). 14分
第二步:整理化简cicj得出结论
则cicj=(-)(-)=(+)-(+)
=(+2x1x2y1y2+)-(+2x1x2y1y2+)
=-.
因为x1,y1,x2,y2∈Z,所以x1x2+y1y2∈Z,x1y2+x2y1∈Z,所以cicj∈M. 17分
【一题多解】
第一步:得出结论所有奇数与被4整除的数都属于M
因为4n=(n+1)2-(n-1)2,n+1∈Z,n-1∈Z,所以4n∈M,
即被4整除的数都属于M.
令A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=4k,k∈Z},
结合(1)(2)得A∪B=M,所以所有奇数与被4整除的数都属于M. 14分
第二步:利用结论讨论cicj∈M
由题意,ci∈M,cj∈M,
①当ci,cj均为奇数时,cicj为奇数,则cicj∈M;
②当ci,cj至少有一个被4整除时,cicj被4整除,则cicj∈M.
综上,cicj∈M. 17分
【关键点拨】
本题解题关键是理解新定义“平方差数列”的概念,再根据定义,转化成能否将an=2n+1,bn=2n,cicj写成平方差形式.　　
【关键点拨】
本题解题关键是理解新定义“平方差数列”的概念,再根据定义,转化成能否将an=2n+1,bn=2n,cicj写成平方差形式.　　
【一题多解】
{bn}不是“平方差数列”.
理由如下:第一步:验证x+y与x-y都是奇数时是否满足题意
假设2n=x2-y2=(x+y)(x-y).
因为x+y与x-y同奇同偶,
若x+y与x-y都是奇数,那么(x+y)(x-y)也是奇数,而2n是偶数,矛盾. 10分
第二步:验证x+y与x-y都是偶数时是否满足题意,得出结论
若x+y与x-y都是偶数,设x+y=2p,x-y=2q,p∈Z,q∈Z,
则2n=4pq,即2n-2=pq.
当n=1时,21-2=≠pq(p,q∈Z),所以bn=2n M,
所以{bn}不是“平方差数列”. 12分
(3)【证明】第一步:将ci,cj∈M,表示为x2-y2的形式
因为ci∈M,设ci=-(x1,y1∈Z),cj∈M,设cj=-(x2,y2∈Z). 14分
第二步:整理化简cicj得出结论
则cicj=(-)(-)=(+)-(+)
=(+2x1x2y1y2+)-(+2x1x2y1y2+)
=-.
因为x1,y1,x2,y2∈Z,所以x1x2+y1y2∈Z,x1y2+x2y1∈Z,所以cicj∈M. 17分
【一题多解】
第一步:得出结论所有奇数与被4整除的数都属于M
因为4n=(n+1)2-(n-1)2,n+1∈Z,n-1∈Z,所以4n∈M,
即被4整除的数都属于M.
令A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=4k,k∈Z},
结合(1)(2)得A∪B=M,所以所有奇数与被4整除的数都属于M. 14分
第二步:利用结论讨论cicj∈M
由题意,ci∈M,cj∈M,
①当ci,cj均为奇数时,cicj为奇数,则cicj∈M;
②当ci,cj至少有一个被4整除时,cicj被4整除,则cicj∈M.
综上,cicj∈M. 17分
第 page number 页，共 number of pages 页
第 page number 页，共 number of pages 页

展开更多......

收起↑