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第二课时　空间向量的数量积
1.已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（　　）
A.｜＋＋｜＝｜＋－｜
B.｜＋＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2
C.（＋＋）·＝0
D.·＝·＝·
2.若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则cos＜，＞的值为（　　）
A.　　　　　　　 B.
C.－ D.0
3.已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则｜a＋b－2c｜＝（　　）
A. B.
C.2 D.
4.已知四边形ABCD满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为（　　）
A.平行四边形 B.梯形
C.长方形 D.空间四边形
5.（多选）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有（　　）
A.·＝a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
6.如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，10）是正方体其余的10个顶点，则·（i＝1，2，…，10）的不同值的个数为　　　　个.
7.已知a，b是空间两个向量，若｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜a－b｜＝，则cos＜a，b＞＝　　　　.
8.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝　　　　.
9.如图，在空间四边形OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c.
（1）试用向量a，b，c表示向量；
（2）若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值.
10.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是（　　）
A.60° B.120°
C.30° D.90°
11.（多选）设a，b，c是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（　　）
A.（a·b）c－（c·a）b＝0
B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C.（b·a）c－（c·a）b不与c垂直
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
12.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.
（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长.
13.已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则｜p｜的取值范围为（　　）
A.[0，1] B.[1，2]
C.[0，3] D.[1，3]
14.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将△ABC沿AC折起，使AB与CD所成的角为60°.
（1）求·；
（2）求点B，D间的距离.
第二课时　空间向量的数量积
1.C　∵AB、AC、AD两两垂直，则可得AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC，从而·＝0、·＝0、·＝0、·＝0、·＝0、·＝0，∴A、B、D选项均正确，故选C.
2.D　依题意空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，设棱长均为a.而＝－，则·＝·（－）＝·－·＝a2·cos －a2·cos ＝0，所以cos＜，＞＝＝＝0.故选D.
3.B　｜a＋b－2c｜＝
＝
＝＝.故选B.
4.D　由·＞0，可得cos＜，＞＝＞0，根据两个向量的夹角的定义，可得四边形ABCD中，∠ABC∈，同理可得四边形ABCD中，得到A∈，C∈，D∈，则这个四边形ABCD只能为空间四边形.故选D.
5.AC　连接A1D（图略），则·＝·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝a×a×cos 60°＝a2.A正确.·＝·（＋＋）＝＋·＋·＝a2，故B错误.·＝·＝·（＋＋）＝（＋·＋·）＝＝｜｜2＝a2.C正确.·＝·（－）＝·－·＝－a2.D错误.
6.2　解析：当i＝1，2，3，4，5时，⊥，故·＝0，
当i＝6，7，8，9，10时，＝＋，
∴·＝·（＋）＝＋·，
∵⊥，∴·＝0，∴·＝1，
∴·（i＝1，2，…，10）的不同值的个数为2个.
7.　解析：将｜a－b｜＝两边平方，得（a－b）2＝7.因为｜a｜＝2，｜b｜＝2，所以a·b＝.又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，故cos＜a，b＞＝.
8.　解析：如图，设＝m，由于＝＋，＝＋＝＋m，由⊥可得·＝0，∴·＝（＋）·＝0，又⊥，⊥，因此×1×1×＋4m＝0，解得m＝，∴＝.
9.解：（1）∵2＝，
∴＝＝（－）＝（c－b），
故＝＋＝b＋（c－b）＝b＋c，
∵点E为AD的中点，
故＝（＋）＝a＋b＋c.
（2）由题意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a，
故·＝·（c－a）
＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a
＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－.
10.B　由题意得a·b＝（e1＋e2）·（e1－2e2）＝－e1·e2－2＝1－1×1×－2＝－，｜a｜＝＝＝＝＝，｜b｜＝＝＝＝＝.∴cos＜a，b＞＝＝＝－.∴＜a，b＞＝120°.故选B.
11.BD　根据空间向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故（a·b）c与（c·a）b一定不相等，故A错误；因为[（b·a）c－（c·a）b]·c＝（b·a）c2－（c·a）（b·c），当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[（b·a）c－（c·a）b]·c＝0，即（b·a）c－（c·a）b与c垂直，故C错误；由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确，故选B、D.
