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湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·长沙模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长沙模拟）若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（2025·长沙模拟）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长沙模拟）已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025·长沙模拟）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（　　）
A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9
8．（2025·长沙模拟）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·长沙模拟）下列结论正确的是（　　）
A．已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53；
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则；
C．若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法；
D．一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.
10．（2025·长沙模拟）已知，，则下列说法中正确的是（　　）
A．当时，函数的极大值点为1；
B．当时，过点可作一条直线与曲线相切；
C．对，点是的对称中心；
D．若直线与有三个交点、、，则.
11．（2025·长沙模拟）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·长沙模拟）已知角终边上一点，则　 　；
13．（2025·长沙模拟）的展开式中含的项的系数为　 　；
14．（2025·长沙模拟）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·长沙模拟）已知数列的首项，的前项和为且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
16．（2025·长沙模拟）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
（1）若，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
17．（2025·长沙模拟）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）当，在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）若，对任意且，不等式成立，求的最小值.
18．（2025·长沙模拟）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
（1）求证：为定值，并求出该定值；
（2）如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
19．（2025·长沙模拟）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
（2）某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和.
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值.
附：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：C.
【分析】通过求解不等式确定集合A的范围，再根据交集的定义（取两个集合中共同元素组成新集合 ），找出集合A与集合B的公共元素，从而得到.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解法一：因，故，则，即.
解法二：由题意知，所以，即.
故答案为：A.
【分析】
解法一：先通过复数的乘方、乘法运算，将逐步化简，求出的具体值；再根据共轭复数定义得到，最后用复数模的定义算出 .
解法二：利用复数模的运算性质（乘积的模等于模的乘积、幂的模等于模的幂 ），对等式两边取模，快速建立关于的方程，求出；再依据“共轭复数的模相等”（ ），直接得到 .
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，
故.
故答案为：D.
【分析】利用向量垂直的性质（若两向量垂直，则它们的数量积为0 ），结合向量数量积的运算公式，来建立关于的方程，进而求解的值.
4．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，所以，
又所以，所以最小；
而由三角函数的基本性质，当时，，
所以，则；所以，
故答案为：D.
【分析】先利用对数函数、三角函数的性质判断a、b、c的正负，再通过作商法以及三角函数的重要不等式（当时，）比较b与c的大小，从而确定a、b、c的大小关系.
5．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为的面积为，，，
所以，解得.
在中，由余弦定理得
，
解得.
因为平分，所以.
故答案为：A.
【分析】 利用“三角形面积公式”，代入已知面积、角和边，直接解出 ，然后用“余弦定理”，结合、和，算出，最后 依据“角平分线分角相等”，结合三角形面积公式，发现面积比可转化为邻边长度比.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，
所以若，时，则，又，所以，即充分性成立；
若，，，则或，
则或m与n相交或异面，即必要性不成立，
所以“”是““的充分不必要条件．
故答案为：B．
【分析】依据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直、面面垂直的判定与性质，分别判断“”能否推出“”（充分性）以及“”能否推出“”（必要性） ．
7．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”，
则，，，.
设发送信号为1的概率为，
则接收信号为的概率
，
解得，即发送信号为的概率为.
故选：C
【分析】用全概率公式关联“发送信号”与“接收信号”的概率关系.定义事件：设为“发送信号”，为“发送信号”，为“接收信号” .接收信号的概率，需通过发送信号或时接收的条件概率，结合发送信号的概率（设未知数 ），用全概率公式列方程求解.“分解复杂事件（接收）为互斥子事件（发送后接收、发送后接收），再用概率加法与乘法规则联立计算”.
8．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如下图所示，
设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点，
下面证明重合，
设，
，
，
而，
与重合，即点是短轴的端点，
，，
则，所以，
故答案为：C.
【分析】先通过几何关系证明点P是椭圆短轴的端点（上顶点），再利用三角形面积公式结合椭圆的基本量关系，建立关于离心率e的方程，进而求解离心率.
9．【答案】A,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：、下四分位数指的是25%分位数，即数据由小到大的第3个数据，为53，正确；
B、由，，可得，解得，B错误；
C、先排2名女同学并当成一个整体，与其余3名男同学排列，共种，C正确；
D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，设这个样本中有个数据，则，
若添加一个新数据5组成一个新样本，则新样本的平均数，
根据方差公式，设原方差，
则新方差为，可知方差变小，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据下四分位数（25%分位数）的定义，对数据排序后确定对应位置数值.
B：利用二项分布的期望与方差公式，列方程求解.
