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湖南省衡阳市常宁市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
2．（3分）把分式约分得（　　）
A．b+3 B．a+3 C． D．
3．（3分）在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积Sah，当a为定值时，在此式中（　　）
A．S，h是变量，，a是常量
B．S，h，a是变量，是常量
C．S，a是变量，，h是常量
D．S是变量，，a，h是常量
4．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．（3分）如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC
6．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（　　）去．
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝10，则四边形DOCE的周长为（　　）
A．20 B．24 C．40 D．12
9．（3分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）计算的值为　 　 ．
12．（3分）计算：　 　 ．
13．（3分）已知点N（a﹣2，3）在y轴上，则a的值为　 　 ．
14．（3分）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y的图象上，则m与n的大小关系为　 　 ．
15．（3分）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是　 　 ．
16．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 　 　 ．
17．（3分）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 　 　 ．
18．（3分）如图正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点分别在边OA和y轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过P、Q两点．若四边形BDQE的面积为4，则Q的坐标为　 　 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
20．（6分）如图， ABCD的对角线AC、BD有相交于点O，且E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
21．（8分）如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）某商店3、4月份销售同一品牌各种规格的空调的情况如表：
月份 规格
1匹 1.2匹 1.5匹 2匹
3月份 12台 20台 8台 4台
4月份 16台 30台 14台 8台
根据表中数据，解答下列问题：
（1）该商店3、4月份平均每月销售空调多少台？
（2）在该商店，3、4月份出售的各种规格的空调中，其中位数与众数的大小关系如何？
（3）6月份进货时，你认为哪种空调应多进，哪种空调应少进？
23．（9分）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　 　 ．
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　 　 ．
（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
24．（9分）（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点F恰好在AD上，求证：四边形ABEF为正方形；
（2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上的点H处，DG为折痕．若AB＝5，AD＝8，求EG的长．
25．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N是x轴正半轴上的一个点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M，连接CN、OM．若四边形OCNM是平行四边形，求M的坐标．
26．（10分）如图，在 ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容如下：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．请根据教材提示，求：
①若∠ABC＝60°，AF＝2，求平行线AD与BC间的距离；
②在①的条件下，请直接写出平行线AB与DC间的距离．
湖南省衡阳市常宁市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B C B D A D C
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
2．（3分）把分式约分得（　　）
A．b+3 B．a+3 C． D．
【解答】解：；
故选：D．
3．（3分）在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积Sah，当a为定值时，在此式中（　　）
A．S，h是变量，，a是常量
B．S，h，a是变量，是常量
C．S，a是变量，，h是常量
D．S是变量，，a，h是常量
【解答】解：S，h是变量，，a是常量，
∴A正确，符合题意；BCD不正确，不符合题意．
故选：A．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，
∵∠D＝130°，
∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1∠DAB＝25°．
故选：B．
5．（3分）如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
故选：C．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（　　）去．
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵，
∴四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又，
∴乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
综上，乙的成绩好且稳定，
故选：B．
7．（3分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选：D．
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝10，则四边形DOCE的周长为（　　）
A．20 B．24 C．40 D．12
【解答】解：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，BD＝10，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝ODBD＝5，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4×5＝20．
故选：A．
9．（3分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，S1、S2同时到达终点，不符合题意；
D．S1一直增加；S2有三个阶段，1、增加；2、睡了一觉，不变；3、当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，增加；但乌龟还是先到达终点，即S1在S2的上方．符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）计算的值为　3　 ．
【解答】解：
＝1+2
＝3，
故答案为：3．
12．（3分）计算：　1　 ．
【解答】解：原式
＝1．
故答案为：1．
13．（3分）已知点N（a﹣2，3）在y轴上，则a的值为　2　 ．
【解答】解：∵点N（a﹣2，3）在y轴上，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
14．（3分）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y的图象上，则m与n的大小关系为　m＜n　 ．
【解答】解：∵反比例函数y中k＝﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴A、B两点均在第四象限，
