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第一章　集合与充要条件
§1.1　集合及其表示
一、选择题
1．下列语句可以构成一个集合的个数为(　　)
①班上很瘦的同学；
②方程x2＝9的所有的实数根；
③某次期末考试前10名的学生；
④全国著名学者的全体．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．下列集合的表示方法中正确的是(　　)
A．方程x2＋3＝0的解集是{ }
B．方程组的解集为{3,1}
C．绝对值小于3的整数用列举法表示为{0,1,2}
D．方程x2＝4的解集可表示为{－2,2}
3．设集合A＝{x|x≤4}，a＝，则正确的关系是(　　)
A．a A B．a∈A
C．{a}∈A D．a A
4．若集合A＝{0,1，x2－5x}，且－4∈A，则实数x的值为(　　)
A．1 B．4
C．24 D．1或4
5．0、{0}与 的关系正确的有(　　)
①0＝{0}；②0＝ ；③{0}＝ ；
④0∈{0}；⑤0∈ ；⑥{0}∈ ；
⑦0 {0}；⑧0 ；⑨{0} .
A．③④⑧ B．④⑧
C．③④⑤ D．④⑧⑨
6．若集合A＝{x|x2＋x＋3＝0}，下列结论正确的是(　　)
A．集合A为空集
B．集合A中共有2个相同的元素
C．集合A中共有1个元素
D．集合A中共有2个不同的元素
7．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，且满足－2∈A，1∈A，则实数p、q的值分别为(　　)
A． B．1,2
C．1，－2 D．－1,2
8．下列五个关系式：①∈R；②|－1| N*；③ Q；④π∈Z；⑤0∈N中，不正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．已知2∈{2m－1，－2}，则实数m＝________.
10．用符号“∈”、“ ”填空
0________N；－2________N；________Q；________R；－3________Z.
三、解答题
11．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于3小于11的奇数所组成的集合；
(2)6的平方根所组成的集合；
(3)方程x2＋x－6＝0的解集；
(4)不大于5的正实数构成的集合；
(5)绝对值等于3的所有实数构成的集合；
(6)方程组的解构成的集合．
12．已知x2∈{0,1，x}，求实数x的值．
13．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.
(1)若1是A中的一个元素，用列举法表示A；
(2)若A中有且仅有一个元素，求实数a的值构成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求实数a的取值范围．
答案
1．A　解析　根据集合的概念，由某些确定的对象组成的整体，才能构成集合，所以只有②是正确的，故选A.
2．D　解析　 本身就是集合不能再加大括号了，所以A错误；方程组的解集只有一个元素应该是{(3,1)}，所以B错误；绝对值小于3的整数用列举法表示为{－1，－2,0,1,2}，所以C错误，故选D.
3．B　解析　∵a＝＜＝4，∴a∈A，故选B.
4．D　解析　因为－4∈A，所以x2－5x＝－4，解方程得x＝1或x＝4，故选D.
5．B
6．A　解析　因为Δ＝b2－4ac＝1－12＝－11<0，所以方程x2＋x＋3＝0无实数根，所以集合A为空集，故选A.
7．C　解析　因为－2∈A,1∈A，则说明－2和1是方程x2＋px＋q＝0的两个根，代入得解得p＝1，q＝－2，故选C.
8．C　解析　①⑤正确，②③④错误，故选C.
9．　解析　因为2∈{2m－1，－2}，所以2m－1＝2，解得m＝.
10．∈　 　 　∈　∈
11．解　(1)大于3小于11的奇数有5,7,9；用集合可表示为{5,7,9}．
(2)6的平方根有±；用集合可表示为{，－}．
(3)方程x2＋x－6＝0的解集用描述法可表示为{x|x2＋x－6＝0}，用列举法可表示为{2，－3}．
(4)用描述法{x|0＜x≤5}．
(5){3，－3}．
(6){(2,3)，(3,2)}．
12．解　∵x2∈{0,1，x}，∴x2必是0,1，x中的一个．
(1)若x2＝0，则x＝0，与元素的互异性矛盾；
(2)若x2＝1，则x＝±1，x＝1与元素的互异性矛盾，舍去，则x＝－1；
(3)若x2＝x，则x＝0或x＝1，都不合题意，舍去．故x＝－1.
13．解　(1)因为1是A的元素，
所以1是方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，
所以a＋2＋1＝0，即a＝－3，
此时A＝{x|－3x2＋2x＋1＝0}，
所以x1＝1，x2＝－，
所以集合A＝；
(2)若a＝0，方程化为2x＋1＝0，此时方程有且仅有一个根x＝－；若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素；所以所求集合B＝{0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a＝0或a＝1，②A中一个元素也没有，即A＝ ，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，解得a＞1，综合①②知a的取值范围为a≥1或a＝0.
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§1.1　集合及其表示
本节 思维导图
基础知识 三维训练
典例选析·分类突破
（重要*题型标记）
2门世2有
3厚
第·章
集合与充要条件
集合元素的特性
列举法
元素与集合的关系
集合的概念
集合的表示方法
描述法
常用数集
图示法
集合的分类
子集（包含关系）
真子集（真包含关系）
集合与集合的关系
集合
集合相等
充分不必要条件
交集
必要不充分条件
并集
集合与集合的运算
充要条件
充要条件
补集
一既不充分也不必要条件
定义
集合的
基本概念
元素与集合的关系
分类
确定性
集合及其
集合中元
素的性质
互异性
表示方法
无序性
列举法
集合的
表示方法
一描述法

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