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广东省深圳市坪山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个
1．（2025八下·坪山期末） 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往.下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·坪山期末）已知，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·坪山期末） 分式与的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·坪山期末） 图①所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图②所示的平行四边形ABCD，其中，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·坪山期末） 若一次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·坪山期末）小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
7．（2025八下·坪山期末） 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
8．（2025八下·坪山期末） 观察右图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3， 4， 5）. 现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（　　）
A．245 B．259 C．336 D．350
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025八下·坪山期末）因式分解： 　 　.
10．（2025八下·坪山期末） 如图所示是一个正五边形，则它的外角和为　 　.
11．（2025八下·坪山期末） 如图所示，是直角三角形，其中，，，D为线段AC上一点，作DE垂直AB于点E，当时，AE的值是　 　.
12．（2025八下·坪山期末） 若关于x的方程有增根，则a的值是　 　.
13．（2025八下·坪山期末） 如图，将线段 CG 绕点 C 旋转到 CA 的位置，再将 AC 绕点 A 旋转至 AD，使 ，延长 DC、AG 交于点 B，若 ，，则 BG=　 　.
三、解答题(本大题共7小题，共61分)
14．（2025八下·坪山期末）
（1） 解不等式
（2） 解不等式组 ，并在数轴上表示其解集.
15．（2025八下·坪山期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入.
解：原式=
=
=
当时，原式=
①小坪在第 ▲ 步出错，错误原因是 ▲ .
②请在下方写出正确解答过程.
16．（2025八下·坪山期末）如图，在Rt△ABC中，点D为BC边上一点，将AC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处.
（1） 用无刻度的直尺和圆规作出直线AD与点E；
（2） 连接DE，若，求的度数.
17．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
18．（2025八下·坪山期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 BD，点 E 和点 F 是直线 BD 上的两点.
（1）从①；②；③；中选择一个合适的条件：　 　（填序号即可），使得四边形 AECF 是平行四边形，并说明理由；
（2） 当四边形 AECF 是平行四边形时，若 ，，，，求点 D 到 AF 的距离.
19．（2025八下·坪山期末）综合与实践
【调查发现】
某学校每天有 500 名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐.经济餐每份售价 18 元，每份成本 17 元；营养餐每份售价 20 元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化.
（1）若某一天共售出 200 份经济餐，则当天经济餐的利润为　 　元.（利润=收入-成本）
（2）【收集数据】
小山统计了第 10 周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表.
周一 周二 周三 周四 周五
营养餐(份) 295 300 305 290 315
经济餐(份) 205 200 195 210 185
总利润(元) 1155 1200 1245 1110 1335
小山设每日营养餐售出 x 份，当天总利润为 y 元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点 A 和周四的对应点 B.
（3）【建模应用】
小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想.
（4）小山假设当 时，y 与 x 之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为 15 元，则当天总利润将超过 2000 元，小山的预测正确吗？请说明理由.
20．（2025八下·坪山期末）等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为 ，简洁背后隐藏着丰富的性质.某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识.
（1）如图 1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图 2，已知 ，则正六边形 ABCDEF 的面积是　 　.
（2）如图 3，已知 是边长为 4 的等边三角形， 是边长为 1 的等边三角形. 将 沿射线 BC 方向平移，点 B，D，E 的对应点分别为点 B'，D'，E'.
① 如图 4，在 平移过程中，小深同学画出了 时的情形，此时 平移的距离为 ▲ ；
② 如图 5，在 刚好平移到点 E' 与点 C 重合时，连接 BD'，连接 AB' 并延长交 BD' 于点 F，求此时 的大小；
③ [画图探索] 已知点 G 在线段 AC 上，且 ，在 平移的过程中，当 是直角三角形时，请直接写出 平移的距离.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.
对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误；
对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误；
对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确；
对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误；
由此判断出答案.
3．【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式与的最简公分母是
故答案为： A
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°
∴∠A=180°-∠B=120°
故答案为： D
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：
函数图形与x轴的交点坐标为（3，0）
∴不等式 的解集是
故答案为： C
【分析】当一次函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当50°为顶角，则顶角为50°
②当50°为底角时，顶角为180°-2×50°=80°
故答案为： D
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
正八边形的每个内角为
∴360°-135°-135°=90°
∴需要正方形
故答案为： B
【分析】求出正八边形的每个内角，由图可得，需两块正多边形，再结合周角即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股数；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴存在以n2-1，2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形
∵有一个直角边为14的直角三角形
∴当n2-1=14时，，不是整数，不符合题意
当2n=14时，n=7，则另一直角边为72-1=48
∴这个直角三角形的面积为
故答案为： C
【分析】根据等式规律，总结结论可得存在以n2-1，2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形，再根据题意分类讨论，结合三角形面积即可求出答案.
