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1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
1.已知向量＝（1，0，1），＝（2，1，－1），那么向量＝（　　）
A.（3，1，0）　　　　　 B.（－1，－1，2）
C.（1，1，－2） D.
2.在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则｜｜＝（　　）
A.5 B.
C. D.5
3.设x，y∈R，向量a＝（x，1，0），b＝（2，y，2），c＝（1，－2，1），且a⊥b，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　）
A. B.
C. D.2
4.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.（多选）对于任意非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），以下说法错误的有（　　）
A.若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
B.若a∥b，则＝＝
C.cos＜a，b＞＝
D.若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量
6.已知向量a＝（－1，1，2），b＝（2，－1，0），则a在b方向上的投影的数量为　　　　，a在b方向的投影向量的坐标为　　　　.
7.已知M1（2，5，－3），M2（3，－2，－5），设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为　　　　.
8.在空间直角坐标系中，以O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2）为三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为　　　　.
9.已知空间三点A（－2，0，1），B（－1，1，1），C（－3，0，3），设a＝，b＝.
（1）若向量a＋kb与ka－2b互相垂直，求k的值；
（2）求向量a在向量b上的投影向量c.
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为DD1的中点，点P为△BDE内部一动点，P点到平面A1B1C1D1的正射影为点Q，则Q到点A的距离的最小值为（　　）
A.　　　 B.
C.　　　 D.1
11.（多选）已知空间三点A（－1，0，1），B（－1，2，2），C（－3，0，4），则下列说法正确的是（　　）
A.·＝3
B.∥
C.｜｜＝2
D.cos＜，＞＝
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值；
（3）求FH的长.
13.若a＝（x，2，2），b＝（2，－3，5）的夹角为钝角，则实数x的取值范围是　　　　.
14.已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）.
（1）若∥，且｜｜＝2，求点P的坐标；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.
1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
1.C　∵向量＝（1，0，1），＝（2，1，－1），∴向量＝－＝（1，1，－2）.故选C.
2.C　在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则B（3，4，0），C（3，0，5），∴＝（0，－4，5），∴｜｜＝＝.故选C.
3.C　因为向量a＝（x，1，0），b＝（2，y，2），c＝（1，－2，1），且a⊥b，b∥c，所以2x＋y＋2×0＝0，＝，解得y＝－4，x＝2，所以向量a＝（2，1，0），b＝（2，－4，2），所以a＋b＝（4，－3，2），所以｜a＋b｜＝＝，故选C.
4.C　设与的夹角为θ.由题意得＝（－1，1，0），＝（0，3，3），∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°，故选C.
5.BD　对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确；对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos＜a，b＞＝，C选项正确；对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则｜a｜＝＝，此时，a不是单位向量，D选项错误.
6.－　　解析：a在b方向上的投影的数量为＝＝＝－，a在b方向上的投影向量为－·＝－·（2，－1，0）＝.
7.　解析：设M（x，y，z），
则＝（1，－7，－2），
＝（3－x，－2－y，－5－z）.
又∵＝4，
∴∴
8.6＋2　解析：由题意作出图形如图，S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2＝2，
S△ABC＝×｜｜2＝×8＝2，故三棱锥的表面积S＝6＋2.
9.解：（1）由已知得a＝＝（－1，1，1）－（－2，0，1）＝（1，1，0），
b＝＝（－3，0，3）－（－2，0，1）＝（－1，0，2）.
所以a＋kb＝（1，1，0）＋（－k，0，2k）＝（1－k，1，2k），
ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－4）.
因为a＋kb与ka－2b互相垂直，所以（1－k，1，2k）·（k＋2，k，－4）＝（1－k）（k＋2）＋k－8k＝0，
即k2＋8k－2＝0，
解得k＝－4＋3或k＝－4－3.
（2）因为｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝－1，
所以cos＜a，b＞＝＝－，＝（－1，0，2）＝，
所以向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜cos＜a，b＞＝.
10.B　由题可知，Q点在线段B1D1上运动，且Q不与B1，D1重合，如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则易知A（1，0，0），又B1D1为A1B1C1D1的对角线，故可设Q（a，a，1）（0＜a＜1），则AQ＝＝＝，所以当a＝时，AQmin＝＝.故选B.
