资源简介 1.1.2 空间向量基本定理1.满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是（ ）A.＋＝ B.－＝C.＝ D.｜｜＝｜｜2.已知{e1，e2，e3}是一个空间的基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc则x，y，z分别为（ ）A.，－1，－ B.，1，C.－，1，－ D.，1，－3.如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点D为AC的中点，3＝， 则＝（ ）A.a－b＋cB.a－b＋cC.a－b＋cD.a－b＋c4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则·＝（ ）A.0 B.C.－ D.－5.（多选）下列命题中是假命题的为（ ）A.若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面B.若p与a，b共面，则p＝xa＋ybC.若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面D.若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y6.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝ .7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝ .8.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝ .9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.（1）用向量a，b，c表示，；（2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.10.给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是（ ）A.1 B.2C.3 D.411.如图，点O为△ABC所在平面外一点，点M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为 .12.如图，四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.13.在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝ .向量，， （填“能”或“不能”）构成一组基底.14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，H在线段PD上且DH＝DP.（1）用向量，，表示向量 ；（2）求向量的模长.1.1.2 空间向量基本定理1.C 对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；｜｜＝｜｜，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.2.A d＝xa＋yb＋zc＝x（e1＋e2＋e3）＋y（e1＋e2－e3）＋z（e1－e2＋e3）＝（x＋y＋z）e1＋（x＋y－z）e2＋（x－y＋z）e3.∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A.3.B ＝＋＝－＋＝－＋×（＋）＝a－b＋c.故选B.4.D ·＝（＋）·（－）＝（·＋·－·－·）＝＝－.5.BD 由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题；故选B、D.6.0 解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量.又∵λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.7.－2 解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2.8.a－b＋c 解析：如图，连接C1M并延长，交A1B1于点D，∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝c＋＝c＋×（＋）＝c＋（－b＋－）＝c＋（－b＋a－b）＝a－b＋c.9.解：（1）如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝＋＝－（＋）＋（＋）＝（a－c）.（2）＝（＋）＝（－＋）＝（－c＋a－b－c）＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1.10.D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确.③中由，，共面且过相同点B，故A，B，M，N共面.下面证明①④正确.①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面与条件矛盾.∴d与a，b不共面.同理可证④也是正确的.11. 解析：＝－＝＋＋－＝－＋（＋）＝－＋＝，所以λ＝.12.解：如图，连接BO，则＝＝（＋）＝（c－b－a）＝－a－b＋c.＝＋＝－a＋＝－a＋（＋）＝－a－b＋c.＝＋＝＋＋（＋）＝－a＋c＋（－c＋b）＝－a＋b＋c.＝＝＝a.13.3a－b＋3c 不能 解析：＝（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＋＋＋＋＝（＋）＝3a－b＋3c.假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝（λ＋5μ）a－5μb＋（8μ－2λ）c＝3a－b＋3c.∴解得∴，，共面，∴不能构成一组基底.14.解：（1）＝＋＝＋＋＝－＋（－）＋（－）＝－＋－＋－＝＋－.（2）｜｜2＝＝（＋）2－（＋）·＋｜｜2＝（｜｜2＋｜｜2）－·＋｜｜2＝（4＋16）－·2·2·＋4＝，∴｜｜＝.2 / 21.1.2 空间向量基本定理新课程标准解读 核心素养1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题 数学抽象2.