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向量概念的推广
我们已经知道，（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得｜a｜；
（2）平面向量a可以用含两个实数的有序实数对（x，y）表示，即a＝（x，y），（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜；
（3）空间向量a可用含三个实数的有序实数组（x，y，z）表示，即a＝（x，y，z），（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜.
【问题探究】
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维空间，a＝（a1，a2，…，an ）.
对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），
那么a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn），
λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R，
a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
｜a｜＝，
n维空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的距离｜AB｜＝
.
【迁移应用】
　设a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn）（n∈N且n≥2），规定向量a与b夹角θ的余弦为cos θ＝.当a＝（1，1，1，1，…，1），b＝（－1，－1，1，1，…，1）时，cos θ＝（　　）
A.　　 B.
C. D.
1.已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），则3a＋b＝（　　）
A.（－2，－3，－2） B.（2，3，2）
C.（－2，3，2） D.（4，3，2）
2.在空间直角坐标系中，点P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（　　）
A.（－1，3，－5） B.（1，3，5）
C.（1，－3，5） D.（－1，－3，5）
3.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为（　　）
A.3　　 B.
C.2　　 D.
4.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2）且（a＋2b）∥（2a－b），则x＝　　　　，y＝　　　　.
5.已知空间三点A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是　　　　.
拓视野　向量概念的推广
迁移应用
　D　因为a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn）， aibi＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝1×（－1）＋1×（－1）＋1×1＋…＋1×1＝n－4， ＝＋＋＋…＋＝12＋12＋12＋…＋12＝n， ＝＋＋＋…＋＝12＋12＋12＋…＋12＝n，所以cos θ＝＝，故选D.
随堂检测
1.B　3a＋b＝3（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（3，3，0）＋（－1，0，2）＝（2，3，2）.
2.B　P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标为（1，3，5）.
3.B　由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系（图略），则E（0，0，6），B（6，6，0），M（6，0，4），O（3，3，3），所以｜｜＝＝，即线段OM的长为，故选B.
4.　－4　解析：由题意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）.
∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a－b），
∴解得
5.120°　解析：由于＝（－2，－1，3），＝（－1，3，－2），
所以·＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）＝－7，｜｜＝，｜｜＝，
所以cos θ＝cos＜，＞＝＝－，则θ＝120°.
2 / 2(共41张PPT)
拓 视 野　向量概念的推广
我们已经知道，（1）直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e ，对于直
线 l 上的任意一个向量 a ，一定存在唯一的实数 x ，使得 a ＝ xe ，此时
称 x 为向量 a 在直线 l 上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该
坐标 x 即可表示 a 的方向，又可以求得｜ a ｜；
（2）平面向量 a 可以用含两个实数的有序实数对（ x ， y ）表示，即 a
＝（ x ， y ），（ x ， y ）称为平面向量 a 的坐标，此时的向量又
称为二维向量，用该坐标可以表示 a 的方向，也可求｜ a ｜；
（3）空间向量 a 可用含三个实数的有序实数组（ x ， y ， z ）表示，即
a ＝（ x ， y ， z ），（ x ， y ， z ）称为空间向量 a 的坐标，此时
的向量 a 称为三维向量，用该向量的坐标可以表示 a 的方向，也
可求｜ a ｜.
【问题探究】
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的
实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念
是否可以再进一步推广？
结论：用 n 元有序实数组（ a1， a2，…， an ）表示 n 维向量，它构成
了 n 维空间， a ＝（ a1， a2，…， an ）.
对于 n 维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设 a ＝（ a1， a2，…， an ）， b ＝（ b1， b2，…， bn ），
那么 a ± b ＝（ a1± b1， a2± b2，…， an ± bn ），
λ a ＝λ（ a1， a2，…， an ）＝（λ a1，λ a2，…，λ an ），λ∈R，
a · b ＝（ a1， a2，…， an ）·（ b1， b2，…， bn ）＝ a1 b1＋ a2 b2＋…＋
anbn ，｜ a ｜
n 维空间中 A （ a1， a2，…， an ）， B （ b1， b2，…， bn ）两点间的
距离｜ AB ｜ .
【迁移应用】
　设 a ＝（ a1， a2， a3， a4，…， an ）， b ＝（ b1， b2， b3， b4，…，
bn ）（ n ∈N且 n ≥2），规定向量 a 与 b 夹角θ的余弦为 cos θ .当 a ＝（1，1，1，1，…，
1）， b ＝（－1，－1，1，1，…，1）时， cos θ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　因为 a ＝（ a1， a2， a3， a4，…， an ）， b ＝（ b1， b2，
b3， b4，…， bn ） aibi ＝ a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3＋…＋ anbn ＝1×（－
1）＋1×（－1）＋1×1＋…＋1×1＝ n －4 12＋12＋12＋…＋12＝ n 12＋
12＋12＋…＋12＝ n ，所以 cos θ D.
