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河南省洛阳市伊川县2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．下列为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）

A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
5．佳佳和音音在解决如下问题：如图，将三角形的顶点平移到顶点，作出平移后的图形．
佳佳的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可．
音音的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可．

关于这两种方法，下列判断正确的是（ ）
A．佳佳和音音的方法均正确 B．佳佳的方法正确，音音的方法不正确
C．佳佳的方法不正确，音音的方法正确 D．佳佳和音音的方法均不正确
6．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ）
A．20 B．22 C．23 D．25
8．如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，连接，则下列结论：，；；四边形的周长是．其中结论正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为(　　)
A．20° B．35° C．40° D．45°
10．如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
二、填空题
11．若是关于x的方程的解，则 ．
12．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若，则∠2的度数为 ．
13．某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为 ．
14．如图是可调躺椅的示意图，与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 度．

15．若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ．
三、解答题
16．（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
17．我们在苏科版数学七年级下册第九章中学习了一些基本尺规作图．请用无刻度的直尺和圆规完成下列基本作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图① 中，请作出已知线段的垂直平分线；
(2)在图② 中，请作出已知角的平分线；
(3)在图③ 中，请作出过直线外一点P，且垂直于直线的直线（点Q是垂足）．
18．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如三个内角分别为的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交射线于点C．
(1)的度数为________°，________（填“是”或“不是”）“智慧三角形”；
(2)若，试说明：为“智慧三角形”．
19．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
(2)设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
20．已知，，分别为△ABC的三条边，且满足，，．
（1）求的取值范围．
（2）若的周长为12，求的值．
21．【实践操作】学习了图形的变换后，小明同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上．画两条直线、，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．

【问题探究】如图2，当直线与直线平行时，
（1）箭头还可以看作是箭头沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度；
（2）试说明：．
【类比探究】如图3，当直线与直线相交于点时，
（3）箭头可以看作是箭头绕着点______旋转而成的，旋转角为______，与的数量关系为______．
【拓展探究】当直线与直线垂直时，
（4）箭头与箭头的对称关系是______．
22．将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．

(1)如图1，当点D与点B重合时．
判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）
(2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论．
23．“梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵元，买2组水彩画和3组创意字共用元．

(1)求每组水彩画、创意字的价格分别是多少？
(2)若学校需购进水彩画、创意字共组，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
参考答案
1．D
解：A．不是方程，故此选项不符合题意；
B．方程含有二个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．方程的左边不是整式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．方程是一元一次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．B
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
3．C
,
,
若x为正整数,
的可能取值是9,10,11三个,故这样的三角形共有3个.
所以C选项是正确的.
4．D
解：A、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
B、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
C、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
D、由于正五边形的内角为，正方形的内角为，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌；
故选：D.
5．A
解：按照佳佳的方法，且，且，符合图形平移前后对应点连成的线段平行且相等，因此方法正确；
按照音音的方法，，，，， 符合图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，因此方法正确；
综上可知，佳佳和音音的方法均正确．
故选A．
6．B
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴旋转角的度数即为的度数，为；
故选B．
7．C
设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，
依题意得：，
∴解这个方程组为：，
∴大壮的得分为：．
故选：C．
8．D
解：将沿方向平移得到，
，，，故正确；
，
，
，故正确；
沿方向平移得到，，，，
，，
四边形的周长，故正确，
故选：D．
9．B
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-505°=35°，
故选：B．
10．C
解：∵平分， 为外角的平分线，
∴，，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵不一定是，故②不正确；
由于，
∴，故③不正确；
综上：正确的有①④；
故选：C．
11．3
解：代入得，，
解得：．
故答案为：3．
12．或51度
解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，
∵，
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝，
∴∠1+∠2＝﹣＝，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
解：设小芬可以购买该种商品件，
根据题意得：，
∴，
∴．
故答案为：．
14．40
解：连接并延长至点，如图所示．
在中，，，
，
．
，，
，
即，
，
故答案为：．
15．或
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴不等式组的整数解有：，，，，或，，，
∴或．
故答案为：或．
16．（1）；（2）
解：（1），
得：，
，
把代入中，解得，
方程组的解为；
（2），
解不等式得，．
解不等式得，，
不等式组的解集为．
17．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
（1）解：如图所示：直线即为所求；
（2）如图所示射线FH即为所求
（3）如图所示：直线即为所求
18．(1)30，是
(2)见解析
（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）解：∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
19．(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析
(2)①；②见解析
（1）解：嘉嘉的说法不正确；
理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关；
（2）①，
解得，
即的值为；
②，
整理得，
解得．
∴无论取何值，的值始终不变．
20．（1）；（2）．
解：（1）∵，，分别为的三条边，且，，
∴
解得．
故答案为：．
（2）∵的周长为12，，
∴，
解得．
故答案为：．
21．（1）；；（2）见解析；（3）O，，；（4）关于点O成中心对称
（1）解：箭头还可以看作是箭头沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度，
故答案为：，；
（2）证明：∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴直线垂直平分，直线垂直平分，
∴，，
又，，
∴
（3）箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为，
∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴，
又，，
∴，
即与的数量关系为，
故答案为：O，，；
（4）如图，
箭头与箭头的对称关系是关于点O成中心对称，
故答案为：关于点O成中心对称．
22．(1)=
(2)或，见解析
（1）解：，理由如下：
∵三角形是由三角形平移得到，
∴，
∴；
（2）解：根据点D的位置可分为两种情形，
① 若点D在点左边，如图．

由平移的性质可得：，，，
∵，
∴，
∴．
② 若点在点右边，如图：

由平移的性质可得：，，，
∵，
∴，
∴．
23．(1)每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元
(2)共有种购买方案，总费用最少为元
（1）解：设每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元，
依题意得，，
解得，
答：每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元；
（2）解：设需购进水彩画组，则需购进创意字组，
由题意可得：，
解得，，
又为正整数，
可以取3，4，
共有2种购买方案，
方案1：购进3组水彩画，9组创意字；费用为（元）；
方案2：购进4组水彩画，8组创意字；费用为（元）；
∵，
∴最低费用为元，
答：共有2种购买方案，购进3组水彩画，9组创意字总费用最少，为元．

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