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1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
1.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　）
A.x＝6，y＝15　　　 B.x＝3，y＝
C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝
2.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于（　　）
A.30° B.150°
C.30°或150° D.以上均错
3.已知直线l1，l2的方向向量分别是a＝（2，2，0），b＝（0°＜α＜180°），若l1⊥l2，则α＝（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（　　）
A.EF至多与A1D，AC之一垂直
B.EF⊥A1D，EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1平行
6.已知点A（1，1，－4），B（2，－4，2），C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为　　　　.
7.已知直线l1的一个方向向量a＝（2，4，x），直线l2的一个方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是　　　　.
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　　　.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点.证明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EF；
（2）直线GF与直线BA1不平行.
10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO和AM的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.异面垂直 D.异面不垂直
11.如图，圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且∠BOC＝60°，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为（　　）
A.　　 B. C.　　 D.
12如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.
（1）求证：MN⊥AD；
（2）求MN与PC所成的角.
13.如图，在正四棱锥V-ABCD中，E为BC的中点，AB＝AV＝2. 已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角的余弦值为，则＝　　　　.
14.如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是OA和BC的公垂线；
（2）求OA和BC间的距离.
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
1.D　由题意知，因l1∥l2有a∥b，则＝＝，得x＝6，y＝，故选D.
2.A　设l1与l2两条异面直线所成的角为θ，则0°＜θ＜90°，因为l1与l2这两条异面直线所成的角等于直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角或其补角，所以θ＝180°－150°＝30°，所以异面直线l1与l2所成的角等于30°，故选A.
3.B　∵向量a＝（2，2，0），b＝（0°＜α＜180°），∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2cos α－1＝0，∴cos α＝，∵0°＜α＜180°，∴α＝60°.故选B.
4.C　＝－＝－，＝－，于是｜｜＝，｜｜＝1，且·＝·（－）＝－，于是cos＜，＞＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.
5.BD　建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系（图略），不妨设正方体的棱长为1，则＝（1，0，1），＝（－1，1，0），E，F，＝，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.又＝（－1，－1，1），∴＝－3，即EF与BD1平行.
6.　解析：设C（x，y，z），＝（x－1，y－1，z＋4），＝（1，－5，6），
由＝，得∴∴C.
7.－3或1　解析：∵｜a｜＝＝6，∴x＝±4.∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x.∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3或1.
8.　解析：如图，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），D1（0，0，2），O（1，1，0），E（0，2，1），则＝（－1，1，1），＝（－1，0，2），
∴｜｜＝，｜｜＝，·＝3，
∴cos＜，＞＝＝＝.
9.证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），由中点坐标公式得E，G，
F.
（1）∵＝（1，0，1），＝，
＝，
∴＝2，
·＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥.
故AB1∥GE，AB1⊥EF.
（2）∵＝，＝（－1，0，1），
又∵≠，∴与不平行.
∵为直线GF的一个方向向量，为直线BA1的一个方向向量，当∥时，必有GF∥BA1.由上可知直线GF与直线BA1不平行.
10.C　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），M（0，0，1），O（1，1，0），N（2，1，2），＝（－1，0，－2），＝（－2，0，1），·＝0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直.
11.B　以过点O且垂直平面SAC的直线为x轴，以OC，OS所在直线分别y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设OC＝2，则A（0，－2，0），B（，1，0），C（0，2，0），M（0，－1，），＝（，3，0），＝（0，－3，），设异面直线AB与CM所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝.故选B.
12.解：（1）证明：设AC∩BD＝O，根据正四棱锥的性质可知OA，OB，OP两两互相垂直.
以O为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.由PA＝AB＝2，则OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝，
A（，0，0），B（0，，0），C（－，0，0），D（0，－，0），P（0，0，），
＝＝，则N，M.
＝，＝（－，－，0），
·＝·（－，－，0）＝0，
所以MN⊥AD.
（2）＝，＝（－，0，－），
设直线MN与直线PC所成角为θ，θ∈，
则cos θ＝＝＝ θ＝.