9．【答案】（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：（m+2）（m-2）.
【分析】利用平方差公式直接进行因式分解.
10．【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
正多边形的外角和为360°
故答案为： 360°
【分析】根据正多边形的外角和为360°即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，，
∴∠A=60°，
∵
∴
∵DE⊥AE
∴∠ADE=30°
∴
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：x-2=-a，即x=-a+2
∵方程有增根
∴x=1
∴-a+2=1，解得：a=1
故答案为： 1
【分析】将分式方程去分母转换为整式方程，可得x=-a+2，再根据分式方程有增根，建立关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵AC=AD，
∴DE=CE=DC=2，
∴AD2=AE2+22=AE2+4，
∵BC=14，
∴BE=14+2=16，
∴AB2=AE2+BE2=AE2+162，
∵AD2+AB2=BD2，
∴AE2+4+AE2+162=（14+4）2，
解得：AE=，
∴AD=6，AB=12，
∵CF⊥AB，AD⊥AG，
∴CF∥AD，
∴，
∴，
∴CF=，
∴AF=，
∵AC=CG，
∴AG=2AF=，
∴BG=AB-AG=12-=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，首先根据等腰三角形的性质可得出DE=CE=2，进而科的出BE=16，然后根据勾股定理，可得出AE2+4+AE2+162=（14+4）2，解得AE的长度，进而可得出AD和AB的长，再根据CF∥AD，可得出，进一步得出CF的长，再根据勾股定理求得AF的长，最后根据BG=AB-2AF，即可得出答案。
14．【答案】（1）解：移项可得：2x<12
系数化为1可得：x<6
（2）解：
解不等式①可得：x>-1
解不等式②可得：x≤2
所以不等式组的解集为：-1再数轴上表示解集如图所示
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
15．【答案】解：①第一步出错，去括号4x没有改变符号
②原式=
=
=
∵，且x为整数
∴x=0，1，2
∵x-2≠0
∴当x=1时，原式=
【知识点】分式的混合运算；去括号法则及应用；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】①根据去括号法则即可求出答案.
②根据分式的减法化简，结合分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：在Rt△ABC中，∠B=26°
∴∠BAC=64°
由翻折可得，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=58°
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，作∠BAC的平分线，交BC于点D，作直线AD，则直线AD与点E即为所求.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC=64°，再根据折叠性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
17．【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
18．【答案】（1）解：①，理由如下∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC∵BF=DE∴BE=FD在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF∴AE=CF，∠BAE=∠DCF∴AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形
（2）解：设点D到AF的距离为h
∵，，
∴∠ADB=90°
∴
∵DE+BF+BD=2BF+4=FE=8
∴BF=2
∴DF=BD+BF=6
∴
∵
∴
∴D到AF的距离为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CDF，则AE=CF，∠BAE=∠DCF，根据直线平行判定定理可得AE∥CF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）设点D到AF的距离为h，根据勾股定理可得BD，再根据边之间的关系可得BF，DF，再根据勾股定理可得AF，再根据三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）200
（2）解：补全周二的对应点A和周四的对应点B如图所示
（3）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b
将坐标(295，1155)，(300，1200)代入关系式可得：
，解得：
∴y与x的函数关系式为y=9x-1500
当x=295时，y=1155
当x=300时，y=1200
当x=305时，y=1245
当x=290时，y=1110
当x=315时，y=1335
∴这五个点在同一条直线上
（4）解：小山的预测正确，理由如下
由题意可得：9x-1500=(20-15)x+(18-17)(500-x)
解得：x=400
当x=400时，y=9x-1500=2100
∵2100>2000
∴小山的预测正确
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
经济餐每份利润为18-17=1元
∴200份经济餐的总利润为200×1=200元
故答案为：200
【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量，即可求出答案.
（2）在坐标系描点即可求出答案.