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个一维基底（非零向量）可以生成直线上的所有向量；给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.【问题】 （1）零向量能不能作为一个基向量？（2）当基底确定后，空间向量基本定理中有序实数组（x，y，z）是否唯一？ 知识点一 共面向量定理1.共线向量基本定理空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得 .2.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对（x，y），使c＝ .提醒 （1）向量c与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立；（2）三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关.知识点二 空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向量p，存在 的有序实数组（x，y，z），使得p＝ .其中{a，b，c}叫作空间的一个 ，a，b，c都叫作 .若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的 .【想一想】1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？1.若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（ ）A.m，n，p共线 B.m与p共线C.n与p共线 D.m，n，p共面2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2aC.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c3.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝ .（用a，b，c表示）题型一 空间向量共线问题【例1】 （链接教科书第16页练习A组2题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线.尝试解答通性通法1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.2.证明空间三点P，A，B共线的方法（1）＝λ（λ∈R）；（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）.【跟踪训练】如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m，k≠0，m≠0.求证：（1）∥；（2）＝k.题型二 空间向量共面问题【例2】 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量.尝试解答通性通法1.解决向量共面的策略（1）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.2.证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论（1）＝x＋y；（2）对空间任一点O，＝＋x＋y；（3）对空间任一点O，＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）；（4）∥（或∥或∥）.【跟踪训练】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.题型三 基底的判断及应用角度1 基底的判断【例3】 （链接教科书第15页例2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？尝试解答通性通法基底判断的基本思路及方法（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.【跟踪训练】 已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝2a－b，q＝2b－a，r＝a＋b，s＝a＋b＋c，则下列可以为空间一个基底的是（ ）A.a，p，q B.b，p，qC.r，p，q D.s，p，q角度2 空间向量基本定理的应用【例4】 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.尝试解答【母题探究】1.（变条件）若把本例中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？2.（变条件、变设问）如图所示，本例中增加条件“P在线段AA'上，且AP＝2PA'”，试用基底{a，b，c}表示向量.通性通法用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；（3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.1.已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）A.a＋b，b，c B.a，a－b，cC.a－c，b－c，a－b D.a，b，a＋b＋c2.已知空间向量a，b，c不共面，且2a＋b－c＝（z－1）a＋xb＋2yc，则x，y，z的值分别是（ ）A.2，1，2 B.2，1，－2C.1，－，3 D.1，，33.（多选）在四面体ABCD中，E是棱BC的中点，且＝x＋y＋z，则下列结论中不正确的是（ ）A.x＋y＋z＝1 B.xyz＝C.x＝y＋z D.x2＝y2＋z24.从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝ .（用a，b，c表示）5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝ .1.1.2 空间向量基本定理【基础知识·重落实】知识点一1.b＝λa 2.xa＋yb知识点二 不共面 唯一 xa＋yb＋zc 基底 基向量 分解式想一想1.提示：不可以.2.提示：对.自我诊断1.D 由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面.2.C ∵a＋2b＝3a－2（a－b），∴3a，a－b，a＋2b共面；∵b＋2a＝2b－（b－2a），∴2b，b－2a，b＋2a共面；∵a＋c＝（a－c）＋2c，∴c，a－c，a＋c共面.故选C.3.－a＋b－c 解析：＝－＝（＋）－（＋）＝－＋－＝－a＋b－c.【典型例题·精研析】【例1】 证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.∵＝，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋.∵＝2，＝＋＝－＝－2，∴＝（－2）＋＝＋.∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线.跟踪训练 证明：（1）＝＋m＝－＋m（－）＝k（－）＋km（－）＝k＋km＝k（＋m）＝k，∴∥.（2）＝＋＝k＋k＝k（＋）＝k.【例2】 证明：设＝a，＝b，＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴＝c－a.∵O是B1D1的中点，∴＝（a＋b），∴＝－（a＋b），＝－＝b－（a＋b）＝（b－a）.∵＝，∴＝c，∴＝＋＝（b－a）＋c.若存在实数x，y，使＝x＋y（x，y∈R）成立，则c－a＝x＋y＝－（x＋y）a＋（x－y）b＋xc.∵a，b，c不共线，∴解得∴＝＋，∴，，是共面向量.跟踪训练证明：如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，＝＝，于是得＝＋＝＋，即，，共面，它们有公共点E，所以E，F，G，H四点共面.【例3】 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立.∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3.∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，即不存在实数x，y，使＝x＋y成立.∴，，不共面.故{，，}能作为空间的一个基底.跟踪训练 D 由于a＝p＋q，可知a，p，q共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；由于b＝p＋q，可知b，p，q共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于r＝p＋q，可知r，p，q共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设s，p，q不是空间的一组基底，即向量s，p，q共面，则存在实数x，y使得s＝xp＋yq，即a＋b＋c＝（2x－y）a＋（2y－x）b，所以c＝（2x－y－1）a＋（2y－x－1）b，因为{a，b，c}是空间的一组基底，所以x，y的值不存在，即向量s，p，q不共面，所以s，p，q是空间的一组基底，所以选项D正确；故选D.【例4】 解：＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋＋（－）＝b＋a＋（c－b）＝b＋a＋c－b＝a＋b＋c.＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋（－）＝a＋b＋（c－b）＝a＋b＋c.母题探究1.解：＝＋＝＋＝＋（－）＝b＋（a－b）＝a＋b.＝＋＝＋＝－＝－（－）＝a－（c－b）＝a＋b－c.2.解：＝＋＋＝－－＝（＋）－－＝[＋（－）]－－＝（a＋c－b）－c－a＝a－b－c.随堂检测1.C 由图形结合分析a－c，b－c，a－b三个向量共面，不构成基底，故选C.2.C 由题设知解得故选C.3.ABD ∵＝＋＝＋（＋），∴x＝1，y＝z＝，则x＝y＋z，故A、B、D错误，C正确.故选A、B、D.4.－a＋b＋c 解析：如图，＝－＝（b＋c）－a.5. 解析：如图所示，可得＝＋＝＋（＋）＝＋＋，又因为＝＋m－n，所以m＝，n＝－.1 / 5(共67张PPT)1.1.2 空间向量基本定理新课程标准解读 核心素养1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题 数学抽象2.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 “道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个一维基底（非零向量）可以生成直线上的所有向量；给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.【问题】 （1）零向量能不能作为一个基向量？（2）当基底确定后，空间向量基本定理中有序实数组（ x ， y ， z ）是否唯一？ 知识点一 共面向量定理1. 共线向量基本定理空间中，若 a ≠0且 b ∥ a ，则存在唯一的实数λ，使得 .b ＝λ a 2. 共面向量定理如果两个向量 a ， b 不共线，则向量 a ， b ， c 共面的充要条件是，存在唯一的实数对（ x ， y ），使 c ＝ .xa ＋ yb 提醒 （1）向量 c 与 a ， b 共面的充要条件是在向量 a 与 b 不共线的前提下才成立的，若 a 与 b 共线，则不成立；（2）三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关.知识点二 空间向量基本定理如果空间中的三个向量 a ， b ， c ，那么对空间中的任意一个向量 p ，存在 的有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝ .其中{ a ， b ， c }叫作空间的一个 ， a ， b ， c 都叫作 .若 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，则称 xa ＋ yb ＋ zc 为 p 在基底{ a ， b ， c }下的 .