12.解：（1）证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴＜，＞＝π－＜，＞＝π－＝.
∵·＝（＋）·（＋）
＝·＋·＋＋·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＋
＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.
（2）由（1）知·＝｜｜｜｜cos＜，＞＋＝－1.
又｜｜＝ ＝ ＝｜｜，
∴cos＜，＞＝＝，
∴｜｜＝2，即侧棱长为2.
13.C　∵｜p｜2＝＝3＋2≤3＋2×3＝9，∴0≤｜p｜≤3.当且仅当a，b，c共线同向时，｜p｜max＝3；当且仅当a，b，c两两夹角为120°时，｜p｜min＝0，故选C.
14.解：（1）由已知得，翻折后AB与CD所成的角为60°，所以＜，＞＝60°或120°，所以·＝｜｜｜｜cos 60°＝2，或·＝｜｜｜｜cos 120°＝－2.
（2）连接BD（图略），由已知得·＝0，·＝0，则｜｜2＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2cos＜，＞，所以｜｜2＝13或5，解得｜｜＝或，即点B，D间的距离为或.
2 / 2第二课时　空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积及其性质 直观想象
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算
　　如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念.
【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？
（2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　空间向量的数量积
1.空间向量的夹角
如果＜a，b＞＝，那么向量a，b　　　　　，记作a⊥b.
2.空间向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫作a与b的数量积（也称为内积），记作a·b.
3.数量积的几何意义
（1）向量的投影：
如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a'；
（2）数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.
4.空间向量数量积的性质
（1）a⊥b a·b＝0；
（2）a·a＝｜a｜2＝a2；
（3）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜；
（4）（λa）·b＝λ（a·b）；
（5）a·b＝b·a（交换律）；
（6）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）.
【想一想】
1.当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？
2.空间向量a在向量b上的投影是向量吗？
1.下列命题中正确的是（　　）
A.（a·b）2＝a2·b2
B.｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
C.（a·b）·c＝a·（b·c）
D.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c＝0
2.已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3则（6a）·＝（　　）
A.15　　 B.3　　 C.－3　　 D.5
3.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝（　　）
A. B.
C. D.
题型一 数量积的运算
角度1　空间向量数量积的运算
【例1】　（链接教科书第11页例5）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.求：
（1）·；
（2）（＋）·（＋）.
尝试解答
【母题探究】
　（变条件，变设问）在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求：
（1）·；
（2）·；
（3）·.
角度2　空间向量的投影
【例2】　（2024·辽宁营口市高二月考）已知｜a｜＝4，空间向量e为单位向量，＜a，e＞＝，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为（　　）
A.2　　　 B.－2
C.－ D.
尝试解答
通性通法
求空间向量数量积的步骤
（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
（4）代入公式a·b＝｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞求解.
提醒　在求两个向量夹角时，要注意向量的方向.
【跟踪训练】
1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·（b＋c）的值为（　　）
A.1 B.0
C.－1 D.－2
2.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·（＋＋）＝　　　　.
题型二 空间向量的夹角
【例3】　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值.
尝试解答
通性通法
求空间向量的夹角
　　求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cos θ＝求解，当θ∈ a·b＞0，θ∈ a·b＜0转化为解不等式（组）.
提醒　向量与向量的夹角为∠BAC而与的夹角为π－∠BAC.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量与的夹角等于（　　）
A.45°　　　　 B.60°
C.90° D.120°
题型三 利用空间向量的数量积求距离
【例4】　已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若｜CM｜＝｜BN｜＝a（0＜a＜）.
（1）求线段MN的长；
（2）当a为何值时，线段MN最短？
尝试解答
通性通法
1.求两点间的距离或线段长度的方法
（1）将此线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜a｜＝，通过计算求出｜a｜，即得所求距离.
2.本例中M，N分别为AC，BF上的动点，因此CM，BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于a的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用.
【跟踪训练】
　平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1过顶点A的三条棱的夹角分别是，，，所有的棱长都为2，则AC1的长等于（　　）
A.3 　　 B.2
C.2 D.2
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是（　　）
A.与 B.与
C.与 D.与
2.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.不确定
3.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，则a与b的夹角为（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
4.（多选）已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（　　）
A.· B.·
C.· D.·
5.如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，∠DAB＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，则AC1＝　　　　.