∴m＜n．
故答案为m＜n．
15．（3分）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是　86　 ．
【解答】解：
由加权平均数的公式可知86，
故答案为86．
16．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 　1＜k＜3　 ．
【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，
∴k＞1，k＜3，
∴1＜k＜3；
故答案为1＜k＜3；
17．（3分）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　 ．
【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
18．（3分）如图正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点分别在边OA和y轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过P、Q两点．若四边形BDQE的面积为4，则Q的坐标为　（3，）　 ．
【解答】解：由题意可知，OA OB＝OC OD＝16，
∵四边形OAPB是正方形，
∴OA＝OB＝4，
∵四边形BDQE的面积为4，
∴四边形OCEB的面积为12，
∴OC OB＝12，
∴OC3，
∴Q点的横坐标为3，
把x＝3代入y（x＞0）得，y，
∴Q（3，），
故答案为（3，）．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
【解答】解：

，
当a＝5时，原式．
20．（6分）如图， ABCD的对角线AC、BD有相交于点O，且E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴EF∥AB，EFAB，GH∥CD，GHCD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
21．（8分）如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴OH AH＝3，
∴3 AH＝3，
解得AH＝2，
∴点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴3k＝﹣2，
解得k，
∴正比例函数的解析式是yx；
（2）存在．
设P（t，0），
∵△AOP的面积为6，点A的坐标为（3，﹣2），
∴|t| 2＝6，
∴t＝6或t＝﹣6，
∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．
22．（8分）某商店3、4月份销售同一品牌各种规格的空调的情况如表：
月份 规格
1匹 1.2匹 1.5匹 2匹
3月份 12台 20台 8台 4台
4月份 16台 30台 14台 8台
根据表中数据，解答下列问题：
（1）该商店3、4月份平均每月销售空调多少台？
（2）在该商店，3、4月份出售的各种规格的空调中，其中位数与众数的大小关系如何？
（3）6月份进货时，你认为哪种空调应多进，哪种空调应少进？
【解答】解：（1）（12+16+20+30+8+14+4+8）÷2
＝112÷2
＝56（台）；
答：该商店3、4月份平均每月销售空调为56台；
（2）商店出售的各种规格的空调中，其中位数为1.2匹；
数据1.2出现50次，出现次数最多，所以众数是1.2（匹）；
（3）前两个月中销售规格最好的是1.2匹，最差的是2匹，所以在研究六月份进货时，1.2匹的空调要多进；2匹的空调要少进．
23．（9分）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　　 ．
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　10　 ．
（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：；
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：10；
故答案为：；10；
（2）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得：
，
解得：x＝30，
经检验得：x＝30是原方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运30kg产品．
24．（9分）（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点F恰好在AD上，求证：四边形ABEF为正方形；
（2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上的点H处，DG为折痕．若AB＝5，AD＝8，求EG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°．
由折叠的性质得，∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF，
∴四边形ABEF是矩形，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）解：∵四边形ABEF为正方形，
∴AB＝BE＝AF＝5，∠AFE＝∠FEB＝90°，
∴∠DFH＝∠CEF＝90°，
∵BC＝AD＝8，
∴CE＝DF＝3，
又∵△CDG沿着直线DG翻折到△HDG，
∴CD＝HD＝AB＝5，∠C＝∠DHG＝90°，HG＝CG，
∴FH4，
∴HE＝1，
∵GH2＝EG2+HE2，
∴（3﹣EG）2＝EG2+12，
∴EG．
25．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N是x轴正半轴上的一个点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M，连接CN、OM．若四边形OCNM是平行四边形，求M的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y，
由题意可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴OC＝2，
由题意知MN∥OC，
∵四边形COMN是平行四边形，
∴MN＝OC＝2，
∴点M的纵坐标为﹣2，
∵点M在反比例函数y的图象上
∴y＝﹣2时，2，
∴x，
∴M（，﹣2）．
26．（10分）如图，在 ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容如下：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．请根据教材提示，求：
①若∠ABC＝60°，AF＝2，求平行线AD与BC间的距离；
②在①的条件下，请直接写出平行线AB与DC间的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠EAF＝∠BEA，
∴AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠EAF∠BAD，∠ECF∠BCD，
∴∠EAF＝∠ECF，
∴∠BEA＝∠ECF，
∴AE∥CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝AF，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）①解：过点A作AH⊥BC于点H，如图1所示：
∴AH即为平行线AD与BC间的距离，
∵AF＝2，
∴AE＝AF＝2，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE∠BAD＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE＝2，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EHBE＝1，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH，
∴平行线AD与BC间的距离为；
②解：过点A作AH⊥BC于点H，过点C作作CK⊥AB于点K，如图2所示：
∴CK即为平行线AB与DC间的距离，
∵在①的条件下，
∴AF＝2，AB＝BE＝2，AH，
由（1）可知：四边形AECF是菱形，
∴CE＝AF＝2，
∴BC＝BE+CE＝4，
由平行四边形的面积公式得：四边形ABCD的面积为：AB CK＝BC AH，
∴CK，
∴平行线AB与DC间的距离是．

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