C：运用捆绑法，先将相邻女生视为整体与男生排列，再考虑女生内部排列.
D：依据平均数和方差的定义，分析添加数据前后的变化 .
10．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、当时，则，得，
令，或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以是的极大值点，A错误；
B、由A知，当时，，
设过点的切线方程为，设切点为，则，
，得，整理得，即，
解得，此时切点为，
所以过点只能作一条直线与曲线相切，B正确；
C、因，由左移一个单位，
又为奇函数，关于原点对称，所以关于对称，而，
所以对，点是的对称中心，C正确，
D、由直线与有三个交点，，，
则，
即有三个实数根，，，
则，
所以，
所以，所以，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A、通过代入a值化简函数，求导确定单调性区间，依据单调性与极值点的关系（导数由正变负为极大值点，由负变正为极小值点 ）判断极值点.
B、设出切线方程与切点，利用 “切线斜率 = 函数在切点处导数 = 两点连线斜率” 建立等式，求解切点，根据切点情况判断切线数量.
C、根据奇函数的性质，结合函数平移的性质即可判断.
D、 联立直线与函数方程，通过换元转化为三次方程，利用三次方程韦达定理（三根和与二次项系数的关系 ），结合换元式还原出原交点横坐标的和.
11．【答案】A,D
【知识点】基本不等式；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，A正确；
B、因为的面积，B错误；
C、若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，C错误；
D、若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A、利用双曲线定义（双曲线上任意一点到两焦点距离差的绝对值为 ），结合三角形内切圆切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 ），建立与的关系，进而判断.
B、依据双曲线焦点三角形面积公式（ ，为两焦点与双曲线上点形成角 ），通过推导或公式记忆判断.
C、先由选项A的关系求出双曲线方程，再联立过定点的直线与双曲线方程，根据直线与双曲线右支有两个交点的条件（判别式、韦达定理结合 ），确定斜率的范围.
D、利用切线长定理得出内切圆与双曲线实轴的关系，设出两个内切圆半径，结合直线与双曲线相交时的性质，通过均值不等式求面积和的最小值.
12．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据三角函数定义，可得，则.
故答案为：.
【分析】先依据三角函数的定义，由角终边上一点的坐标求出，再利用二倍角的三角函数公式对所求式子进行化简，最后将的值代入化简后的式子计算结果.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：因，
所以含的项为，
故含的项的系数为.
故答案为：.
【分析】依据二项式定理的本质（多项式展开是从每个括号中选一项相乘后合并同类项 ），要得到含的项，需确定从个因子中，选几个因子取、几个取、几个取，通过组合数计算选取方式的数量，再结合各项系数求出最终系数.
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，
不妨设，，，由题意可得
，
将绕点逆时针旋转得到，
则，，
其中点，故，
当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题需将向量模长转化为平面直角坐标系中线段长度，通过图形变换（旋转），利用几何关系求最小值，关键是合理建立坐标系，把向量模长转化为点之间的距离，再借助旋转构造新线段，依据两点之间线段最短求解 .
15．【答案】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）要证明是等差数列，需将已知等式变形为相邻两项的差为常数，结合首项，依据等差数列定义证明.
（2）先由（1）得出的通项，进而得到，再求出、，最后用错位相减法求的前项和 .
（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
16．【答案】（1）证明：在中，，，所以.
因为，，所以，
所以.
又因为，，平面，，
所以平面.
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，
所以.平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，则
设，
设，
所以，（当且仅当，即时取等号），即.
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过勾股定理及其逆定理，结合线面垂直判定定理证明，进而得出平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示线面角正弦值，再通过换元、基本不等式求最大值.
（1）在中，，，所以.
因为，，所以，
所以.
又因为，，平面，，
所以平面.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，
所以.平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，则
设，
设，
所以，（当且仅当，即时取等号），即.
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
17．【答案】（1）解：因为，所以，
因为曲线在处的切线的与直线，则，解得
（2）解：因为，所以，定义域为，
求导可得，
令，得到：或（舍去），得在上单调递增，
令，得到：，故在上单调递减，
要使得在区间上不单调，则
即：.
（3）解：因为，所以，所以函数在上单调递增，
因为，不妨设，则
因为，所以，
即恒成立，
设，
若，则是上的常函数，显然不成立，
若，则是上的减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）.
综上，，即的最小值为12.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题围绕函数展开，涉及导数的几何意义、函数单调性以及不等式恒成立问题：
（1）利用导数的几何意义，结合两直线垂直斜率关系求.
（2）先求导数确定单调区间，再根据区间不单调的条件列不等式求.