第二课时　空间向量的数量积
【基础知识·重落实】
知识点
1.非零　∠AOB　＜a，b＞　[0，π]　互相垂直
想一想
1.提示：0°　180°
2.提示：是向量.
自我诊断
1.B　对于A项，左边＝｜a｜2｜b｜2cos2＜a，b＞，右边＝｜a｜2｜b｜2，∴左边≤右边，故A错误.对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误.在D中，∵a·（b－c）＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误.对于B项，∵a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，－1≤cos＜a，b＞≤1，∴｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，故B正确.
2.B　∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，∴（6a）·＝3a·b＝3×（3e1＋2e2－e3）（e1＋2e3）＝9｜e1｜2－6｜e3｜2＝3.故选B.
3.B　依题意，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，所以FG∥AC，FG＝AC，△ABC是等边三角形，且边长为1.所以·＝·＝｜｜·｜｜·cos 60°＝.故选B.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：在正四面体OABC中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1.
＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝60°.
（1）·＝｜｜｜｜cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
（2）（＋）·（＋）＝（＋）·（－＋－）＝（＋）·（＋－2）＝＋2·－2·＋－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.
母题探究
　解：（1）·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝cos 60°＝.
（2）·＝·＝｜｜2＝.
（3）·＝·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝cos 120°＝－.
【例2】　B　由题意，｜a｜＝4，｜e｜＝1，＜a，e＞＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝＝4×＝－2.故选B.
跟踪训练
1.B　由题意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，所以a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，所以a·（b＋c）＝a·b＋a·c＝0，故选B.
2.　解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝（＋＋），故·（＋＋）＝（＋＋）2＝（｜｜2＋｜｜2＋｜｜2）＝（1＋4＋9）＝.
【例3】　解：如图，设＝a，＝b，＝c，且｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1.
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
∵＝（＋）＝（a＋b），
＝－＝－＝c－b，
∴·＝（a＋b）·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
又｜｜＝｜｜＝，
∴cos＜，＞＝＝－.
∴向量与夹角的余弦值为－.
跟踪训练
　B　因为E，F，G，H分别是所在棱的中点.所以由三角形中位线定理可得，
与同向共线，与同向共线，∴＜，＞＝＜，＞，在正方体中△A1BC1为等边三角形，
∴＜，＞＝＜，＞＝60°，故选B.
【例4】　解：（1）由已知得｜｜＝，｜｜＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＝（＋）－＋·（－＋）＝＋，
∴｜｜＝＝
＝
＝（0＜a＜）.
即MN的长度为（0＜a＜）.
（2）由（1）知当a＝，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为.
跟踪训练
　D　∵＝＋＋，
∴｜｜＝
＝
＝
＝＝2，故选D.
随堂检测
1.A　A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A.
2.B　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·，＝a·（c－b）＋b·（a－c）＋c·（b－a），＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.
3.D　设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝，故选D.
4.ABC　如图所示，若AA1＝AD，则AD1⊥B1C，A正确；若AB＝AD，则BD1⊥AC，B正确；∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，∴两者不可能垂直，D错.故选A、B、C.
5.　解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＋，所以｜｜2＝｜＋＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2｜｜·｜｜cos∠DAB＋2｜｜·｜｜cos∠A1AB＋2｜｜·｜｜cos∠A1AD＝2＋2＋1＋2···＋2·1·＋2·1·＝11，所以AC1＝.
5 / 5(共71张PPT)
第二课时　空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积及其性质 直观想象
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ，那么力 F 所作的功 W
＝ F × S ＝｜ F ｜｜ S ｜ cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标
量，我们引入了“数量积”的概念.
【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？
（2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一
样吗？




知识点　空间向量
的数量积
1. 空间向量的夹角
如果＜ a ， b ＞ a ， b ，记作 a ⊥ b .
互相垂直　
2. 空间向量数量积的定义
已知两个非零向量 a ， b ，则｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞叫作 a 与 b
的数量积（也称为内积），记作 a · b .