13.　解析：连接AC，BD交于点O，则AC⊥BD，因为四棱锥V-ABCD为正四棱锥，故VO⊥底面ABCD，以点O为坐标原点，OA，OB，OV所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，E，V（0，0，），B（0，，0），设＝λ＝λ（，0，－）＝（λ，0，－λ），其中0≤λ≤1，＝（0，－，），则＝＋＝（λ，－，（1－λ）），∵＝，由已知可得，｜cos＜，＞｜＝＝＝，整理可得6λ2－λ－2＝0，因为0≤λ≤1，解得λ＝，即＝.
14.解：（1）证明：∵E为BC的中点，
∴＝（＋），由题知DB⊥OA，得·＝0.
同理可得·＝0.
∴·＝（＋）·＝·＋·＝0，∴DE⊥OA.
同理可证DE⊥BC.
∴DE是OA和BC的公垂线.
（2）∵＝－＝＋－，
∴｜｜2＝
＝（＋＋＋2·－2·－2·）
＝（12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°）
＝，
∴｜｜＝，即OA和BC间的距离为.
1 / 21.2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系 数学抽象、直观想象
2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 数学运算
　　一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛.比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.
【问题】　（1）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
（2）怎样用向量来表示直线在空间中的位置？
（3）怎样用向量来表示平面在空间中的位置？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间中的点与直线的向量表示
1.点的位置向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定.
2.直线的方向向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
3.利用直线的方向向量证明相关平行
（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合 v1∥v2；
（2）已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l α 存在一对实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
【想一想】
　同一条直线的方向向量相等吗？
知识点二　空间中两条直线所成的角
设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，如图①②所示，
①θ∈；
②θ＝＜v1，v2＞或θ＝　　　　　　　　　，sin θ＝　　　　　　或cos θ＝　　　　　；
③l1⊥l2 ＜v1，v2＞＝ v1·v2＝0.
知识点三　异面直线与空间向量
（1）设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量.
若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行；
若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为　　　　　　；
若异面直线l1与l2所成的角为θ，则θ＝＜v1，v2＞或π－＜v1，v2＞；
（2）公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，　　　.则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的　　　.
【想一想】
两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？
1.已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中不是该直线的方向向量的为（　　）
A.a＝（1，1，1）
B.a＝（－1，－1，1）
C.a＝（－3，－3，3）
D.a＝（1，1，－1）
2.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝（－2，3，2），则l1与l2的位置关系是（　　）
A.l1⊥l2　 B.l1∥l2
C.l1，l2相交不垂直 D.不能确定
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与直线A1D1所成的角为　　　　，直线AB与直线CD1所成的角为　　　　.
题型一 空间中点的位置确定
【例1】　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（3，4，0），B（2，5，5），C（0，3，5）.
（1）若＝（－），求P点的坐标；
（2）若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标.
尝试解答
通性通法
求空间点的坐标
　　此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，常用方法一是把向量式转化为以原点为起点的位置向量求解；二是设出所求点的坐标，转化为方程组求解.
【跟踪训练】
已知点A（2，4，0），B（1，3，3），如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P为线段AB上的点，Q点在AB延长线上，且分别满足条件：
（1）AP∶PB＝1∶2；
（2）AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标.
题型二 利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值）
【例2】　（链接教科书第33页例3）如图，点M，N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点，求：
（1）MN和CD'所成角的大小；
（2）MN和AD所成角的大小.
尝试解答
通性通法
求异面直线所成的角的方法
（1）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单；
（2）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧.在由公式cos＜a，b＞＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及｜a｜与｜b｜，一般是把a，b用基底表示出来，再求有关的量.
【跟踪训练】
1.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1和B1D夹角的余弦值为（　　）
A.－　　B.　　C.－　　D.
2.已知异面直线m，n的方向向量分别为a＝（2，－1，1），b＝（1，λ，1），若异面直线m，n所成角的余弦值为，则 λ的值为 　　　　.
题型三 利用空间向量处理平行与垂直问题
【例3】　（链接教科书第31页例1、第33页例2、第36页例4）
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点.求证：
（1）AD1⊥G1G；
（2）AD1∥EF；
（3）A1G⊥DF.
尝试解答
通性通法
1.要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
2.要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可.
【跟踪训练】
　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是　　　　，｜A1P｜的最小值为　　　　.
1.若A（1，0，1），B（2，3，4）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A.（－1，3，3）　　　　B.（1，3，3）
C.（3，3，5） D.（2，4，6）
2.向量a＝（x，1，－2），b＝（3，x，4），a⊥b，则x＝（　　）
A.8　　　B.4　　　C.2　　　D.0
3.已知＝，＝（0，－1，0），则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
　提示：不相等.方向不一定相同，模也不一定相等.