1. 已知向量 a ＝（1，1，0）， b ＝（－1，0，2），则3 a ＋ b ＝
（　　）
A. （－2，－3，－2） B. （2，3，2）
C. （－2，3，2） D. （4，3，2）
解析：　3 a ＋ b ＝3（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（3，3，0）
＋（－1，0，2）＝（2，3，2）.
2. 在空间直角坐标系中，点 P （1，3，－5）关于平面 xOy 对称的点的
坐标是（　　）
A. （－1，3，－5） B. （1，3，5）
C. （1，－3，5） D. （－1，－3，5）
解析：　 P （1，3，－5）关于平面 xOy 对称的点的坐标为（1，
3，5）.
3. 如图，已知边长为6的正方形 ABCD 和正方形 ADEF 所在的平面互相
垂直， O 是 BE 的中点 OM 的长为（　　）
A. 3 B.
C. 2 D.
解析：　由题意可建立以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DE 所在直
线分别为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系（图略），则 E （0，
0，6）， B （6，6，0）， M （6，0，4）， O （3，3，3），所
以｜ ｜
OM 的长 B.
4. 已知 a ＝（1，2，－ y ）， b ＝（ x ，1，2）且（ a ＋2 b ）∥（2 a －
b ），则 x ＝ y ＝ .
解析：由题意知， a ＋2 b ＝（2 x ＋1，4，4－ y ），2 a － b ＝（2－
x ，3，－2 y －2）.
∵（ a ＋2 b ）∥（2 a － b ），∴存在实数λ，使 a ＋2 b ＝λ（2 a －
b ），∴
－4　
5. 已知空间三点 A （1，1，1）， B （－1，0，4）， C （2，－2，
3）， θ的大小是 .
解析：由 －2，－1，3） －1，3，－2），
所 · －2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）＝－
7，｜ ｜ ｜ ｜
所以 cos θ＝ cos θ＝120°.
120°　
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向 1，0，1） 2，1，－1），那么向
A. （3，1，0） B. （－1，－1，2）
C. （1，1，－2） D. （ 0）
解析：　∵向 1，0，1） 2，1，－1），∴向
1，1，－2）.故选C.
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2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A （3，4，5）在坐标平面 Oxy ， Oxz
内的射影分别为点 B ， C ，则｜ ｜＝（　　）
A. 5 B.
C. D. 5
解析：　在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A （3，4，5）在坐标平面
Oxy ， Oxz 内的射影分别为点 B ， C ，则 B （3，4，0）， C （3，
0，5），∴ 0，－4，5），∴｜ ｜
.故选C.
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3. 设 x ， y ∈R，向量 a ＝（ x ，1，0）， b ＝（2， y ，2）， c ＝（1，
－2，1），且 a ⊥ b ， b ∥ c ，则｜ a ＋ b ｜＝（　　）
A. B.
C. D. 2
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解析：　因为向量 a ＝（ x ，1，0）， b ＝（2， y ，2）， c ＝
（1，－2，1），且 a ⊥ b ， b ∥ c ，所以2 x ＋ y ＋2×0＝0 y ＝－4， x ＝2，所以向量 a ＝（2，1，0）， b ＝（2，－
4，2），所以 a ＋ b ＝（4，－3，2），所以｜ a ＋ b ｜ C.
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4. 已知 A （2，－5，1）， B （2，－2，4）， C （1，－4，1），
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　 θ.由题意 －1，1，0） 0，3，3），∴ cos θ ∴θ＝
60°，故选C.
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5. （多选）对于任意非零向量 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2，
z2），以下说法错误的有（　　）
A. 若 a ⊥ b ，则 x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2＝0
B. 若 a ∥ b ，
C. cos ＜ a ， b ＞
D. 若 x1＝ y1＝ z1＝1，则 a 为单位向量
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解析：　对于A选项，因为 a ⊥ b ，则 a · b ＝ x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2＝
0，A选项正确；对于B选项，若 x2＝0，且 y2≠0， z2≠0，若 a ∥
b ，但分 B选项错误；对于C选项，由空间向量数量
积的坐标运算可知 cos ＜ a ， b ＞ C选
项正确；对于D选项，若 x1＝ y1＝ z1＝1，则｜ a ｜ a 不是单位向量，D选项错误.
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6. 已知向量 a ＝（－1，1，2）， b ＝（2，－1，0），则 a 在 b 方向上
的投影的数量为 a 在 b 方向的投影向量的坐标
为 .
解析： a 在 b 方向上的投影的数量 a 在 b 方向上的投影向量 · · 2，－
1，0）＝（ 0）.
（ 0）　
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7. 已知 M1（2，5，－3）， M2（3，－2，－5），设在线段 M1 M2上的
一点 M 满 4 　 （ .
（
解析：设 M （ x ， y ， z ）， 1，－7，－2），
3－ x ，－2－ y ，－5－ z ）.
又∵ 4 ∴∴
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8. 在空间直角坐标系中，以 O （0，0，0）， A （2，0，0）， B （0，
2，0）， C （0，0，2）为三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积
为 .
解析：由题意作出图形如图， S△ AOC ＝ S△ BOC ＝ S△ AOB
2×2＝2，
S△ ABC ｜ ｜2 8＝2 S ＝6＋2 .