3. 数量积的几何意义
（1）向量的投影：如图所示， 过 a 的始点和终点分别向 b 所在的直
线作垂线，即可得到向量 a 在向量 b 上的投影 a '；
（2）数量积的几何意义： a 与 b 的数量积等于 a 在 b 上的投影 a
'的数量与 b 的长度的乘积，特别地， a 与单位向量 e 的数
量积等于 a 在 e 上的投影 a '的数量.规定零向量与任意向量
的数量积为0.
4. 空间向量数量积的性质
（1） a ⊥ b a · b ＝0；
（2） a · a ＝｜ a ｜2＝ a2；
（3）｜ a · b ｜≤｜ a ｜｜ b ｜；
（4）（λ a ）· b ＝λ（ a · b ）；
（5） a · b ＝ b · a （交换律）；
（6）（ a ＋ b ）· c ＝ a · c ＋ b · c （分配律）.
1. 当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹
角为多少度？
提示：0°　180°
2. 空间向量 a 在向量 b 上的投影是向量吗？
提示：是向量.
【想一想】
1. 下列命题中正确的是（　　）
A. （ a · b ）2＝ a2· b2
B. ｜ a · b ｜≤｜ a ｜｜ b ｜
C. （ a · b ）· c ＝ a ·（ b · c ）
D. 若 a ⊥（ b － c ），则 a · b ＝ a · c ＝0
解析：　对于A项，左边＝｜ a ｜2｜ b ｜2 cos 2＜ a ， b ＞，右边
＝｜ a ｜2｜ b ｜2，
∴左边≤右边，故A错误.
对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误.
在D中，∵ a ·（ b － c ）＝0，∴ a · b － a · c ＝0，∴ a · b ＝ a · c ，但
a · b 与 a · c 不一定等于零，故D错误.对于B项，∵ a · b ＝｜ a ｜｜
b ｜ cos ＜ a ， b ＞，－1≤ cos ＜ a ， b ＞≤1，
∴｜ a · b ｜≤｜ a ｜｜ b ｜，故B正确.
2. 已知向量 e1， e2， e3是两两垂直的单位向量，且 a ＝3 e1＋2 e2－ e3，
b ＝ e1＋2 e3则（6 a ）·（ b ）＝（　　）
A. 15 B. 3
C. －3 D. 5
解析：　∵向量 e1， e2， e3是两两垂直的单位向量，且 a ＝3 e1＋2
e2－ e3， b ＝ e1＋2 e3，∴（6 a ）·（ b ）＝3 a · b ＝3×（3 e1＋2 e2－
e3）（ e1＋2 e3）＝9｜ e1｜2－6｜ e3｜2＝3.故选B.
3. 如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点 E ， F ，
G 分别是 AB ， AD ， DC 的中点， ·
A. B.
C. D.
解析：　依题意， E ， F ， G 分别是 AB ， AD ， DC 的中点，所以
FG ∥ AC ， FG AC ，△ ABC 是等边三角形，且边长为1.所
· · ｜ ｜·｜ ｜· cos 60° .故选B.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数量积的运算
角度1　空间向量数量积的运算
【例1】　（链接教科书第11页例5）已知正四面体 OABC 的棱长为1，如图所示.求：
（1 ·
解：在正四面体 OABC 中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
60°.
（1 · ｜ ｜｜ ｜ cos ∠ AOB ＝1×1× cos 60° .
（2） · .
解： · ＝ ·
＝ · 2 2
· 2 · 2 · 12＋2×1×1× cos 60°－
2×1×1× cos 60°＋12－2×1×1× cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.
【母题探究】
　（变条件，变设问）在本例条件下，若 E ， F 分别是 OA ， OC 的中
点，求：
（1 ·
解： · · ｜ ｜｜ ｜· cos
cos 60° .
解： · · ｜ ｜2 .
解： · · ｜ ｜｜ ｜· cos cos 120°＝ .
（2 ·
（3 · .
角度2　空间向量的投影
【例2】　（2024·辽宁营口市高二月考）已知｜ a ｜＝4，空间向量 e
为单位向量，＜ a ， e ＞ a 在向量 e 方向上的投影的
数量为（　　）
A. 2 B. －2
C. D.
解析：　由题意，｜ a ｜＝4，｜ e ｜＝1，＜ a ， e ＞ a 在向量 e 方向上的投影数量
4×（ ）＝－2.故选B.