（3）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据待定系数法将点(295，1155)，(300，1200)代入关系式可得y与x的函数关系式为y=9x-1500，再将各点代入关系式进行验证即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程可得x=400，再代入函数关系式求出y值，再比较大小即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：①
②延长D'B'交AB于点C
由题意可得：∠ACB=∠D'B'C=60°
∴D'G∥AC
∴∠B'AC=∠FB'D'，∠BGB'=∠BAC=60°
∴△BGB'为等边三角形
∴BB'=BG=B'G
∵BA=BC
∴AG=B'C
∵B'C=B'D'
∴B'D'=AG
在△B'GA和△BB'D'中
∴△B'GA≌△BB'D'
∴∠GAB'=∠B'D'B
∵∠GAB'+∠B'AC=∠BAC=60°
∴∠B'D'B+∠FB'D'=60°
∴∠B'FD'=180°-∠B'D'B-∠FB'D'=120°
③当∠B'GE'=90°时，如图
此时点E'与点C重合，△BDE平移的距离为BB'=BC-B'E'=3
当∠B'E'G=90°时，如图
此时GE'⊥BC
∵
∴
∴△BDE平移的距离为
当∠GBE'=90°时，如图
此时GB'⊥BC
∵
∴
∴△BDE平移的距离为
综上所述，当△B'E'G是直角三角形时，△BDE平移的距离为3或或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）过点O作OH⊥AB于点H
∵△OAB为等边三角形
∴OA=OB=AB=4，∠ABO=60°
∵OH⊥AB
∴
∴
∴
∴正六边形ABCDEF的面积为
故答案为：
（2）①连接AD'交BC于点F
∵D'B'=D'E'，AB'=AE'
∴AD'为B'E'的垂直平分线
∴AF⊥BC，D'F⊥BC
∵AB=AC，D'B'=D'E'
∴
∴
∴ 平移的距离为
故答案为：
【分析】（1）过点O作OH⊥AB于点H，根据等边三角形性质可得OA=OB=AB=4，∠ABO=60°，，再根据正弦定义可得OH，求出△OAB的面积，即可求出正六边形面积.
（2）①连接AD'交BC于点F，根据垂直平分线判定定理可得AD'为B'E'的垂直平分线，则AF⊥BC，D'F⊥BC，即，再根据边之间的关系，结合平移的性质即可求出答案.
②延长D'B'交AB于点C，由题意可得：∠ACB=∠D'B'C=60°，根据直线平行判定定理可得D'G∥AC，则∠B'AC=∠FB'D'，∠BGB'=∠BAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得BGB'为等边三角形，则BB'=BG=B'G，再根据边之间的关系可得B'D'=AG，根据全等三角形判定定理可得△B'GA≌△BB'D'，则∠GAB'=∠B'D'B，再根据角之间的关系即可求出答案.
③分情况讨论，根据题意作出图形，再解直角三角形，结合边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市坪山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个
1．（2025八下·坪山期末） 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往.下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·坪山期末）已知，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.
对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误；
对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误；
对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确；
对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误；
由此判断出答案.
3．（2025八下·坪山期末） 分式与的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式与的最简公分母是
故答案为： A
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案.
4．（2025八下·坪山期末） 图①所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图②所示的平行四边形ABCD，其中，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°
∴∠A=180°-∠B=120°
故答案为： D
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
5．（2025八下·坪山期末） 若一次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：
函数图形与x轴的交点坐标为（3，0）
∴不等式 的解集是
故答案为： C
【分析】当一次函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
6．（2025八下·坪山期末）小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当50°为顶角，则顶角为50°
②当50°为底角时，顶角为180°-2×50°=80°
故答案为： D
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2025八下·坪山期末） 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
正八边形的每个内角为
∴360°-135°-135°=90°
∴需要正方形
故答案为： B
【分析】求出正八边形的每个内角，由图可得，需两块正多边形，再结合周角即可求出答案.
8．（2025八下·坪山期末） 观察右图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3， 4， 5）. 现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（　　）
A．245 B．259 C．336 D．350
【答案】C
【知识点】勾股数；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴存在以n2-1，2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形
∵有一个直角边为14的直角三角形
∴当n2-1=14时，，不是整数，不符合题意
当2n=14时，n=7，则另一直角边为72-1=48
∴这个直角三角形的面积为
故答案为： C
【分析】根据等式规律，总结结论可得存在以n2-1，2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形，再根据题意分类讨论，结合三角形面积即可求出答案.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025八下·坪山期末）因式分解： 　 　.
【答案】（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：（m+2）（m-2）.
【分析】利用平方差公式直接进行因式分解.
10．（2025八下·坪山期末） 如图所示是一个正五边形，则它的外角和为　 　.
【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
正多边形的外角和为360°
故答案为： 360°
【分析】根据正多边形的外角和为360°即可求出答案.
11．（2025八下·坪山期末） 如图所示，是直角三角形，其中，，，D为线段AC上一点，作DE垂直AB于点E，当时，AE的值是　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，，
∴∠A=60°，
∵
∴
∵DE⊥AE
∴∠ADE=30°
∴
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．（2025八下·坪山期末） 若关于x的方程有增根，则a的值是　 　.