（3）通过构造函数，利用单调性将不等式恒成立问题转化为求函数最值，进而确定的最小值 .
（1）因为，所以，
因为曲线在处的切线的与直线，则，解得；
（2）因为，所以，定义域为，
求导可得，
令，得到：或（舍去），得在上单调递增，
令，得到：，故在上单调递减，
要使得在区间上不单调，则，
（3）因为，所以，所以函数在上单调递增，
因为，不妨设，则
因为，所以，
即恒成立，
设，
若，则是上的常函数，显然不成立，
若，则是上的减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）.
综上，，即的最小值为12
18．【答案】（1）证明：如图所示
由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以.
即=.
（2）解：设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
【知识点】两条直线的交点坐标；抛物线的定义
【解析】【分析】本题围绕抛物线展开，包含定值证明和面积比取值范围求解：
（1）通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出弦长，进而证明为定值.
（2）先求出直线、交点横坐标，再联立直线与抛物线方程，结合垂直条件得到关系，最后将面积比转化为函数求取值范围 .
（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以；
（2）设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
19．【答案】（1）解：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关.
（2）①解：依题意可知，可取0，1，2，
则，
，
，
0 1 2
所以次数的数学期望.
②证明：第次挑战后挑战权在，组的概率分别是，，时，则
②+③得：，由①得，
，，，
，，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由聚点数列的定义：，
由指数函数的单调性可知：当时，
所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，
所以数列为“聚点数列”；.
【知识点】独立性检验的应用；数列的通项公式
【解析】【分析】本题包含两部分，一是独立性检验判断使用情况与学历是否有关，二是竞赛发起权相关的概率分布、数学期望及数列“聚点数列”证明与聚点求解：
（1）通过独立性检验，先设零假设，计算卡方值，与临界值比较判断.
（2）①分析竞赛发起权在组次数的可能取值，计算对应概率得分布列与期望；②根据概率关系推导数列通项，结合“聚点数列”定义证明并求聚点 .
（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）①依题意可知，可取0，1，2，
则，
，
，
0 1 2
所以次数的数学期望.
②第次挑战后挑战权在，组的概率分别是，，时，则
②+③得：，由①得，
，，，
，，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由聚点数列的定义：，
由指数函数的单调性可知：当时，
所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，
所以数列为“聚点数列”；.
1 / 1湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·长沙模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：C.
【分析】通过求解不等式确定集合A的范围，再根据交集的定义（取两个集合中共同元素组成新集合 ），找出集合A与集合B的公共元素，从而得到.
2．（2025·长沙模拟）若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解法一：因，故，则，即.
解法二：由题意知，所以，即.
故答案为：A.
【分析】
解法一：先通过复数的乘方、乘法运算，将逐步化简，求出的具体值；再根据共轭复数定义得到，最后用复数模的定义算出 .
解法二：利用复数模的运算性质（乘积的模等于模的乘积、幂的模等于模的幂 ），对等式两边取模，快速建立关于的方程，求出；再依据“共轭复数的模相等”（ ），直接得到 .
3．（2025·长沙模拟）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，
故.
故答案为：D.
【分析】利用向量垂直的性质（若两向量垂直，则它们的数量积为0 ），结合向量数量积的运算公式，来建立关于的方程，进而求解的值.
4．（2025·长沙模拟）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，所以，
又所以，所以最小；
而由三角函数的基本性质，当时，，
所以，则；所以，
故答案为：D.
【分析】先利用对数函数、三角函数的性质判断a、b、c的正负，再通过作商法以及三角函数的重要不等式（当时，）比较b与c的大小，从而确定a、b、c的大小关系.
5．（2025·长沙模拟）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为的面积为，，，
所以，解得.
在中，由余弦定理得
，
解得.
因为平分，所以.
故答案为：A.
【分析】 利用“三角形面积公式”，代入已知面积、角和边，直接解出 ，然后用“余弦定理”，结合、和，算出，最后 依据“角平分线分角相等”，结合三角形面积公式，发现面积比可转化为邻边长度比.
6．（2025·长沙模拟）已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，
所以若，时，则，又，所以，即充分性成立；
若，，，则或，
则或m与n相交或异面，即必要性不成立，
所以“”是““的充分不必要条件．
故答案为：B．
【分析】依据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直、面面垂直的判定与性质，分别判断“”能否推出“”（充分性）以及“”能否推出“”（必要性） ．
7．（2025·长沙模拟）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（　　）
A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”，
则，，，.
设发送信号为1的概率为，
则接收信号为的概率
，
解得，即发送信号为的概率为.