11.AC　∵A（－1，0，1），B（－1，2，2），C（－3，0，4），
∴＝（0，2，1），＝（－2，0，3），＝（－2，－2，2），
∵·＝0×（－2）＋2×0＋1×3＝3，故A正确；∵不存在实数λ，使得＝λ，故，不共线，故B错误；∵｜｜＝＝2，故C正确；∵cos＜，＞＝＝＝，故D错误.
12.解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C（0，1，0），C1（0，1，1），B1（1，1，1），G，H.
（1）证明：∵＝－＝，＝（0，1，0）－（1，1，1）＝（－1，0，－1），
∴·＝×（－1）＋×0＋×（－1）＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
（2）∵＝－（0，1，1）＝，∴｜｜＝.
又·＝×0＋×＋×（－1）＝，｜｜＝，
∴cos＜，＞＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
（3）∵F，H，
∴＝，
∴FH＝｜｜＝＝.
13.（－∞，－2）　解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0，又｜a｜＞0，｜b｜＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是（－∞，－2）.
14.解：（1）∵∥，∴可设＝λ.
又＝（3，－2，－1），∴＝（3λ，－2λ，－λ）.
又｜｜＝2，∴＝2，
∴λ＝±2，∴＝（6，－4，－2）或＝（－6，4，2）.
设点P的坐标为（x，y，z），则＝（x，y－2，z－3），
∴或解得或
故所求点P的坐标为（6，－2，1）或（－6，6，5）.
（2）由题中条件可知＝（－2，－1，3），＝（1，－3，2），
∴cos＜，＞＝＝＝＝，
∴sin＜，＞＝，
∴以，为邻边的平行四边形的面积S＝｜｜｜｜·sin＜，＞＝××＝7.
2 / 21.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的正交分解及坐标表示 直观想象
2.掌握空间向量线性运算的坐标表示 数学运算
3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直 数学运算、直观想象
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.
【问题】　（1）设m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？
（2）空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则｜｜如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间向量的坐标及运算
1.空间向量的坐标
（1）单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两　　　；
（2）单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解；
（3）向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组　　　　　为向量p的坐标，记作p＝　　　　　.其中x，y，z都称为p的坐标分量.
2.空间向量的运算与坐标的关系
设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则
（1）a＋b＝　　　　　　　；
（2）μa＋vb＝　　　　　　　　；
（3）a·b＝　　　　　　　；
（4）｜a｜＝＝；
（5）cos＜a，b＞＝＝
.
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则
（1）a∥b a＝λb 　　　　　，　　　　　，　　　　　（λ∈R）；
（2）a⊥b 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　.
提醒　空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广（只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算相比，空间向量的坐标运算适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题.
知识点二　空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz；
（2）相关概念：　　　叫作坐标原点，　　　　叫作坐标轴.通过　　　　　　的平面叫作坐标平面，分别称为　　　　平面、　　　平面、　　　平面.
2.空间向量坐标的应用
若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）.
（1）AB＝｜｜＝　　　　　　　　；
（2）若M为线段AB的中点，M的坐标为　　　　　　　　.
【想一想】
　坐标平面与坐标轴上的点的坐标有什么特征？
1.已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（　　）
A.（2，－4，2）　　　　B.（－2，4，－2）
C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3）
2.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x的值为（　　）
A.－2 B.2
C.3 D.－3
3.设A（3，2，1），B（1，0，5），C（0，2，1），AB的中点为M，则｜｜＝　　　　.
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】　（1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋3b）·（a－b）＝　　　　；
（2）若2a－b＝（2，－4，3），a＋2b＝（1，3，－1），则cos＜a，b＞＝　　　　.
尝试解答
通性通法
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【跟踪训练】
1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（　　）
A.（－7，10，24）　　　B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
2.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝　　　　，（a－b）·（2a－3b）＝　　　　.
题型二 空间中点的坐标确定及应用
【例2】　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.并求GH的长度.
尝试解答
通性通法
1.建立空间直角坐标系时应遵循的原则
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
（2）充分利用几何图形的对称性.
2.求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标.
3.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
【跟踪训练】
如图，建立空间直角坐标系Oxyz.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，顶点A位于坐标原点.