【答案】1
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：x-2=-a，即x=-a+2
∵方程有增根
∴x=1
∴-a+2=1，解得：a=1
故答案为： 1
【分析】将分式方程去分母转换为整式方程，可得x=-a+2，再根据分式方程有增根，建立关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
13．（2025八下·坪山期末） 如图，将线段 CG 绕点 C 旋转到 CA 的位置，再将 AC 绕点 A 旋转至 AD，使 ，延长 DC、AG 交于点 B，若 ，，则 BG=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵AC=AD，
∴DE=CE=DC=2，
∴AD2=AE2+22=AE2+4，
∵BC=14，
∴BE=14+2=16，
∴AB2=AE2+BE2=AE2+162，
∵AD2+AB2=BD2，
∴AE2+4+AE2+162=（14+4）2，
解得：AE=，
∴AD=6，AB=12，
∵CF⊥AB，AD⊥AG，
∴CF∥AD，
∴，
∴，
∴CF=，
∴AF=，
∵AC=CG，
∴AG=2AF=，
∴BG=AB-AG=12-=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，首先根据等腰三角形的性质可得出DE=CE=2，进而科的出BE=16，然后根据勾股定理，可得出AE2+4+AE2+162=（14+4）2，解得AE的长度，进而可得出AD和AB的长，再根据CF∥AD，可得出，进一步得出CF的长，再根据勾股定理求得AF的长，最后根据BG=AB-2AF，即可得出答案。
三、解答题(本大题共7小题，共61分)
14．（2025八下·坪山期末）
（1） 解不等式
（2） 解不等式组 ，并在数轴上表示其解集.
【答案】（1）解：移项可得：2x<12
系数化为1可得：x<6
（2）解：
解不等式①可得：x>-1
解不等式②可得：x≤2
所以不等式组的解集为：-1再数轴上表示解集如图所示
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可.
15．（2025八下·坪山期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入.
解：原式=
=
=
当时，原式=
①小坪在第 ▲ 步出错，错误原因是 ▲ .
②请在下方写出正确解答过程.
【答案】解：①第一步出错，去括号4x没有改变符号
②原式=
=
=
∵，且x为整数
∴x=0，1，2
∵x-2≠0
∴当x=1时，原式=
【知识点】分式的混合运算；去括号法则及应用；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】①根据去括号法则即可求出答案.
②根据分式的减法化简，结合分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
16．（2025八下·坪山期末）如图，在Rt△ABC中，点D为BC边上一点，将AC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处.
（1） 用无刻度的直尺和圆规作出直线AD与点E；
（2） 连接DE，若，求的度数.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：在Rt△ABC中，∠B=26°
∴∠BAC=64°
由翻折可得，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=58°
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，作∠BAC的平分线，交BC于点D，作直线AD，则直线AD与点E即为所求.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC=64°，再根据折叠性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
17．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
18．（2025八下·坪山期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 BD，点 E 和点 F 是直线 BD 上的两点.
（1）从①；②；③；中选择一个合适的条件：　 　（填序号即可），使得四边形 AECF 是平行四边形，并说明理由；
（2） 当四边形 AECF 是平行四边形时，若 ，，，，求点 D 到 AF 的距离.
【答案】（1）解：①，理由如下∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC∵BF=DE∴BE=FD在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF∴AE=CF，∠BAE=∠DCF∴AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形
（2）解：设点D到AF的距离为h
∵，，
∴∠ADB=90°
∴
∵DE+BF+BD=2BF+4=FE=8
∴BF=2
∴DF=BD+BF=6
∴
∵
∴
∴D到AF的距离为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CDF，则AE=CF，∠BAE=∠DCF，根据直线平行判定定理可得AE∥CF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）设点D到AF的距离为h，根据勾股定理可得BD，再根据边之间的关系可得BF，DF，再根据勾股定理可得AF，再根据三角形面积即可求出答案.
19．（2025八下·坪山期末）综合与实践
【调查发现】
某学校每天有 500 名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐.经济餐每份售价 18 元，每份成本 17 元；营养餐每份售价 20 元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化.
（1）若某一天共售出 200 份经济餐，则当天经济餐的利润为　 　元.（利润=收入-成本）
（2）【收集数据】
小山统计了第 10 周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表.
周一 周二 周三 周四 周五
营养餐(份) 295 300 305 290 315
经济餐(份) 205 200 195 210 185
总利润(元) 1155 1200 1245 1110 1335
小山设每日营养餐售出 x 份，当天总利润为 y 元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点 A 和周四的对应点 B.
（3）【建模应用】
小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想.
（4）小山假设当 时，y 与 x 之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为 15 元，则当天总利润将超过 2000 元，小山的预测正确吗？请说明理由.