知识点二
　②π－＜v1，v2＞　sin ＜v1，v2＞　｜cos＜v1，v2＞｜
知识点三
　（1）相交或异面　（2）MN⊥l1，MN⊥l2　距离
想一想
　提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角＜v1，v2＞∈时等于异面直线所成角，若＜v1，v2＞∈时，则异面直线所成角为π－＜v1，v2＞.
自我诊断
1.A　由题知，＝（－3，－3，3），则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量（1，1，1）与不共线，所以不是直线AB的方向向量.故选A.
2.A　由题意，直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝（－2，3，2），a·b＝－2＋6－4＝0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A.
3.90°　45°
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）＝（－1，1，5），＝（－3，－1，5），
＝（－）＝（2，2，0）＝（1，1，0），
∴P点的坐标为（1，1，0）.
（2）由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝.
设点P的坐标为（x，y，z），
则＝（x－3，y－4，z），＝（2－x，5－y，5－z），
故（x－3，y－4，z）＝（2－x，5－y，5－z），
即得
因此P点的坐标为.
跟踪训练
　解：（1）由已知，得＝2，
即－＝2（－），
＝＋＝（2，4，0）＋（1，3，3）＝.
因此，P点的坐标是.
（2）因为Q点在AB延长线上且AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2，－＝－2（－），＝－＋2＝－（2，4，0）＋2（1，3，3）＝（0，2，6），因此，Q点的坐标是（0，2，6）.
【例2】　解：设正方体棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz（图略），
则C（0，1，0），D'（0，0，1），A（1，0，0），M，
N，D（0，0，0），
∴＝（0，－1，1），＝（－1，0，0），＝.
（1）∵cos＜，＞＝＝＝，
∴＜，＞＝60°，即MN和CD'所成角为60°.
（2）∵cos＜，＞＝＝＝，
∴＜，＞＝45°，即MN与AD所成角为45°.
跟踪训练
1.D　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），D1（0，0，1），B1（2，2，1），所以＝（－2，0，1），＝（－2，－2，－1），所以cos＜，＞＝＝＝，所以直线AD1和B1D夹角的余弦值为，故选D.
2.　解析：由＝＝＝，两边平方，化简得6λ＝7，解得λ＝.
【例3】　证明：设＝a，＝b，＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.
（1）因为＝b＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c，
所以·＝（b＋c）·（b－c）＝b2－c2＝0，
所以⊥，所以AD1⊥G1G.
（2）因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以EF∥AD1.
（3）因为＝＋＋＝－c＋b＋a，＝＋＝a－b，所以·＝·＝a2－b2＝0，
所以⊥，所以A1G⊥DF.
跟踪训练
　平行　　解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（1，0，1），E，B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），其中（m－a）2＋（n－b）2≠0，
则＝，＝（a－1，b－1，1），＝（m－1，n－1，1），
∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E.
∴
解得∴可得m－a＝n－b.
∵＝（m－a，n－b，0），＝（1，1，0），令m－a＝n－b＝λ，则＝λ.
∴∥，即PQ与BD的位置关系是平行.
｜A1P｜＝＝
＝＝，
∴当a＝，即P时，｜A1P｜的最小值为.
随堂检测
1.B　＝（2，3，4）－（1，0，1）＝（1，3，3）.
2.C　∵向量a＝（x，1，－2），b＝（3，x，4），a⊥b，
∴a·b＝3x＋x－8＝0，解得x＝2.故选C.
3.B　cos＜，＞＝
＝＝，故选B.
1 / 3(共74张PPT)
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线
的位置关系 数学抽象、直
观想象
2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，
体会向量方法在研究几何问题中的作用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　一场正规的足球赛事需要有裁判
执法才能进行.在比赛过程中，裁判员
除了说一些必要的语言外，他们更多
的借助专用的手势来把控整场比赛.比
如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握.在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.
【问题】　（1）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
（2）怎样用向量来表示直线在空间中的位置？
（3）怎样用向量来表示平面在空间中的位置？



知识点一　空间中的点与直线的向量表示
1. 点的位置向量
一般地，如果在空间中指定一点 O ，那么空间中任意一点 P 的位
置，都可以由向 P 的位置向
量.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确
定，从而也就由它的坐标唯一确定.