故选：C
【分析】用全概率公式关联“发送信号”与“接收信号”的概率关系.定义事件：设为“发送信号”，为“发送信号”，为“接收信号” .接收信号的概率，需通过发送信号或时接收的条件概率，结合发送信号的概率（设未知数 ），用全概率公式列方程求解.“分解复杂事件（接收）为互斥子事件（发送后接收、发送后接收），再用概率加法与乘法规则联立计算”.
8．（2025·长沙模拟）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如下图所示，
设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点，
下面证明重合，
设，
，
，
而，
与重合，即点是短轴的端点，
，，
则，所以，
故答案为：C.
【分析】先通过几何关系证明点P是椭圆短轴的端点（上顶点），再利用三角形面积公式结合椭圆的基本量关系，建立关于离心率e的方程，进而求解离心率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·长沙模拟）下列结论正确的是（　　）
A．已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53；
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则；
C．若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法；
D．一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.
【答案】A,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：、下四分位数指的是25%分位数，即数据由小到大的第3个数据，为53，正确；
B、由，，可得，解得，B错误；
C、先排2名女同学并当成一个整体，与其余3名男同学排列，共种，C正确；
D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，设这个样本中有个数据，则，
若添加一个新数据5组成一个新样本，则新样本的平均数，
根据方差公式，设原方差，
则新方差为，可知方差变小，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据下四分位数（25%分位数）的定义，对数据排序后确定对应位置数值.
B：利用二项分布的期望与方差公式，列方程求解.
C：运用捆绑法，先将相邻女生视为整体与男生排列，再考虑女生内部排列.
D：依据平均数和方差的定义，分析添加数据前后的变化 .
10．（2025·长沙模拟）已知，，则下列说法中正确的是（　　）
A．当时，函数的极大值点为1；
B．当时，过点可作一条直线与曲线相切；
C．对，点是的对称中心；
D．若直线与有三个交点、、，则.
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、当时，则，得，
令，或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以是的极大值点，A错误；
B、由A知，当时，，
设过点的切线方程为，设切点为，则，
，得，整理得，即，
解得，此时切点为，
所以过点只能作一条直线与曲线相切，B正确；
C、因，由左移一个单位，
又为奇函数，关于原点对称，所以关于对称，而，
所以对，点是的对称中心，C正确，
D、由直线与有三个交点，，，
则，
即有三个实数根，，，
则，
所以，
所以，所以，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A、通过代入a值化简函数，求导确定单调性区间，依据单调性与极值点的关系（导数由正变负为极大值点，由负变正为极小值点 ）判断极值点.
B、设出切线方程与切点，利用 “切线斜率 = 函数在切点处导数 = 两点连线斜率” 建立等式，求解切点，根据切点情况判断切线数量.
C、根据奇函数的性质，结合函数平移的性质即可判断.
D、 联立直线与函数方程，通过换元转化为三次方程，利用三次方程韦达定理（三根和与二次项系数的关系 ），结合换元式还原出原交点横坐标的和.
11．（2025·长沙模拟）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
【答案】A,D
【知识点】基本不等式；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，A正确；
B、因为的面积，B错误；
C、若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，C错误；
D、若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A、利用双曲线定义（双曲线上任意一点到两焦点距离差的绝对值为 ），结合三角形内切圆切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 ），建立与的关系，进而判断.
B、依据双曲线焦点三角形面积公式（ ，为两焦点与双曲线上点形成角 ），通过推导或公式记忆判断.
C、先由选项A的关系求出双曲线方程，再联立过定点的直线与双曲线方程，根据直线与双曲线右支有两个交点的条件（判别式、韦达定理结合 ），确定斜率的范围.
D、利用切线长定理得出内切圆与双曲线实轴的关系，设出两个内切圆半径，结合直线与双曲线相交时的性质，通过均值不等式求面积和的最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·长沙模拟）已知角终边上一点，则　 　；
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据三角函数定义，可得，则.
故答案为：.
【分析】先依据三角函数的定义，由角终边上一点的坐标求出，再利用二倍角的三角函数公式对所求式子进行化简，最后将的值代入化简后的式子计算结果.
13．（2025·长沙模拟）的展开式中含的项的系数为　 　；
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：因，
所以含的项为，
故含的项的系数为.
故答案为：.
【分析】依据二项式定理的本质（多项式展开是从每个括号中选一项相乘后合并同类项 ），要得到含的项，需确定从个因子中，选几个因子取、几个取、几个取，通过组合数计算选取方式的数量，再结合各项系数求出最终系数.
