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2024-2025 学年江苏省常州市六校联合体高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1 2 ( 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (3, )， = (1, 1)，| + | = 17，则 的值为( )
A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 0 或 2
3.在△ 中，已知 = 8， = 30°， = 105°，则 等于( )
A. 323 B. 4 3 C. 4 6 D. 4 2
4.要得到 = sin(2 3 )的图象，只要将 = 2 的图象( )
A. 向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向左平移6个单位 D.向右平移6个单位
5 3 1. 20° 20 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
6 1.已知 ， ∈ (0, )，且 = 7， =
4
5，则 + =( )
A. B. 3 4 4 C.
2
6 D. 3
7.如图，在△ 1中， 为线段 上靠近 点的三等分点， 为线段 上一点，若 = ( + ) 10
+ 1 10
，
则 =( )
A. 310
B. 25
C. 35
D. 710
8.已知△ 的两个内角 ， ( ≠ )都是关于 的方程 2 + 2 + 2 2 12 = 0 的解，其中 1 <
< 32 ，则 =( )
A. B. C. 2 6 3 3 D.
5
6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 是虚数单位， 是复数，则下列叙述正确的是( )

A. = | |2 = | |2
B.若 1 > 2，则 1 2 > 0
C.若 ∈ ，则 = + 1 + ( 2 2 3) 不可能是纯虚数
D.若| | ≤ 1，则在复平面内 对应的点 的集合确定的图形面积为 2
10 4 3.已知△ 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 2 + 2 2 = 3 △ ，则下列条件能使△
成为锐角三角形的是( )
A. = 6 B. = 2， = 3 C. = 2， = 3 D. = 3， = 2
11.已知 ( ) = sin(2 + 3 )，则下列说法正确的是( )
A. ( ) 5 在区间[ 12 , + 12 ]( ∈ )上单调递增
B.将函数 ( ) 的图象向右平移3个单位长度后得到曲线 ，则曲线 关于原点对称
C.若 ( + )是偶函数，则 = 2 +

12 ( ∈ )
D.若 ( )( > 0) [0, ] 3 ∈ [ 4 , 11在区间 上恰有 个零点，则 3 6 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 1, 2是夹角为 60°的两个单位向量，则 1与 1 2 2的夹角为 ．
13.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = + ，则 = ______．
14.已知坐标平面内 = (1,5), = (7,1), = (1,2), = , ∈ .当 取最小值时 cos∠ 的
值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)已知 ∈ ，若 = ( + )( 1 + )为纯虚数，求 的值．

(2)已知复数 满足 + | | = 8 + 4 ，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( 1,0)， = ( , 1)．
(1)若(3 + 2 ) ⊥ (3 2 )，求 ；
(2)若 1在 方向上的投影向量为 2 ，且 +
与 + 2 的夹角是锐角，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
已知 cos( + ) = 2 55 ， =
1
7，且 、 ∈ (0, 2 )．
(1)求cos2 sin2 + 的值；
(2)求 2 + 的值．
18.(本小题 17 分)

已知 = ( 3 , )， = ( , )( > 0, ∈ )， ( ) = 12，且 ( )的图象上相邻

两条对称轴之间的距离为2．
(1)求函数 ( )的单调递增区间；
(2)若锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3， ( ) = 0，
( ) + 求 + 的值．
( )求△ 面积的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )．
(1)设 ( ) = ( ) + ( + 6 )

， ( )为偶函数，若存在 ∈ [0, 2 ]，使不等式 ( ) + < 2 成立，求实数
的取值范围；
(2) 1已知函数 ( )的图象过点( , )，设 ( ) = cos23 2 + 2

，若对任意的 1 ∈ [ 2 , 2 ]，总存在 2 ∈ [0, 2 ]，
使 ( 1) < ( 2) + 2 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.90°
13. 2
14. 4 1717
15.(1) = ( + )( 1 + ) = + 2 + 2 = ( ) + ( 2 1) = 2 + ( 2 1) ，
∵ ∈ ， = ( + )( 1 + )为纯虚数，
∴ 2 = 0 2 1 ≠ 0，解得 = 0，
∴ 的值为 0．
(2)设 = + ， ， ∈ ，

∵复数 满足 + | | = 8 + 4 ，
∴ + + 2 + ( )2 = 8 + 4 ，
+ 2∴ +
2 = 8，解得 = 3，
= 4
∴ = 3 + 4 ．
16.(1) ∵ (3 + 2 ) ⊥ (3 2 )， = ( 1,0), = ( , 1)，
∴ (3 + 2 ) (3 2 ) = 9 2 4
2
= 9 4( 2 + 1) = 0，解得 =± 52 ；
(2) ∵ 在 1方向上的投影向量为 2 ，
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∴
= = 1，解得 = 1，

