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§5.4　等差、等比数列的应用
一、选择题
1．一长跑运动员进行常规训练，他计划第一天跑1 000米，第二天跑1 200米，此后每天都比前一天多跑200米，则该运动员第9天按计划要跑(　　)
A．2 000 B．2 400
C．2 600 D．2 800
2．某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元，降至48.6元，则平均每次降价的百分率为(　　)
A．20% B．10%
C．15% D．30%
3．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天出去找回了3个伙伴，第二天4只蜜蜂飞出去各自找回3个伙伴…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂________只．(　　)
A．20 B．1024
C．256 D．244
4．点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起每天比前一天多读4页，最后一天读了70页，刚好读完，则这本书的总页数为(　　)
A．500 B．550
C．600 D．650
5．阅读下面一首古诗：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？诗中所提问题的答案是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来的一半高度，则第10次着地时所经过的路程之和是(　　)
A．199.8米 B．299.6米
C．166.9米 D．266.9米
二、填空题
7．某学校的募捐小组上街头募捐，一共募捐得到6 500元，第一天只募捐到200元，后来小组采取了积极的措施，使得每天都比前一天多募捐100元，问他们总共募捐________天．
8．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，则这四个数的积为________．
三、解答题
9．有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第一层有16根，第2层有17根，…，下面每层比上层多一根，试问这堆木材共有多少根？
10．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
11．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2019年年底分红后的资金为1 000万元．
(1)求该企业2023年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
答案
1．C　解析　由题意知，每天跑步长度成等差数列，首项为1 000，公差为200.所以a9＝1 000＋8×200＝2 600，故选C.
2．B　解析　y＝a(1－p)x，所以48.6＝60(1－p)2解得p＝0.1，故选B.
3．B　解析　由题意知每天末蜜蜂数量成等比数列，且首项为4，公比为4，所以a5＝4×44＝1 024，故选B.
4．B　解析　由题意知，每天读书页数成等差数列，首项为30，公差为4，所以：an＝30＋4(n－1)＝70，解得n＝11.所以，S11＝11a1＋d＝330＋220＝550，故选B.
5．A　解析　由题意知每层灯数目成等比数列n＝7，公比为2，S7＝381；所以：S7＝＝381，
解得：a1＝3，故选A.
6．B　解析　由题意知小球每次落地的路程成等比数列，且首项为100，公比为0.5，所以：S10＝＝199.8
小球每次弹起的距离成等比数列，且首项为50，公比为0.5，所以T9＝＝99.8；
所以路程之和为：299.6米，故选B.
7．10　解析　募捐的钱数组成了以200为首项，100为公差的等差数列，且Sn＝200n＋×100
＝6500，解得n＝10.
8．432　解析　设前三个数为，a，aq，则第四个数为2aq－a，所以·a·aq＝216，
所以a＝6，则＋6＋6q＋12q－6＝21，所以q＝，则四个数分别为9,6,4,2.
9．解　由题意可知，两层木材的数量构成等差数列{an}，且前项为a1＝16，公差d＝1.则S10＝10a1＋d＝10×16＋×1＝205.
因此这堆木材一共有205根．
10．解析　从12月20号到第二年的1月1号共13天，每天领取奖金数是以100为首项，以10为公差的等差数列，即a1＝100，d＝10，n＝13；所以共获奖金13×100＋×10＝2080元，
由于2080＞2000，故第二种方式获奖者收益更多．
11．解　设an为(2019＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1 000－500＝1 500，a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．所以an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列．所以an－500＝1 000×2n－1，所以an＝1 000×2n－1＋500.
(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，所以该企业2023年年底分红后的资金为8 500万元．
(2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，所以该企业从2026年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
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§5.4　等差、等比数列的应用
本节 思维导图
基础知识 三维训练
典例选析·分类突破
2门世2有
3厚
第五章
数列
等差数列模型
等差、等比
增长率
数列的应用
等比数列模型
模型
等差、等比数列的综合应用

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