【答案】（1）200
（2）解：补全周二的对应点A和周四的对应点B如图所示
（3）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b
将坐标(295，1155)，(300，1200)代入关系式可得：
，解得：
∴y与x的函数关系式为y=9x-1500
当x=295时，y=1155
当x=300时，y=1200
当x=305时，y=1245
当x=290时，y=1110
当x=315时，y=1335
∴这五个点在同一条直线上
（4）解：小山的预测正确，理由如下
由题意可得：9x-1500=(20-15)x+(18-17)(500-x)
解得：x=400
当x=400时，y=9x-1500=2100
∵2100>2000
∴小山的预测正确
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
经济餐每份利润为18-17=1元
∴200份经济餐的总利润为200×1=200元
故答案为：200
【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量，即可求出答案.
（2）在坐标系描点即可求出答案.
（3）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据待定系数法将点(295，1155)，(300，1200)代入关系式可得y与x的函数关系式为y=9x-1500，再将各点代入关系式进行验证即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程可得x=400，再代入函数关系式求出y值，再比较大小即可求出答案.
20．（2025八下·坪山期末）等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为 ，简洁背后隐藏着丰富的性质.某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识.
（1）如图 1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图 2，已知 ，则正六边形 ABCDEF 的面积是　 　.
（2）如图 3，已知 是边长为 4 的等边三角形， 是边长为 1 的等边三角形. 将 沿射线 BC 方向平移，点 B，D，E 的对应点分别为点 B'，D'，E'.
① 如图 4，在 平移过程中，小深同学画出了 时的情形，此时 平移的距离为 ▲ ；
② 如图 5，在 刚好平移到点 E' 与点 C 重合时，连接 BD'，连接 AB' 并延长交 BD' 于点 F，求此时 的大小；
③ [画图探索] 已知点 G 在线段 AC 上，且 ，在 平移的过程中，当 是直角三角形时，请直接写出 平移的距离.
【答案】（1）
（2）解：①
②延长D'B'交AB于点C
由题意可得：∠ACB=∠D'B'C=60°
∴D'G∥AC
∴∠B'AC=∠FB'D'，∠BGB'=∠BAC=60°
∴△BGB'为等边三角形
∴BB'=BG=B'G
∵BA=BC
∴AG=B'C
∵B'C=B'D'
∴B'D'=AG
在△B'GA和△BB'D'中
∴△B'GA≌△BB'D'
∴∠GAB'=∠B'D'B
∵∠GAB'+∠B'AC=∠BAC=60°
∴∠B'D'B+∠FB'D'=60°
∴∠B'FD'=180°-∠B'D'B-∠FB'D'=120°
③当∠B'GE'=90°时，如图
此时点E'与点C重合，△BDE平移的距离为BB'=BC-B'E'=3
当∠B'E'G=90°时，如图
此时GE'⊥BC
∵
∴
∴△BDE平移的距离为
当∠GBE'=90°时，如图
此时GB'⊥BC
∵
∴
∴△BDE平移的距离为
综上所述，当△B'E'G是直角三角形时，△BDE平移的距离为3或或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）过点O作OH⊥AB于点H
∵△OAB为等边三角形
∴OA=OB=AB=4，∠ABO=60°
∵OH⊥AB
∴
∴
∴
∴正六边形ABCDEF的面积为
故答案为：
（2）①连接AD'交BC于点F
∵D'B'=D'E'，AB'=AE'
∴AD'为B'E'的垂直平分线
∴AF⊥BC，D'F⊥BC
∵AB=AC，D'B'=D'E'
∴
∴
∴ 平移的距离为
故答案为：
【分析】（1）过点O作OH⊥AB于点H，根据等边三角形性质可得OA=OB=AB=4，∠ABO=60°，，再根据正弦定义可得OH，求出△OAB的面积，即可求出正六边形面积.
（2）①连接AD'交BC于点F，根据垂直平分线判定定理可得AD'为B'E'的垂直平分线，则AF⊥BC，D'F⊥BC，即，再根据边之间的关系，结合平移的性质即可求出答案.
②延长D'B'交AB于点C，由题意可得：∠ACB=∠D'B'C=60°，根据直线平行判定定理可得D'G∥AC，则∠B'AC=∠FB'D'，∠BGB'=∠BAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得BGB'为等边三角形，则BB'=BG=B'G，再根据边之间的关系可得B'D'=AG，根据全等三角形判定定理可得△B'GA≌△BB'D'，则∠GAB'=∠B'D'B，再根据角之间的关系即可求出答案.
③分情况讨论，根据题意作出图形，再解直角三角形，结合边之间的关系即可求出答案.
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