不共面 唯一 xa＋ yb ＋ zc 基底 基向量 分解式 【想一想】1. 构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？提示：不可以.2. 在四棱锥 O - ABCD 中 x y z提示：对.1. 若 a 与 b 不共线，且 m ＝ a ＋ b ， n ＝ a － b ， p ＝ a ，则（ ）A. m ， n ， p 共线 B. m 与 p 共线C. n 与 p 共线 D. m ， n ， p 共面解析： 由于（ a ＋ b ）＋（ a － b ）＝2 a ，即 m ＋ n ＝2 p ，即 pm n ，又知 m 与 n 不共线，所以 m ， n ， p 共面.2. 已知 a ， b ， c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）A. 3 a ， a － b ， a ＋2 b B. 2 b ， b －2 a ， b ＋2 aC. a ，2 b ， b － c D. c ， a ＋ c ， a － c解析： ∵ a ＋2 b ＝3 a －2（ a － b ），∴3 a ， a － b ， a ＋2 b 共面；∵ b ＋2 a ＝2 b －（ b －2 a ），∴2 b ， b －2 a ， b ＋2 a 共面；∵ a ＋ c ＝（ a － c ）＋2 c ，∴ c ， a － c ， a ＋ c 共面.故选C.3. 如图在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 和 BD 的交点， a b c ， a b － c .（用 a ，b ， c 表示）a b － c 解析： － ＝ a b － c .典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 空间向量共线问题【例1】 （链接教科书第16页练习A组2题）如图，正方体 ABCD - A1B1 C1 D1中， O 为 A1 C 上一点， BD 与 AC 交于点 M . 求证： C1， O ， M 三点共线.证明：如图，连接 AO ， AC1， A1 C1.∵∴ .∵ 22∴ 2 .∵ 1，∴ C1， O ， M 三点共线.通性通法1. 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.2. 证明空间三点 P ， A ， B 共线的方法（1） λ （λ∈R）；（2）对空间任一点 O ， t （ t ∈R）；（3）对空间任一点 O ， x y （ x ＋ y ＝1）.【跟踪训练】如图，已知 O ， A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H 为空间的9个点， k k k m m k ≠0， m ≠0.求证：（1 ∥证明： m m ＝ k＋ km ＝ k km k m＝ k ∴ ∥ .（2 k .证明： k k k ＝ k .题型二 空间向量共面问题【例2】 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体 ABCD -A1 B1 C1 D1中， O 是 B1 D1的中点，求证 .证明： a b c ，∵四边形 B1 BCC1为平行四边形，∴ c － a .∵ O 是 B1 D1的中点，∴ a ＋ b ），∴ a ＋ b ），b a ＋ b b － a ）.∵ ∴ c ，∴ b － a ）＋ c .若存在实数 x ， y ， x y x ， y ∈R）成立，则 c － a＝ x ［ b － a ）＋ c ］＋ y ［ a ＋ b ）］＝ x ＋ y ） a x － y ） b ＋ xc .∵ a ， b ， c 不共线，∴∴∴ .通性通法1. 解决向量共面的策略（1）若已知点 P 在平面 ABC 内，则有 x y 或 xy z （ x ＋ y ＋ z ＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.2. 证明空间四点 P ， M ， A ， B 共面的等价结论（1） x y ；（2）对空间任一点 O ， x y ；（3）对空间任一点 O ， x y z （ x ＋ y ＋ z ＝1）；（4） ∥ （或 ∥ 或 ∥ ）.【跟踪训练】 已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ，DA 的中点，用向量法证明： E ， F ， G ， H 四点共面.证明：如图， E ， F ， G ， H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点E ，所以 E ， F ， G ， H 四点共面.题型三 基底的判断及应用角度1 基底的判断【例3】 （链接教科书第15页例2）已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底， e1＋2 e2－ e3 3 e1＋ e2＋2 e3 e1＋ e2－e3，试判断解：假 x ，y ， x y .∴ e1＋2 e2－ e3＝ x （－3 e1＋ e2＋2 e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）＝（－3 x ＋y ） e1＋（ x ＋ y ） e2＋（2 x － y ） e3.∵{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，∴ e1， e2， e3不共面，∴即不存在实数 x ， y ， x y .∴ .故 .通性通法基底判断的基本思路及方法（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设 a ＝λ b ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.