（1）若E是棱B'C'的中点，F是棱B'B的中点，G是侧面CDD'C'的中心，则分别求出向量，，的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出·，｜｜的值.
题型三 空间向量的平行与垂直
【例3】　已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝.
（1）若｜c｜＝3，c∥.求c；
（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例（1）中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.
通性通法
判断空间向量垂直或平行的步骤
（1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；
（3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行.
由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可.
【跟踪训练】
1.已知向量a＝（－2，3，－1），b＝（4，m，n），且a＝tb，其中m，n∈R，则m＋n＝（　　）
A.4　　 B.－4
C.2 D.－2
2.已知空间向量a＝（－1，2，－4），b＝（x，－1，3），若a⊥（a＋b），则x＝　　　　.
题型四 利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离
【例4】　（链接教科书第20页例3、第25页例7）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.求：
（1）BN的长；
（2）cos＜，＞的值.
尝试解答
通性通法
1.利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤
（1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
（2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
（3）利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角.
2.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求出线段端点的坐标；
（3）利用两点间的距离公式求出线段的长.
【跟踪训练】
1.若向量a＝（1，λ，0），b＝（2，－1，2），若a与b夹角的余弦值为，则实数λ＝（　　）
A.0 B.－
C.0或－ D.0或
2.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为（　　）
A.2 B.
C.2 D.1
1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）垂直　（3）（x，y，z）　（x，y，z）　2.（1）（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　（2）（μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2）
（3）x1x2＋y1y2＋z1z2　3.（1）x1＝λx2　y1＝λy2　z1＝λz2
（2）a·b＝0　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
知识点二
1.（2）点O　x轴，y轴，z轴　每两个坐标轴　xOy　yOz　zOx　2.（1）
（2）
想一想
　提示：（1）xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集；yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集；xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集.其中x，y，z为任意的实数；
（2）x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集；y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集.其中x，y，z∈R.
自我诊断
1.B
2.A　∵b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
3.3　解析：由题意，得AB的中点M（2，1，3），所以｜｜＝＝3.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）－4　（2）－　解析：（1）易得2a＋3b＝（4，4，5），a－b＝（－3，2，0），则（2a＋3b）·（a－b）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4.
（2）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），由题设可得解得同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝（1，－1，1），b＝（0，2，－1），则a·b＝0－2－1＝－3，｜a｜＝，｜b｜＝，所以cos＜a，b＞＝＝－.
跟踪训练
1.D　∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2.－2　5　解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5.
【例2】　解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，
故其坐标为.
过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几何知FM＝，FN＝，
则F点坐标为.
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为.
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝.
∴DK＝，故H点坐标为.
｜GH｜＝＝.
跟踪训练
　解：（1）因为E是棱B'C'的中点，F是棱B'B的中点，G是侧面CDD'C'的中心，
所以O（0，0，0），E，F，G.
所以＝，＝，＝，＝－＝.
（2）由（1）可得（＋）·＝·＝×＋×1＋×0＝.
＝，
所以｜｜＝＝.
【例3】　解：（1）因为＝（－2，－1，2），且c∥，
所以设c＝λ＝（－2λ，－λ，2λ），
得｜c｜＝＝3｜λ｜＝3，
解得λ＝±1.即c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.
（2）因为a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2），
所以ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4）.
又因为（ka＋b）⊥（ka－2b），
所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0.
即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
故所求k的值为2或－.
母题探究
　解：a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2）.
设c＝（x，y，z）.
由题意得
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝（2，－2，1）或c＝（－2，2，－1）.
跟踪训练
1.B　因为向量a＝（－2，3，－1），b＝（4，m，n），且a＝tb，可得a∥b，所以＝＝可得所以m＋n＝－6＋2＝－4，故选B.
2.7　解析：根据题意，易知a＋b＝（x－1，1，－1），因为a⊥（a＋b），所以a·（a＋b）＝0，即（x－1）×（－1）＋1×2＋（－1）×（－4）＝0，解得x＝7.
【例4】　解：如图，以，，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），
（1）＝（1，－1，1），∴｜｜＝＝，即｜BN｜＝.