通性通法
求空间向量数量积的步骤
（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量
的数量积；
（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
（4）代入公式 a · b ＝｜ a ｜·｜ b ｜· cos ＜ a ， b ＞求解.
提醒　在求两个向量夹角时，要注意向量的方向.
【跟踪训练】
1. 在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， a b c ，则 a ·（ b ＋ c ）的值为（　　）
A. 1 B. 0
C. －1 D. －2
解析：　由题意可得 AB ⊥ AD ， AB ⊥ AA1，所以 a ⊥ b ， a ⊥ c ，
所以 a · b ＝0， a · c ＝0，所以 a ·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c ＝0，故选B.
2. 在四面体 OABC 中，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直，且 OA ＝1， OB
＝2， OC ＝3， G 为△ ABC 的重心， · .
解析：由已 · · · 0， · 2
｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2 1＋4＋9 .
题型二 空间向量的夹角
【例3】　已知空间四边形 OABC 各边及对角线长都相等， E ， F 分别
为 AB ， OC 的中点，求向 .
解：如图， a b c ，且｜ a ｜
＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝1.
易知∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC
则 a · b ＝ b · c ＝ c · a .
∵ a ＋ b ），
c － b ，
∴ · a ＋ b ）·（ c － b ） a · c b · c
a · b b2＝ .
又｜ ｜＝｜ ｜
∴ cos .
∴向 .
通性通法
求空间向量的夹角
　　求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式 cos θ
求解，当θ∈［0， ） a · b ＞0，θ∈（ ，π］ a · b ＜
0转化为解不等式（组）.
提醒　向量 与向量 的夹角为∠ BAC 而 与 的夹角为π－∠
BAC .
【跟踪训练】
如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F ， G ， H 分别为 AA1，
AB ， BB1， B1 C1的中点，则向
A. 45° B. 60°
C. 90° D. 120°
解析：　因为 E ， F ， G ， H 分别是所在棱的中点.所以由三角形中
位线定理可得，
∴
△ A1 BC1为等边三角形，
∴ 60°，故选B.
题型三 利用空间向量的数量积求距离
【例4】　已知正方形 ABCD ， ABEF 的边长均为1，且平面 ABCD ⊥平面 ABEF ，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若｜ CM ｜＝｜ BN ｜＝ a （0＜ a .
（1）求线段 MN 的长；
解：由已知得｜ ｜ ｜ ｜
∴ （1 ） （1 ）
∴ （1 ） （1 ）
（1 ） （1 ）· ＝
（1 ） （ ）
∴｜ ｜


0＜ a .
即 MN 的长度 0＜ a .
（2）当 a 为何值时，线段 MN 最短？
解：由（1）知当 a M ， N 分别是 AC ， BF 的中点时， MN 的长度最小，最小值 .
通性通法
1. 求两点间的距离或线段长度的方法
（1）将此线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜ a ｜ ，通过计算求出｜ a ｜，即得所求距离.
2. 本例中 M ， N 分别为 AC ， BF 上的动点，因此 CM ， BN 的长度是变
量，故 MN 的长度是一个关于 a 的函数， MN 长度的最小值的求解用
到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用.
【跟踪训练】
　平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱） ABCD - A1 B1 C1 D1过顶
点 A 的三条棱的夹角分别 2，则 AC1的
长等于（　　）
A. 3 B. 2
C. 2 D. 2
解析：　∵
∴｜ ｜

2
D.
1. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列各对向量夹角为45°的是
（　　）
A. B.
C. D.
解析：　A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，
135°，90°，180°，故选A.
2. 在空间四边形 ABCD 中 · · ·
A. －1 B. 0
C. 1 D. 不确定
解析：　如图， a b c ，
· · · ＝ a ·（ c － b ）＋
b ·（ a － c ）＋ c ·（ b － a ），＝ a · c － a · b ＋ b · a
－ b · c ＋ c · b － c · a ＝0.故选B.
3. 已知空间向量 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋ c ＝0，｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝
3，｜ c ｜＝4，则 a 与 b 的夹角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 以上都不对
解析：　设 a 与 b 的夹角为θ，由 a ＋ b ＋ c ＝0，得 a ＋ b ＝－ c ，
两边平方，得 a2＋2 a · b ＋ b2＝ c2，因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝3，｜
c ｜＝4，所以4＋2×2×3 cos θ＋9＝16，解得 cos θ D.