6＋2
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9. 已知空间三点 A （－2，0，1）， B （－1，1，1）， C （－3，0，
3），设 a b .
（1）若向量 a ＋ kb 与 ka －2 b 互相垂直，求 k 的值；
解：由已知得 a －1，1，1）－（－2，0，1）
＝（1，1，0），
b －3，0，3）－（－2，0，1）＝（－1，0，2）.
所以 a ＋ kb ＝（1，1，0）＋（－ k ，0，2 k ）＝（1－ k ，1，
2 k ），
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ka －2 b ＝（ k ， k ，0）－（－2，0，4）＝（ k ＋2， k ，－
4）.
因为 a ＋ kb 与 ka －2 b 互相垂直，所以（1－ k ，1，2 k ）·（ k
＋2， k ，－4）＝（1－ k ）（ k ＋2）＋ k －8 k ＝0，
即 k2＋8 k －2＝0，解得 k ＝－4＋3 k ＝－4－3 .
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（2）求向量 a 在向量 b 上的投影向量 c .
解：因为｜ a ｜ ｜ b ｜ a · b ＝－1，
所以 cos ＜ a ， b ＞ －
1，0，2）＝（ 0 ），
所以向量 a 在向量 b 上的投影向量 c ＝｜ a ｜ cos ＜ a ， b （ 0 ）.
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10. 如图，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，点 E 为 DD1的中点，
点 P 为△ BDE 内部一动点， P 点到平面 A1 B1 C1 D1的正射影为点
Q ，则 Q 到点 A 的距离的最小值为（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析：　由题可知， Q 点在线段 B1 D1上
运动，且 Q 不与 B1， D1重合，如图，以 D
为原点， DA ， DC ， DD1分别为 x ， y ， z
轴，建立空间直角坐标系，则易知 A （1，
0，0），又 B1 D1为 A1 B1 C1 D1的对角线，故
可设 Q （ a ， a ，1）（0＜ a ＜1），则 AQ
a AQmin .故选B.
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11. （多选）已知空间三点 A （－1，0，1）， B （－1，2，2）， C
（－3，0，4），则下列说法正确的是（　　）
A. · 3 B. ∥
C. ｜ ｜＝2 D. cos
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解析：　∵ A （－1，0，1）， B （－1，2，2）， C （－3，0，4），
∴ 0，2，1） －2，0，3） －2，－2，
2），
∵ · 0×（－2）＋2×0＋1×3＝3，故A正确；∵不存在实
数λ，使 λ B错误；∵｜ ｜
2 C正确；
∵ cos D错误.
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12. 在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 D1 D ， BD
的中点，点 G 在棱 CD 上，且 CG CD ， H 为 C1 G 的中点.
（1）求证： EF ⊥ B1 C ；
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解：如图所示，建立空间直角坐标系
Dxyz ， D 为坐标原点，则有 E （0，0
）， F （ 0）， C （0，1，0），
C1（0，1，1）， B1（1，1，1）， G （0
0）， H （0 ）.
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（1）证明：∵ （ 0）－（0，0 ）＝（ ） 0，1，0）－（1，1，1）＝（－1，0，－1），
∴ · －1 0＋（ ）×（－1）＝0，
∴ EF ⊥ B1 C .
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（2）求 EF 与 C1 G 所成角的余弦值；
解： ∵ （0 0）－（0，1，1）＝（0 －1），∴｜ ｜ .
· 0 （ ）＋（ ）×（－1 ｜ ｜
∴ cos .
即异面直线 EF 与 C1 G 所成角的余弦值 .
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（3）求 FH 的长.
解： ∵ F （ 0）， H （0 ），
∴ （ ），
∴ FH ＝｜ ｜ .
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13. 若 a ＝（ x ，2，2）， b ＝（2，－3，5）的夹角为钝角，则实数 x
的取值范围是 .
解析： a · b ＝2 x －2×3＋2×5＝2 x ＋4，设 a ， b 的夹角为θ，因为θ
为钝角，所以 cos θ 0，又｜ a ｜＞0，｜ b ｜＞0，所
以 a · b ＜0，即2 x ＋4＜0，所以 x ＜－2，又 a ， b 不会反向，所以
实数 x 的取值范围是（－∞，－2）.
（－∞，－2）　
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14. 已知空间三点 A （0，2，3）， B （－2，1，6）， C （1，－1，
5）.
（1） ∥ ｜ ｜＝2 P 的坐标；
解：∵ ∥ ∴可 λ .
3，－2，－1），∴ 3λ，－2λ，－λ）.
又｜ ｜＝2 ∴ 2
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∴λ＝±2，∴ 6，－4，－2） －6，4，2）.
设点 P 的坐标为（ x ， y ， z ）， x ， y －2， z －3），
∴
解得
故所求点 P 的坐标为（6，－2，1）或（－6，6，5）.
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（2）求 .
解：由题中条件可 －2，－1，3）
1，－3，2），
∴ cos
∴ sin
∴ S ＝｜ ｜｜
｜· sin 7 .
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