（2）＝（1，－1，2），＝（0，1，2），∴cos＜，＞＝＝＝＝.
跟踪训练
1.C　∵向量a＝（1，λ，0），b＝（2，－1，2），且a与b夹角的余弦值为，∴cos＜a，b＞＝＝＝，解得λ＝0或－.故选C.
2.B　在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴A1（2，0，2），C（0，2，0），∴A1C的中点E（1，1，1），A（2，0，0），B（2，2，0），∴AB的中点F（2，1，0），∴A1C的中点E到AB的中点F的距离为｜EF｜＝＝.故选B.
2 / 5(共45张PPT)
1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的正交分解及坐标表示 直观想象
2.掌握空间向量线性运算的坐标表示 数学运算
3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判
断两向量的共线与垂直 数学运算、直
观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育
现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与
空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何
体系的特点排除了数量关系……，对于研究空
间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.
【问题】　（1）设 m ＝（ x1， y1）， n ＝（ x2， y2），那么 m ＋ n ，
m － n ，λ m ， m · n 如何运算？
（2）空间直角坐标系中，点 A （ x1， y1， z1）， B （ x2， y2， z2），
则｜ ｜如何表示？




知识点一　空间向量的坐标及运算
1. 空间向量的坐标
（1）单位正交基底：如果空间向量的基底{ e1， e2， e3}中， e1，
e2， e3都是单位向量，且这三个向量两两 ；
（2）单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单
位正交分解；
垂直　
（3）向量 p 的坐标：在单位正交基底下向量 p ＝ xe1＋ ye2＋ ze3，则
称有序实数组 为向量 p 的坐标，记作 p
＝ .其中 x ， y ， z 都称为 p 的坐标分量.
（ x ， y ， z ）　
（ x ， y ， z ）　
2. 空间向量的运算与坐标的关系
设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），则
（1） a ＋ b ＝ ；
（2）μ a ＋ vb ＝ ；
（3） a · b ＝ ；
（4）｜ a ｜
（5） cos ＜ a ， b ＞
.
（ x1＋ x2， y1＋ y2， z1＋ z2）　
（μ x1＋ vx2，μ y1＋ vy2，μ z1＋ vz2）　
x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2　
3. 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），则
（1） a ∥ b a ＝λ b ， ，
（λ∈R）；
（2） a ⊥ b .
提醒　空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广
（只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平
面向量的坐标运算相比，空间向量的坐标运算适用范围更
广，它可以解决立体几何中的相关问题.
x1＝λ x2　
y1＝λ y2　
z1＝λ z2　
a · b ＝0　
x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2＝0　
知识点二　空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系：在空间中任意选定一点 O 作为坐标原点，
选择合适的平面先建立平面直角坐标系 xOy ，然后过 O 作一
条与 xOy 平面垂直的数轴 z 轴，这样就建立了空间直角坐标系
Oxyz ；
（2）相关概念： 叫作坐标原点， 叫
作坐标轴.通过 的平面叫作坐标平面，分别
称为 平面、 平面、 平面.
点 O 　
x 轴， y 轴， z 轴　
每两个坐标轴　
xOy 　
yOz 　
zOx 　
2. 空间向量坐标的应用
若 A （ x1， y1， z1）， B （ x2， y2， z2）.
（1） AB ＝｜ ｜＝

（2）若 M 为线段 AB 的中点， M 的坐标为
.
（
）　
（2） x 轴是坐标形如（ x ，0，0）的点构成的点集； y 轴是坐标形如（0， y ，0）的点构成的点集； z 轴是坐标形如（0，0， z ）的点构成的点集.其中 x ， y ， z ∈R.
【想一想】
坐标平面与坐标轴上的点的坐标有什么特征？
提示： （1） xOy 平面是坐标形如（ x ， y ，0）的点构成的点
集； yOz 平面是坐标形如（0， y ， z ）的点构成的点集； xOz
平面是坐标形如（ x ，0， z ）的点构成的点集.其中 x ， y ， z
为任意的实数；
1. 已知 a ＝（1，－2，1）， a ＋ b ＝（－1，2，－1），则 b ＝
（　　）
A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2）
C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3）
2. 已知向量 a ＝（－2， x ，2）， b ＝（2，1，2）， c ＝（4，－2，
1），若 a ⊥（ b － c ），则 x 的值为（　　）
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
解析：　∵ b － c ＝（－2，3，1），∴ a ·（ b － c ）＝4＋3 x ＋2
＝0，∴ x ＝－2.