【跟踪训练】已知{ a ， b ， c }是空间的一个基底，若 p ＝2 a － b ， q ＝2 b － a ， r＝ a ＋ b ， s ＝ a ＋ b ＋ c ，则下列可以为空间一个基底的是（ ）A. a ， p ， q B. b ， p ， qC. r ， p ， q D. s ， p ， q解析： 由于 a p q ，可知 a ， p ， q 共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；由于 b p q ，可知 b ， p ， q 共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于 r ＝ p ＋ q ，可知 r ， p ， q 共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设 s ， p ， q 不是空间的一组基底，即向量 s ， p ， q 共面，则存在实数 x ， y 使得 s ＝ xp ＋ yq ，即 a＋ b ＋ c ＝（2 x － y ） a ＋（2 y － x ） b ，所以 c ＝（2 x － y －1） a ＋（2 y － x －1） b ，因为{ a ， b ， c }是空间的一组基底，所以 x ， y 的值不存在，即向量 s ， p ， q 不共面，所以 s ， p ， q 是空间的一组基底，所以选项D正确；故选D.角度2 空间向量基本定理的应用【例4】 如图，在三棱柱 ABC - A ' B ' C '中，已 a bc ，点 M ， N 分别是 BC '， B ' C '的中点，试用基底{ a ， b ， c }表示向 .解： ＝ b a c － b ）＝ b a c ba b c . ＝ a ＋ b ＝ a ＋ b c － b ）＝ a b c .【母题探究】1. （变条件）若把本例中 a 改 a ，其他条件不变，则结果又是什么？解：＝ b a － b ）a b . ＝ a c － b ）＝ a b c .2. （变条件、变设问）如图所示，本例中增加条件“ P 在线段 AA '上，且 AP ＝2 PA '”，试用基底{ a ， b ， c }表示向 .解： a ＋ c － b ）－ c a a b c .通性通法用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；（3）下结论：利用空间向量的一个基底{ a ， b ， c }可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a ， b ， c ，不能含有其他形式的向量.1. 已知{ a ， b ， c }能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）A. a ＋ b ， b ， c B. a ， a － b ， cC. a － c ， b － c ， a － b D. a ， b ， a ＋ b ＋ c解析： 由图形结合分析 a － c ， b － c ， a － b 三个向量共面，不构成基底，故选C.2. 已知空间向量 a ， b ， c 不共面，且2 a ＋ b － c ＝（ z －1） a ＋ xb ＋2 yc ，则 x ， y ， z 的值分别是（ ）A. 2，1，2 B. 2，1，－2C. 1， 3 D. 1 3解析： 由题设知C.3. （多选）在四面体 ABCD 中， E 是棱 BC 的中点， x yzA. x ＋ y ＋ z ＝1 B. xyzC. x ＝ y ＋ z D. x2＝ y2＋ z2解析： ∵ ∴ x ＝1， y＝ z x ＝ y ＋ z ，故A、B、D错误，C正确.故选A、B、D.4. 从空间一点 P 引出三条射线 PA ， PB ， PC ，在 PA ， PB ， PC 上分别 a b c ，点 G 在 PQ 上，且 PG ＝2 GQ ， H为 RS 的中点， .（用 a ， b ， c 表示）a b c解析：如图 b ＋ c a .5. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，若点 F 是侧面 CD1的中心， m n m ＝ .解析：如图所示，可 m n m n ＝ .知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 满足下列条件，能说明空间不重合的 A ， B ， C 三点共线的是（ ）A. B.C. D. ｜ ｜＝｜ ｜1234567891011121314解析： 对于空间中的任意向量，都 A错误； B ， C 两点重合，选项B错误A ， B ， C 三点共线，选项C正确；｜ ｜＝｜ ｜，则线段 AB 的长度与线段 BC 的长度相等，不一定有 A ， B ， C 三点共线，选项D错误.12345678910111213142. 已知{ e1， e2， e3}是一个空间的基底，向量 a ＝ e1＋ e2＋ e3， b ＝ e1＋ e2－ e3， c ＝ e1－ e2＋ e3， d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，若 d ＝ xa ＋ yb ＋ zc则 x ， y ， z 分别为（ ）A. 1， B. 1C. 1， D. 1，1234567891011121314解析： d ＝ xa ＋ yb ＋ zc ＝ x （ e1＋ e2＋ e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）＋ z （ e1－ e2＋ e3）＝（ x ＋ y ＋ z ） e1＋（ x ＋ y － z ） e2＋（ x － y＋ z ） e3.∵ d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，∴A.12345678910111213143. 如图，在四面体 OABC 中 a b c ，点 D 为 AC的中点，3A. a － b c B. a － b cC. a － b c D. a － b c解析： a － b c .故选B.12345678910111213144. 在棱长为1的正四面体 ABCD 中， E 是 BC 的中点， ·A. 0 B.C. D.解析： · · ·· · · （ 1）＝ .12345678910111213145. （多选）下列命题中是假命题的为（ ）A. 若向量 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面B. 