14．（2025·长沙模拟）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，
不妨设，，，由题意可得
，
将绕点逆时针旋转得到，
则，，
其中点，故，
当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题需将向量模长转化为平面直角坐标系中线段长度，通过图形变换（旋转），利用几何关系求最小值，关键是合理建立坐标系，把向量模长转化为点之间的距离，再借助旋转构造新线段，依据两点之间线段最短求解 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·长沙模拟）已知数列的首项，的前项和为且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）要证明是等差数列，需将已知等式变形为相邻两项的差为常数，结合首项，依据等差数列定义证明.
（2）先由（1）得出的通项，进而得到，再求出、，最后用错位相减法求的前项和 .
（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
16．（2025·长沙模拟）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
（1）若，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明：在中，，，所以.
因为，，所以，
所以.
又因为，，平面，，
所以平面.
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，
所以.平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，则
设，
设，
所以，（当且仅当，即时取等号），即.
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过勾股定理及其逆定理，结合线面垂直判定定理证明，进而得出平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示线面角正弦值，再通过换元、基本不等式求最大值.
（1）在中，，，所以.
因为，，所以，
所以.
又因为，，平面，，
所以平面.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，
所以.平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，则
设，
设，
所以，（当且仅当，即时取等号），即.
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
17．（2025·长沙模拟）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）当，在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）若，对任意且，不等式成立，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，
因为曲线在处的切线的与直线，则，解得
（2）解：因为，所以，定义域为，
求导可得，
令，得到：或（舍去），得在上单调递增，
令，得到：，故在上单调递减，
要使得在区间上不单调，则
即：.
（3）解：因为，所以，所以函数在上单调递增，
因为，不妨设，则
因为，所以，
即恒成立，
设，
若，则是上的常函数，显然不成立，
若，则是上的减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）.
综上，，即的最小值为12.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题围绕函数展开，涉及导数的几何意义、函数单调性以及不等式恒成立问题：
（1）利用导数的几何意义，结合两直线垂直斜率关系求.
（2）先求导数确定单调区间，再根据区间不单调的条件列不等式求.
（3）通过构造函数，利用单调性将不等式恒成立问题转化为求函数最值，进而确定的最小值 .
（1）因为，所以，
因为曲线在处的切线的与直线，则，解得；
（2）因为，所以，定义域为，
求导可得，
令，得到：或（舍去），得在上单调递增，
令，得到：，故在上单调递减，
要使得在区间上不单调，则，
（3）因为，所以，所以函数在上单调递增，
因为，不妨设，则
因为，所以，
即恒成立，
设，
若，则是上的常函数，显然不成立，
若，则是上的减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）.
综上，，即的最小值为12
18．（2025·长沙模拟）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
（1）求证：为定值，并求出该定值；
（2）如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】（1）证明：如图所示
由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以.
即=.
（2）解：设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
【知识点】两条直线的交点坐标；抛物线的定义
【解析】【分析】本题围绕抛物线展开，包含定值证明和面积比取值范围求解：
（1）通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出弦长，进而证明为定值.
（2）先求出直线、交点横坐标，再联立直线与抛物线方程，结合垂直条件得到关系，最后将面积比转化为函数求取值范围 .
（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以；
（2）设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
19．（2025·长沙模拟）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
（2）某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和.
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值.
附：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关.
（2）①解：依题意可知，可取0，1，2，
则，
，
，
0 1 2
所以次数的数学期望.
②证明：第次挑战后挑战权在，组的概率分别是，，时，则
②+③得：，由①得，
，，，
，，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由聚点数列的定义：，
由指数函数的单调性可知：当时，
所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，
所以数列为“聚点数列”；.
【知识点】独立性检验的应用；数列的通项公式
【解析】【分析】本题包含两部分，一是独立性检验判断使用情况与学历是否有关，二是竞赛发起权相关的概率分布、数学期望及数列“聚点数列”证明与聚点求解：
（1）通过独立性检验，先设零假设，计算卡方值，与临界值比较判断.
（2）①分析竞赛发起权在组次数的可能取值，计算对应概率得分布列与期望；②根据概率关系推导数列通项，结合“聚点数列”定义证明并求聚点 .
（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）①依题意可知，可取0，1，2，
则，
，
，
0 1 2
所以次数的数学期望.
②第次挑战后挑战权在，组的概率分别是，，时，则
②+③得：，由①得，
，，，
，，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由聚点数列的定义：，
由指数函数的单调性可知：当时，
所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，
所以数列为“聚点数列”；.
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