3. 设 A （3，2，1）， B （1，0，5）， C （0，2，1）， AB 的中点为
M ，则｜ ｜＝ .
解析：由题意，得 AB 的中点 M （2，1，3），所以｜ ｜ 3.
3　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】　（1）已知 a ＝（－1，2，1）， b ＝（2，0，1），则（2 a
＋3 b ）·（ a － b ）＝ ；
解析：易得2 a ＋3 b ＝（4，4，5）， a － b ＝（－3，2，0），则（2 a ＋3 b ）·（ a － b ）＝4×（－3）＋4×2＋
5×0＝－4.
－4　
（2）若2 a － b ＝（2，－4，3）， a ＋2 b ＝（1，3，－1），则 cos
＜ a ， b ＞＝ .
解析：设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），由题
设可得 y1＝－1， y2＝
2， z1＝1， z2＝－1，即 a ＝（1，－1，1）， b ＝（0，2，－
1），则 a · b ＝0－2－1＝－3，｜ a ｜ ｜ b ｜
cos ＜ a ， b ＞ .
通性通法
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运
用空间向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后
通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【跟踪训练】
1. 已知 A （1，－2，0）和向量 a ＝（－3，4，12）， 2 a ，则
点 B 的坐标为（　　）
A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24）
C. （－6，8，24） D. （－5，6，24）
解析：　∵ a ＝（－3，4，12）， 2 a ，∴ －6，
8，24）.∵ A 的坐标为（1，－2，0），∴ 1，－2，0） －6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），
∴点 B 的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2. 已知 a ＝（1，1，0）， b ＝（0，1，1），则 a ·（－2 b ）＝
，（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝ .
解析： a ·（－2 b ）＝－2 a · b ＝－2（0＋1＋0）＝－2， a － b ＝
（1，0，－1），2 a －3 b ＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，
－1，－3）.∴（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝（1，0，－1）·（2，－
1，－3）＝2＋3＝5.
－2　
5　
题型二 空间中点的坐标确定及应用
【例2】　在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 D1
D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG CD ， H 为 C1 G 的中点，试
建立适当的坐标系，写出 E ， F ， G ， H 的坐标.并求 GH 的长度.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴
上，它的 x 坐标， y 坐标均为0，而 E 为 DD1的中
点，
故其坐标为（0，0 ）.
过 F 作 FM ⊥ AD 于点 M ， FN ⊥ DC 于点 N ，由平
面几何知 FM FN
则 F 点坐标为（ 0）.
点 G 在 y 轴上，其 x ， z 坐标均为0，又 GD
G 点坐标为（0 0）.
过 H 作 HK ⊥ CG 于点 K ，由于 H 为 C1 G 的中点，
故 HK CK .
∴ DK H 点坐标为（0 ）.
｜ GH ｜ .
通性通法
1. 建立空间直角坐标系时应遵循的原则
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
（2）充分利用几何图形的对称性.
2. 求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确
定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐
标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标.
3. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
【跟踪训练】
如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .正方体 ABCD -A'B'C'D'的棱长为1，
顶点 A 位于坐标原点.
（1）若 E 是棱B'C'的中点， F 是棱B'B的中点， G 是侧面CDD'C'的中
心，则分别求出向
解：因为 E 是棱B'C'的中点， F 是棱
B'B的中点， G 是侧面CDD'C'的中心，
所以 O （0，0，0）， E （1 1）， F （1，0 ）， G （ 1 ）.
所 （1 1） （1，0 ） （ 1 ） （ 1，0）.
（2）在（1）的条件下，分别求出（ ）· ｜ ｜的值.
解：由（1）可得 · （ ）·（ 1，0） （ ） 1 0 .
（ ），
所以｜ ｜ .
题型三 空间向量的平行与垂直
【例3】　已知空间三点 A （－2，0，2）， B （－1，1，2）， C （－
3，0，4），设 a b .