2. 直线的方向向量
一般地，如果 l 是空间中的一条直线， v 是空间中的一个非零向量，
且表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合，则称 v 为直线 l 的
一个方向向量.此时，也称向量 v 与直线 l 平行，记作 v ∥ l .
3. 利用直线的方向向量证明相关平行
（1）设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则由向量共线的条
件，得 l1∥ l2或 l1与 l2重合 v1∥ v2；
（2）已知两个不共线向量 v1， v2与平面α共面，一条直线 l 的一个
方向向量为 v ，则由共面向量定理，可得 l ∥α或 l α 存在
一对实数 x ， y ，使 v ＝ xv1＋ yv2.
【想一想】
　同一条直线的方向向量相等吗？
提示：不相等.方向不一定相同，模也不一定相等.
知识点二　空间中两条直线所成的角
设 v1， v2分别是空间中直线 l1， l2的方向向量，且 l1与 l2所成角的大小
为θ，如图①②所示，
①θ∈［0 ］；
②θ＝＜ v1， v2＞或θ＝ ， sin θ＝
或 cos θ＝ ；
③ l1⊥ l2 ＜ v1， v2＞ v1· v2＝0.
π－＜ v1， v2＞　
sin ＜ v1， v2
＞　
｜ cos ＜ v1， v2＞｜　
知识点三　异面直线与空间向量
（1）设 v1， v2分别是空间中直线 l1与 l2的方向向量.
若 l1与 l2异面，则 v1与 v2的关系为 v1与 v2不平行；
若 v1与 v2不平行，则 l1与 l2的位置关系为 ；
若异面直线 l1与 l2所成的角为θ，则θ＝＜ v1， v2＞或π－＜ v1， v2
＞；
相交或异面　
（2）公垂线段：一般地，如果 l1与 l2是空间中两条异面直线， M ∈
l1， N ∈ l2， .则称 MN 为 l1与 l2的公垂线
段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间
的 .
【想一想】
两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？
MN ⊥ l1， MN ⊥ l2　
距离　
提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角＜ v1， v2＞
∈（0 ］时等于异面直线所成角，若＜ v1， v2＞∈（ π）
时，则异面直线所成角为π－＜ v1， v2＞.
1. 已知一直线经过点 A （2，3，2）， B （－1，0，5），下列向量中
不是该直线的方向向量的为（　　）
A. a ＝（1，1，1） B. a ＝（－1，－1，1）
C. a ＝（－3，－3，3） D. a ＝（1，1，－1）
解析：　由题知 －3，－3，3），则与向 .A选项中的向量（1，1，
1） AB 的方向向量.故选A.
2. 若直线 l1， l2的方向向量分别为 a ＝（1，2，－2）， b ＝（－2，
3，2），则 l1与 l2的位置关系是（　　）
A. l1⊥ l2 B. l1∥ l2
C. l1， l2相交不垂直 D. 不能确定
解析：　由题意，直线 l1， l2的方向向量分别为 a ＝（1，2，－
2）， b ＝（－2，3，2）， a · b ＝－2＋6－4＝0，∴ l1与 l2的位置关
系是 l1⊥ l2.故选A.
3. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，直线 AB 与直线 A1 D1所成的角
为 ，直线 AB 与直线 CD1所成的角为 .
90°　
45°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间中点的位置确定
【例1】　已知 O 是坐标原点， A ， B ， C 三点的坐标分别为 A （3，
4，0）， B （2，5，5）， C （0，3，5）.
（1） P 点的坐标；
解： －1，1，5） －3，－1，5），
2，2，0）＝（1，1，0），
∴ P 点的坐标为（1，1，0）.
（2）若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP ∶ PB ＝1∶2，求 P 点的坐标.
解： 由 P 是线段 AB 上的一点，且 AP ∶ PB ＝1∶2，
.
设点 P 的坐标为（ x ， y ， z ），
x －3， y －4， z ） 2－ x ，5－ y ，5－ z ），
故（ x －3， y －4， z 2－ x ，5－ y ，5－ z ），
即
因此 P 点的坐标为（ ）.
