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湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．正比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．若，则x满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．长沙是一座充满历史底蕴和现代文明的城市，市内有湖南省博物院、湖南省科学技术馆、湖南湘绣博物馆、隆平水稻博物馆、湖南地质博物馆等研学景点，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，8，11，7，（单位：人），则这组数据的中位数是（ ）
A．12 B．8 C．11 D．7
6．如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的菱形是正方形 D．矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质
9．如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ）
A． B．当时，
C． D．的解集是
10．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．若有意义，则的取值范围是 ．
12．平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
13．一列数据：1，2，5，x，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
14．将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为 ．
15．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元．
16．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．若，求的值．
19．已知关于的函数．
(1)若y是x的正比例函数，求m的值；
(2)若，求该函数图象与轴的交点坐标．
20．如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求的长．
21．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
输入x … 0 1 …
输出y … m 1 7 …
(1)______；
(2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______；
(3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式．
22．AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下：
七、八年级学生代表成绩的平均数与方差
平均数 方差
七年级
八年级
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”）
(2)补全条形统计图．
(3)若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
23．如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
24．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标；
(3)点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由．
参考答案
1．A
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：A．
2．B
解：正比例函数的解析式为，已知图象经过点，
将点的坐标代入解析式，得，
解得，
故选：B．
3．A
解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
4．D
解：A、3和不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，正确；
故选：D．
5．C
解：将各小组人数按从小到大的顺序排列，得到：7，8，11，12，12，
共有5个数据（奇数个），中位数为第3个数，
排序后的第3个数是11，因此这组数据的中位数为11．
故选：C．
6．C
解：在中，由勾股定理得，，
以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，
，，
，
故选：C．
7．A
解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴．
故选A．
8．C
解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误；
B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误；
C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确；
D、矩形、菱形都具有“对角线平分”的性质，故选项说法错误；
故选：C．
9．D
解：A、直线的图象经过第二、三、四象限，，故A正确，不合题意；
B、由条件可知方程的解是，故B正确，不合题意；
C、直线的图象与y轴交于正半轴，，故C正确，不合题意；
D、结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方，不等式的解集为，故D错误，符合题意．
故选：D．
10．B
解：根据作图，得
，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得
故选．
11．
解：根据题意得到，，
解得，，
故答案为： ．
12．
作轴于，则，．
则根据勾股定理，得．
故答案为：．
13．5
解：由题意得，，则这组数据的众数是．
故答案为：．
14．y=2x﹣3
解：设平移后直线的解析式为y=2x+b．
把（2，1）代入直线解析式得1=2×2+b，解得 b=﹣3．
所以平移后直线的解析式为y=2x﹣3．
故答案是y=2x﹣3．
15．4
解：设这件商品每件的原价为a元，
当购买的件数x超过10件时，所付的款数，
整理得：，
根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上，
，
解得：
答：这件商品每件的原价为4元．
故答案为4．
16．9或25
解：将沿翻折得到，
，，
①如图1，当点E在线段上时，
，
，，E三点共线.
，
.
，
；
②如图2，当点E在的延长线上时，
，，，
.
设，则，
，
，
，
解得，
，
综上，的值为9或
故答案为：9或
17．
解：原式



18．
解：，
，，
，，
19．(1)3
(2)函数图象与x轴的交点坐标为
（1）解：是的正比例函数，
，
解得．
故的值为：3．
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
当时，该函数图象与轴的交点坐标为．
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：是直角三角形，，
，
21．(1)
(2)1，2
(3)
（1）解：当时，，
故答案为：
（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为
故答案为：1，
（3）将，和，分别代入，
得，
解得，
当时，函数的表达为
22．(1)七
(2)见解析
(3)人
（1）解：，
学生代表成绩比较整齐的是七年级；
故答案为：七；
（2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
分和3分的人数分别有1人和4人，
补全条形统计图如下：
（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人，
（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人．
23．(1)证明过程见详解
(2)
（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：．
24．（1）②④；（2）见解析；（3）10或
（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意；
②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意；
③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意；
④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意；
故答案为：②④；
（2）证明：如图，连接、，
四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
，
四边形是等角线四边形．
（3）解：，，，
，
点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点，
是的垂直平分线，
，
根据题意，分两种情况：
Ⅰ当点在的上方时，如图，连接，
四边形为等角线四边形，
，
，
．
Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
四边形为等角线四边形，
．
，
，
，
综上，这个等角线四边形的面积为10或．
25．(1)直线的表达式为
(2)点D的坐标为或
(3)N的坐标为或，见解析
（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，其中，则，，
，，
，
解得或，
点的坐标为或；
（3）解：为边时，如图：
由表达式得，
菱形的边长为，
设，
，
，
解得（舍去）或，
，
轴，，
；
当为对角线时，连接交轴于，如图：
四边形是菱形，
直线是线段的垂直平分线，
，
在中，令得，
，
是线段的垂直平分线，
，
综上所述，的坐标为或．

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