（1）若｜ c ｜＝3， c ∥ .求 c ；
解：因 －2，－1，2），且 c ∥
所以设 c ＝λ －2λ，－λ，2λ），
得｜ c ｜ 3｜λ｜＝3，
解得λ＝±1.即 c ＝（－2，－1，2）或 c ＝（2，1，－2）.
（2）若 ka ＋ b 与 ka －2 b 互相垂直，求 k .
解：因为 a 1，1，0）， b －1，0，2），
所以 ka ＋ b ＝（ k －1， k ，2）， ka －2 b ＝（ k ＋2， k ，－4）.
又因为（ ka ＋ b ）⊥（ ka －2 b ），
所以（ ka ＋ b ）·（ ka －2 b ）＝0.
即（ k －1， k ，2）·（ k ＋2， k ，－4）＝2 k2＋ k －10＝0.
解得 k ＝2或 k ＝ .
故所求 k 的值为2 .
【母题探究】
（变条件）若将本例（1）中“ c ∥ c ⊥ a 且 c ⊥ b ”，求 c .
解： a 1，1，0）， b －1，0，2）.
设 c ＝（ x ， y ， z ）.
由题意得
解得 x ＝2， y ＝－2， z ＝1或 x ＝－2， y ＝2， z ＝－1，
即 c ＝（2，－2，1）或 c ＝（－2，2，－1）.
通性通法
判断空间向量垂直或平行的步骤
（1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；
（3）对于 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），根据两向量坐
标间的关系判断两向量是否垂直；根据 x1＝λ x2， y1＝λ y2， z1＝
λ z2（λ∈R）或 （ x2， y2， z2都不为0）判断两向量
是否平行.
　　由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建
立方程（组）求解即可.
【跟踪训练】
1. 已知向量 a ＝（－2，3，－1）， b ＝（4， m ， n ），且 a ＝ tb ，其
中 m ， n ∈R，则 m ＋ n ＝（　　）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
解析：　因为向量 a ＝（－2，3，－1）， b ＝（4， m ， n ），且
a ＝ tb ，可得 a ∥ b ，所以 m ＋ n
＝－6＋2＝－4，故选B.
2. 已知空间向量 a ＝（－1，2，－4）， b ＝（ x ，－1，3），若 a ⊥
（ a ＋ b ），则 x ＝ .
解析：根据题意，易知 a ＋ b ＝（ x －1，1，－1），因为 a ⊥（ a ＋
b ），所以 a ·（ a ＋ b ）＝0，即（ x －1）×（－1）＋1×2＋（－
1）×（－4）＝0，解得 x ＝7.
7　
题型四 利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离
【例4】　（链接教科书第20页例3、第25页例7）如图，在直三棱柱
（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC - A1 B1 C1中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA
＝90°，棱 AA1＝2， N 为 A1 A 的中点.求：
（1） BN 的长；
解：如图， Cxyz .
则 C （0，0，0）， A （1，0，0）， B （0，
1，0）， A1（1，0，2）， B1（0，1，2），
N （1，0，1），
（1 1，－1，1），∴｜ ｜ ｜ BN ｜ .
（2） cos .
解： 1，－1，2） 0，1，2），
∴ cos

.
通性通法
1. 利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤
（1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
（2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐
标；
（3）利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角.
2. 利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求出线段端点的坐标；
（3）利用两点间的距离公式求出线段的长.
【跟踪训练】
1. 若向量 a ＝（1，λ，0）， b ＝（2，－1，2），若 a 与 b 夹角的余弦
值 λ＝（　　）
A. 0 B.
解析：　∵向量 a ＝（1，λ，0）， b ＝（2，－1，2），且 a 与 b
夹角的余弦值 ∴ cos ＜ a ， b ＞ λ＝0 .故选C.
C. 0或 D. 0
2. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体 ABCD - A1 B1 C1
D1， A1 C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为（　　）
A.2 B.
C. 2 D. 1
解析：　在空间直角坐标系中，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长
为2，∴ A1（2，0，2）， C （0，2，0），∴ A1 C 的中点 E （1，
1，1）， A （2，0，0）， B （2，2，0），∴ AB 的中点 F （2，1，
0），∴ A1 C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为｜ EF ｜ .故选B.
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