通性通法
求空间点的坐标
　　此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，常用方法一是
把向量式转化为以原点为起点的位置向量求解；二是设出所求点的坐
标，转化为方程组求解.
【跟踪训练】
已知点 A （2，4，0）， B （1，3，3），如图，
AB 上建立一条数轴， P 为线段 AB 上的点，
Q 点在 AB 延长线上，且分别满足条件：
（1） AP ∶ PB ＝1∶2；
解：由已知， 2
2
2，4，0 1，
3，3）＝（ 1）.
因此， P 点的坐标是（ 1）.
解：因为 Q 点在 AB 延长线上且 AQ ∶ QB ＝2∶1，
所 2 2
2 2，4，0）＋2（1，3，3）＝（0，2，6），因此， Q 点的坐标是（0，2，6）.
（2） AQ ∶ QB ＝2∶1.
求点 P 和点 Q 的坐标.
题型二 利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值）
【例2】　（链接教科书第33页例3）如图，点 M ， N 分别是正方体
ABCD -A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点，求：
（1） MN 和CD'所成角的大小；
解：设正方体棱长为1，分别
Dxyz （图略），
则 C （0，1，0），D'（0，0，1）， A （1，0，0）， M （1，1
）， N （ 1，1）， D （0，0，0），
∴ 0，－1，1） －1，0，0）
（ 0 ）.
（1）∵ cos
∴ 60°，即 MN 和CD'所成角为60°.
（2） MN 和 AD 所成角的大小.
解： ∵ cos
∴ 45°，即 MN 与 AD 所成角为45°.
通性通法
求异面直线所成的角的方法
（1）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关
各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的
步骤，使过程变得简单；
（2）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取
定基底的方法，这是小技巧.在由公式 cos ＜ a ， b ＞
求向量 a ， b 的夹角时，关键是求出 a · b 及｜ a ｜与｜ b ｜，一
般是把 a ， b 用基底表示出来，再求有关的量.
【跟踪训练】
1. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ＝2， CC1＝1，则
直线 AD1和 B1 D 夹角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　如图，以 D 为原点，分别以 DA ，
DC ， DD1所在的直线为 x ， y ， z 轴建立空间直
角坐标系，则 D （0，0，0）， A （2，0，0），
D1（0，0，1）， B1（2，2，1），所
－2，0，1） －2，－2，－1），所以 cos AD1和 B1 D 夹角的余弦值 D.
2. 已知异面直线 m ， n 的方向向量分别为 a ＝（2，－1，1）， b ＝
（1，λ，1），若异面直线 m ， n 所成角的余弦值 λ的值
为 .
解析：
6λ＝7，解得λ .

题型三 利用空间向量处理平行与垂直问题
【例3】　（链接教科书第31页例1、第33页例2、第36页例4）如图所
示，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1， E ， F ， G ， G1分别是棱
CC1， BC ， CD ， A1 B1的中点.求证：
（1） AD1⊥ G1 G ；
（1）因 b ＋ c
a － c ＋ b a ＝ b － c ，
所 · b ＋ c ）·（ b － c ）＝ b2－ c2＝0，
所 AD1⊥ G1 G .
证明： a b c ，
则｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝1且 a · b ＝ b · c ＝ a · c ＝0.
（2） AD1∥ EF ；
证明：因 b ＋ c
b c ，所 EF ∥ AD1.
证明：因 c ＋ b a a b ，所 · （－ c ＋ b a ）·（ a b ） a2 b2＝0，
所 A1 G ⊥ DF .
（3） A1 G ⊥ DF .
通性通法
1. 要证两直线垂直，由数量积的性质 a ⊥ b a · b ＝0可知，可构造与
两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
2. 要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量
满足 a ＝λ b 即可.
【跟踪训练】
　在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为 CC1的中点， P ， Q
是正方体表面上相异两点，满足 BP ⊥ A1 E ， BQ ⊥ A1 E . 若 P ， Q 均在
平面 A1 B1 C1 D1内，则 PQ 与 BD 的位置关系是 ，｜ A1 P ｜的
最小值为 .
平行　

解析：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1
为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A1（1，0，1）， E （0，1 ）， B （1，1，
0），∵ P ， Q 均在平面 A1 B1 C1 D1内，∴设 P
（ a ， b ，1）， Q （ m ， n ，1），其中（ m － a ）
2＋（ n － b ）2≠0，
（－1，1 ） a －1， b －1，1） m －1， n －1，1），
∵ BP ⊥ A1 E ， BQ ⊥ A1 E .