若 p 与 a ， b 共面，则 p ＝ xa ＋ ybC. x y P ， M ， A ， B 四点共面D. 若 P ， M ， A ， B 四点共面， x y1234567891011121314解析： 由平面向量基本定理得 p 与 a ， b 共面，A是真命题；若 a ， b 共线， p 不一定能用 a ， b 表示出来，B是假命题；x y P ，M ， A ， B 四点共面，C是真命题；若 M ， A ， B 共线，点 P 不在此直线上， x y D是假命题；故选B、D.12345678910111213146. 已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，若λ e1＋μ e2＋ ve3＝0，则λ2＋μ2＋ v2＝ .解析：∵{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，∴ e1， e2， e3为不共面向量.又∵λ e1＋μ e2＋ ve3＝0，∴λ＝μ＝ v ＝0，∴λ2＋μ2＋ v2＝0.0 12345678910111213147. 在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， O 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. x y z x ＋ y － z ＝ .解析：如图，由题意可＝ x y zx ＝ y ＝ z ＝1，故 x ＋ y － z ＝－2.－2 12345678910111213148. 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为△ A1 B1 C1的重心， a b c ， a b ＋ c .a b ＋ c 解析：如图，连接 C1 M 并延长，交 A1 B1于点 D ，∵在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为△ A1 B1 C1的重心 a b c ，∴ c c ＝c － b ＝ c － b ＋ a － ba b ＋ c .12345678910111213149. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， a bc ， E ， F 分别是 AD1， BD 的中点.（1）用向量 a ， b ， c 表解：如图 a － b － c ，a － c ）.1234567891011121314（2） xa ＋ yb ＋ zc ，求实数 x ， y ， z 的值.解：－ c ＋ a － b － c a b － c ，∴ x y ＝ z ＝－1.123456789101112131410. 给出下列命题：①若{ a ， b ， c }可以作为空间的一个基底， d 与 c 共线， d ≠0，则{ a ， b ， d }也可作为空间的基底；②已知向量 a ∥ b ，则 a ， b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③ A ， B ， M ， N 是空间四点， A ， B ，M ， N 共面；④已知向量组{ a ， b ， c }是空间的一个基底，若 m＝ a ＋ c ，则{ a ， b ， m }也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 41234567891011121314解析： 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确.③中 B ，故 A ， B ， M ， N共面.下面证明①④正确.1234567891011121314①假设 d 与 a ， b 共面，则存在实数λ，μ，使 d ＝λ a ＋μ b ，∵ d 与 c 共线， c ≠0，∴存在实数 k ，使 d ＝ kc ，∵ d ≠0，∴ k ≠0，从而 c a b ，∴ c 与 a ， b 共面与条件矛盾.∴ d 与 a ， b 不共面.同理可证④也是正确的.123456789101112131411. 如图，点 O 为△ ABC 所在平面外一点，点 M 为 BC 的中点，λ λ的值为 . 解析： ＝ λ .123456789101112131412. 如图，四棱锥 P - OABC 的底面为一矩形， PO ⊥平面 OABC ， a b c ， E ， F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用a ， b ， c 表 .1234567891011121314解：如图，连接 BO ， c － b － a ）＝ a b c .a a＝－ a b c .＝－ a＋ c － c ＋ b ）＝－ a b c .a .123456789101112131413. 在空间四边形 ABCD 中 a －2 c 5 a －5 b ＋8 c ，对角线 AC ， BD 的中点分别是 E ， F ， .向量，， （填“能”或“不能”）构成一组基底.3 a b ＋3 c 1234567891011121314解析：＝3 a b ＋3 c .假 λ μ λ a －2λ c ＋5μ a －5μ b ＋8μ c ＝（λ＋5μ） a －5μ b ＋（8μ－2λ） c＝3 a b ＋3 c .∴∴ ∴不能构成一组基底.123456789101112131414. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥平面 ABCD ， AB ＝2， PA ＝4，∠ ABC ＝60°， E 是 BC 的中点， H 在线段 PD 上且 DH DP .（1）用向 ；解： ＝ .1234567891011121314（2）求向 .解： ｜ ｜2 2 · ｜ ｜2 ｜ ｜2＋｜ ｜2 · ｜ ｜2 4＋16 ·2·2·（ ）＋4∴｜ ｜ .1234567891011121314谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.1.2 空间向量基本定理.docx 1.1.2 空间向量基本定理.pptx 1.1.2 空间向量基本定理（练习，含解析）.docx
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