4. （多选）已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1，则下列向量的数量积可以
为0的是（　　）
A. · B. ·
C. · D. ·
解析：　如图所示，若 AA1＝ AD ，则 AD1⊥ B1 C ，A正确；若 AB ＝ AD ，则 BD1⊥ AC ，B正确；∵ AB ⊥平面 AA1 D1 D ，∴ AB ⊥ AD1，C正确；∵ BD1和 BC 分别为矩形 A1 D1 CB 的对角线和边，∴两者不可能垂直，D错.故选A、B、C.
5. 如图所示，平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD AA1
＝1，∠ DAB ＝60°，∠ DAA1＝∠ BAA1＝45°，则 AC1＝ .

解析：在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中 ｜ ｜2＝｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2
＋｜ ｜2＋2 · 2 · 2 · ｜ ｜2＋｜
｜2＋｜ ｜2＋2｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ DAB ＋2｜ ｜·｜
｜· cos ∠ A1 AB ＋2｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ A1 AD ＝2＋2＋1＋
2· · · 2 ·1· 2 ·1· 11，所以 AC1 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知四面体 ABCD 中， AB 、 AC 、 AD 两两互相垂直，则下列结论
中不成立的是（　　）
A. ｜ ｜＝｜ ｜
B. ｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2
C. · 0
D. · · ·
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解析：　∵ AB ， AC ， AD 两两垂直，则可得 AB ⊥ CD ， AC ⊥
BD 、 AD ⊥ BC ，从 · 0 · 0 · 0
· 0 · 0 · 0，∴A、B、D选项均正确，
故选C.
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2. 若空间四边形 OABC 的四个面均为等边三角形，则 cos
A. B.
解析：　依题意空间四边形 OABC 的四个面均为等边三角形，设
棱长均为 a . · ·
· · a2· cos a2· cos 0，所以 cos 0.故选D.
C. D. 0
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3. 已知空间向量 a ， b ， c 两两夹角均为60°，其模均为1，则｜ a ＋ b
－2 c ｜＝（　　）
A. B.
C. 2 D.
解析：　｜ a ＋ b －2 c ｜
.故选B.
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4. 已知四边形 ABCD 满 · 0 · 0 · 0
· 0，则该四边形为（　　）
A. 平行四边形 B. 梯形
C. 长方形 D. 空间四边形
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解析：　 · 0，可得 cos
0，根据两个向量的夹角的定义，可得四边形 ABCD 中，∠ ABC
∈（ π），同理可得四边形 ABCD 中，得到 A ∈（ π）， C
∈（ π）， D ∈（ π），则这个四边形 ABCD 只能为空间四
边形.故选D.
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5. （多选）如图所示，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为 a ，对角线
AC1和 BD1相交于点 O ，则有（　　）
A. · a2 B. · a2
C. · a2 D. · a2
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解析：　连接 A1 D （图略）， · · ｜
｜｜ ｜ cos a a × cos 60°＝ a2.A正
确. · · · ·
a2，故B错误. · · · · · ｜ ｜2 a2.C正确.
· · · · a2.D错误.
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6. 如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱， AB 是一条侧棱， Pi
（ i ＝1，2，…，10）是正方体其余的10个顶点， · i ＝
1，2，…，10）的不同值的个数为 个.
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解析：当 i ＝1，2，3，4，5时 · 0，
当 i ＝6，7，8，9，10时
∴ · · ·
∵ ∴ · 0，∴ · 1，
∴ · i ＝1，2，…，10）的不同值的个数为2个.
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7. 已知 a ， b 是空间两个向量，若｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝2，｜ a － b ｜
cos ＜ a ， b ＞＝ .
解析：将｜ a － b ｜ a － b ）2＝7.因为｜ a ｜＝
2，｜ b ｜＝2，所以 a · b .又 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜· cos ＜ a ， b
＞，故 cos ＜ a ， b ＞ .

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8. 已知正三棱柱 ABC - DEF 的侧棱长为2，底面边长为1， M 是 BC 的中
点，若直线 CF 上有一点 N ，使 MN ⊥ AE ， .