∴
解得∴可得 m － a ＝ n － b .
∵ m － a ， n － b ，0） 1，1，0），令 m － a ＝ n －
b ＝λ， λ .
∴ ∥ PQ 与 BD 的位置关系是平行.
｜ A1 P ｜

∴当 a P （ 1）时，｜ A1 P ｜的最小值 .
1. 若 A （1，0，1）， B （2，3，4）在直线 l 上，则直线 l 的一个方向
向量是（　　）
A. （－1，3，3） B. （1，3，3）
C. （3，3，5） D. （2，4，6）
解析： 2，3，4）－（1，0，1）＝（1，3，3）.
2. 向量 a ＝（ x ，1，－2）， b ＝（3， x ，4）， a ⊥ b ，则 x ＝
（　　）
A. 8 B. 4
C. 2 D. 0
解析：　∵向量 a ＝（ x ，1，－2）， b ＝（3， x ，4）， a ⊥ b ，
∴ a · b ＝3 x ＋ x －8＝0，解得 x ＝2.故选C.
3. 已 （ ） 0，－1，0），则异面直线 AB
与 CD 所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 cos B.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量 a ＝（2，4，5）， b ＝（3， x ， y ）分别是直线 l1， l2的
方向向量，若 l1∥ l2，则（　　）
A. x ＝6， y ＝15 B. x ＝3， y
C. x ＝3， y ＝15 D. x ＝6， y
解析：　由题意知，因 l1∥ l2有 a ∥ b ， x ＝6， y
D.
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2. 若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为150°，则 l1与 l2这两条
异面直线所成的角等于（　　）
A. 30° B. 150°
C. 30°或150° D. 以上均错
解析：　设 l1与 l2两条异面直线所成的角为θ，则0°＜θ＜90°，因
为 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于直线 l1的方向向量与 l2的方向
向量的夹角或其补角，所以θ＝180°－150°＝30°，所以异面直线 l1
与 l2所成的角等于30°，故选A.
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3. 已知直线 l1， l2的方向向量分别是 a ＝（2，2，0）， b ＝（ cos α，
1）（0°＜α＜180°），若 l1⊥ l2，则α＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　∵向量 a ＝（2，2，0）， b ＝（ cos α 1）（0°
＜α＜180°），∵ l1⊥ l2，∴ a ⊥ b ，∴ a · b ＝2 cos α－1＝0，∴ cos
α ∵0°＜α＜180°，∴α＝60°.故选B.
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4. 已知四面体 OABC 的各棱长均为1， D 是棱 OA 的中点，则异面直线
BD 与 AC 所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： ｜
｜ ｜ ｜＝1， · （ ）· ＝ cos BD 与 AC 所成角的余弦值 .
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5. （多选）如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 E ， F 分别
在 A1 D ， AC 上，且 A1 E A1 D ， AF AC ，则（　　）
A. EF 至多与 A1 D ， AC 之一垂直
B. EF ⊥ A1 D ， EF ⊥ AC
C. EF 与 BD1相交
D. EF 与 BD1平行
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解析：　建立分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x ， y ， z 轴的
空间直角坐标系（图略），不妨设正方体的棱长为1，
1，0，1） －1，1，0）， E （ 0 ）， F （
0） （ ），∴ · 0 · 0，∴ EF
⊥ A1 D ， EF ⊥ AC . －1，－1，1），∴ 3
EF 与 BD1平行.
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解析：设 C （ x ， y ， z ） x －1， y －1， z ＋4）
1，－5，6），
∴
∴ C （ －1）.
6. 已知点 A （1，1，－4）， B （2，－4，2）， C 为线段 AB 上的一
点， C 点坐标为 　（ 1）　.
（ 1）　
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7. 已知直线 l1的一个方向向量 a ＝（2，4， x ），直线 l2的一个方向向
量 b ＝（2， y ，2），若｜ a ｜＝6，且 l1⊥ l2，则 x ＋ y 的值是
.