2 2+1 2
∴ = ( 1,1)， + = ( 1, ), + 2 = ( 3,2)，
∵ + 与 + 2 的夹角为锐角，
∴ ( + ) ( + 2 ) > 0，且 + 与 + 2 不共线，
3( + 1) + 2 > 0
∴ 3 2( + 1) + 3 ≠ 0，解得 > 5且 ≠ 2，
∴ 3的取值范围为：{ | > 5 ,且 ≠ 2}．
17.解：(1)已知 cos( + ) = 2 55 ， =
1
7，且 、 ∈ (0,

2 )．
所以 0 < + < ，
故 sin( + ) = 5 15 ，tan( + ) = 2，
tan( + ) = + 1由于 1 tan tan = 2，解得 tan =
1
3．
所以cos2 sin2 +
cos2 sin2 +
=
sin2 + cos2
= 1 tan
2 + 11
1+tan2 = 10．
(2)tan(2 + ) = tan[( + ) + ]
1 1
= tan( + )+ 2
+3
1 tan( + )tan = 1 = 1．1 6
由 、 ∈ (0, 2 )，sin + > 0，cos + > 0，
所以 + ∈ 0, 2 ，
所以 2 + ∈ 0, ，
又 tan(2 + ) = 1，
所以 2 + = 4．
18.(1) ( ) = 3 cos2 1 3 12 = 2 2 2 2 1 = sin(2

6 ) 1，
2
由 ( )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，有 = 2 = ，得 = 1，
所以 ( ) = sin(2 6 ) 1．
令 2 + 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )

，解得 6 + ≤ ≤

3 + ( ∈ )，
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所以函数 ( ) 的单调递增区间为[ 6 + , 3 + ]( ∈ )．
(2)( )已知 ( ) = sin(2 6 ) 1 = 0

，由 ∈ (0, 2 )，得 = 3，
3
由正弦定理 = = = 3 = 2，得 = 2 ， = 2 ，
2
+ 2 +2
所以 + = + = 2；
( )由( )可知 = 2 ， = 2 1，△ = 2 = 3 = 3 (
2
3 ) =
3
2 +
3
2 sin
2 = 34 2
3 2 + 3 = 3 34 4 2 sin(2 6 ) + 4 ，
0 < <
由△ 2是锐角三角形，有 2 ，得 ∈ (
, ) 6 2 ，2 6 ∈ ( 6 ,
5 )，
0 < 63 < 2
则 sin(2 6 ) ∈ (
1
2 , 1]
3 3 3 3 3
，所以 △ = 2 sin(2 6 ) + 4 ∈ ( 2 , 4 ],
即△ 3面积的取值范围是( 2 ,
3 3
4 ]．
19.(1)因为 ( ) = sin(2 + )(0 < < )为偶函数，

所以 = 2，
( ) = 2 ，
( ) = ( ) + ( + ) = 2 + cos(2 + 所以 6 3 ) = 2 +
1
2 2
3
2 2 =
3
2 2
3
2 2 =
3cos(2 + 6 )，
当 ∈ [0, ] 2 + 7 2 时， 6 ∈ [ 6 , 6 ]，

所以 cos(2 + 6 ) ∈ [ 1,
3
2 ]，
所以 ( ) = 3cos(2 + ) ∈ [ 3, 36 2 ]，

又因为存在 ∈ [0, 2 ]，使不等式 ( ) + < 2 成立，
即 < 2 ( )成立，
因为 2 ( ) ∈ [ 12 , 2 + 3]，
所以 < 2 + 3，
即实数 的取值范围为( ∞,2 + 3)；
(2)因为函数 ( ) 1的图象过点( 3 , 2 )，且 0 < < ，
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所以 sin( 2 3 + ) =
1
2，
解得 = 6，

所以 ( ) = sin(2 + 6 )，
∈ [0, ] 2 + 所以当 2 2 时， 2 6 ∈ [ 6 ,
7
6 ]，

所以 ( 2) = sin(2 2 + 6 ) ∈ [
1
2 , 1]，
又 ( ) = cos2 + 2 = sin2 + 2 + 1，
当 1 ∈ [
, 2 2 ]时， 1 ∈ [ 1,1]，
令 = 1 ∈ [ 1,1]，
则 ( )即为 ( ) = 2 + 2 + 1，
因为 ( )的开口向下，对称轴为 = ，
当 ≥ 1 时，
( ) = (1) = 2 ，
3
由 2 < 1 + 2，解得 < 2，
所以 1 ≤ < 32；
当 1 < < 1 时，
( ) 2 = ( ) = + 1，
由 2 + 1 < 1 + 2，解得 2 < < 2，
所以 1 < < 1；
当 ≤ 1 时，
( ) = ( 1) = 2 ，
由 2 < 1 + 2 3，解得 > 2，
所以 32 < ≤ 1；
3 3
综上， 2 < < 2，
3 3
即实数 的取值范围为( 2 , 2 ).
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