解析：如图， m m ·
0，∴ · ·（ m ）＝0，
1×1×（ ）＋4 m ＝
0，解得 m ∴ .
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9. 如图，在空间四边形 OABC 中，2 E 为 AD 的中点， a b c .
（1）试用向量 a ， b ， c 表示向
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解：∵2
∴ c － b ），
b c － b b c ，
∵点 E 为 AD 的中点，
a b c .
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（2）若 OA ＝ OC ＝3， OB ＝2，∠ AOC ＝∠ BOC ＝∠ AOB ＝
60°， · .
解：由题意得 a · c a · b ＝3，c · b ＝3，
c － a ，
· （ a b c ）·（ c － a ）
＝ a2 c2 a · c b · c b · a
＝ 9 9 3 3＝ .
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10. 已知 e1， e2是夹角为60°的两个单位向量，则 a ＝ e1＋ e2与 b ＝ e1－
2 e2的夹角是（　　）
A. 60° B. 120°
C. 30° D. 90°
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解析：　由题意得 a · b ＝（ e1＋ e2）·（ e1－2 e2 e1· e2－2
1－1×1 2＝ ｜ a ｜
｜ b ｜ .∴ cos ＜ a ， b ＞ .∴＜ a ， b ＞＝120°.故选B.
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11. （多选）设 a ， b ， c 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则
下列结论中正确的有（　　）
A. （ a · b ） c －（ c · a ） b ＝0
B. ｜ a ｜－｜ b ｜＜｜ a － b ｜
C. （ b · a ） c －（ c · a ） b 不与 c 垂直
D. （3 a ＋2 b ）·（3 a －2 b ）＝9｜ a ｜2－4｜ b ｜2
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解析：　根据空间向量数量积的定义及性质，可知 a · b 和 c · a
是实数，而 c 与 b 不共线，故（ a · b ） c 与（ c · a ） b 一定不相等，
故A错误；因为[（ b · a ） c －（ c · a ） b ]· c ＝（ b · a ） c2－
（ c · a ）（ b · c ），当 a ⊥ b ，且 a ⊥ c 或 b ⊥ c 时，[（ b · a ） c －
（ c · a ） b ]· c ＝0，即（ b · a ） c －（ c · a ） b 与 c 垂直，故C错
误；由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确，故选
B、D.
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12. 如图，正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，底面边长 .
（1）设侧棱长为1，求证： AB1⊥ BC1；
解：证明 .
∵ BB1⊥平面 ABC ，∴ · 0
· 0.
又△ ABC 为正三角形，
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∴ π－ π .
∵ · ·
· · · ｜ ｜｜
｜· cos
＝－1＋1＝0，∴ AB1⊥ BC1.
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（2）设 AB1与 BC1的夹角 .
解：由（1） · ｜ ｜｜ ｜ cos 1.
又｜ ｜＝ ｜ ｜，
∴ cos
∴｜ ｜＝2，即侧棱长为2.
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13. 已知非零向量 a ， b ， c ，若 p ｜
p ｜的取值范围为（　　）
A. [0，1] B. [1，2]
C. [0，3] D. [1，3]
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解析：　∵｜ p ｜2＝（ ）2＝3＋2
（ ）≤3＋2×3＝9，∴0≤｜ p ｜
≤3.当且仅当 a ， b ， c 共线同向时，｜ p ｜max＝3；当且仅当 a ，
b ， c 两两夹角为120°时，｜ p ｜min＝0，故选C.
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14. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ＝2 AC ＝2且∠ ACD ＝90°，将
△ ABC 沿 AC 折起，使 AB 与 CD 所成的角为60°.
（1） ·
解：由已知得，翻折后 AB 与 CD 所
成的角为60°，所 60°或
120°，所 · ｜ ｜｜ ｜ cos
60°＝2， · ｜ ｜｜
｜· cos 120°＝－2.
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（2）求点 B ， D 间的距离.
解：连接 BD （图略），由已知 · 0 · 0，则｜ ｜2＝ 2
2 · 2 · 2 · 22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2 cos ｜ ｜2＝13或5，解得｜ ｜ B ， D 间的距离 .
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