解析：∵｜ a ｜ 6，∴ x ＝±4.∵ l1⊥ l2，∴ a ⊥
b ，∴ a · b ＝2×2＋4 y ＋2 x ＝0，∴ y ＝－1 x .∴当 x ＝4时， y ＝
－3；当 x ＝－4时， y ＝1，∴ x ＋ y ＝－3或1.
－3
或1　
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8. 在棱长为2的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 是底面 ABCD 的中心，
E ， F 分别是 CC1， AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的
余弦值等于 .

解析：如图，以 D 为坐标原点 x 轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角
坐标系，则 F （1，0，0）， D1（0，0，2）， O
（1，1，0）， E （0，2，1）， －
1，1，1） －1，0，2），
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∴｜ ｜ ｜ ｜ · 3，
∴ cos .
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9. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，已知 E ， F ， G 分别是 CC1， A1
C1， CD 的中点.证明：
（1） AB1∥ GE ， AB1⊥ EF ；
证明：如图，以 A 为原点建立空间直角坐
标系，设正方体的棱长为1，
则 A （0，0，0）， B （1，0，0）， C
（1，1，0）， D （0，1，0）， A1（0，
0，1）， B1（1，0，1）， C1（1，1，
1），由中点坐标公式得 E （1，1 ），
G （ 1，0）， F （ 1）.
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（1）∵ 1，0，1） （ 0 ），
（ ），∴ 2
· 1×（ ）＋0＋1 0，
∴ ∥ .故 AB1∥ GE ， AB1⊥ EF .
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（2）直线 GF 与直线 BA1不平行.
证明： ∵ （0 1） －1，0，1），
又∵ ∴ .
∵ GF 的一个方向向量 BA1的一个方向
向量， ∥ GF ∥ BA1.由上可知直线 GF 与直
线 BA1不平行.
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10. 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 是底面正方形 ABCD
的中心， M 是 D1 D 的中点， N 是 A1 B1的中点，则直线 NO 和 AM 的
位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面垂直 D. 异面不垂直
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解析：　以 D 为原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴，
y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为2，则
A （2，0，0）， M （0，0，1）， O （1，1，0）， N （2，1，2）
－1，0，－2） －2，0，1） · 0，
则直线 NO ， AM 的位置关系是异面垂直.
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11. 如图，圆锥 SO 的轴截面 SAC 是等边三角形，点 B 是底面圆周上的
一点，且∠ BOC ＝60°，点 M 是 SA 的中点，则异面直线 AB 与 CM
所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　以过点 O 且垂直平面 SAC 的直线为 x
轴，以 OC ， OS 所在直线分别 y 轴， z 轴，建立
空间直角坐标系，如图所示，设 OC ＝2，则 A
（0，－2，0）， B 1，0）， C （0，2，
0）， M （0，－1 3，0）
0，－3 AB 与
CM 所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos
｜ .故选B.
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12. 如图，在正四棱锥 P - ABCD 中， PA ＝ AB ＝2，点 M ， N 分别在
PA ， BD 上， .
（1）求证： MN ⊥ AD ；
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解：证明：设 AC ∩ BD ＝ O ，
根据正四棱锥的性质可知 OA ，OB ，
OP 两两互相垂直.
以 O 为空间坐标原点建立如图所示
的空间直角坐标系.由 PA ＝ AB ＝2，
则 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ＝ OP
A 0，0）， B （0 0）， C 0，0）， D （0 0）， P （0，0 N （0 0）， M （ 0 ）.
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（ ） 0），
· （ ）· 0）＝0，所
以 MN ⊥ AD .
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（2）求 MN 与 PC 所成的角.
解： （ ） 0
设直线 MN 与直线 PC 所成角为θ，θ∈［0 ］，
则 cos θ θ .
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13. 如图，在正四棱锥 V - ABCD 中， E 为 BC 的中点， AB ＝ AV ＝2. 已
知 F 为直线 VA 上一点，且 F 与 A 不重合，若异面直线 BF 与 VE 所
成角的余弦值 .
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解析：连接 AC ， BD 交于点 O ，则 AC ⊥
BD ，因为四棱锥 V - ABCD 为正四棱锥，
故 VO ⊥底面 ABCD ，以点 O 为坐标原点，
OA ， OB ， OV 所在直线分别为 x ， y ， z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 A （ 0，0）， E （ 0）， V （0，0 B （0 0）， λ λ 0 ＝ λ，0 λ），其中0≤λ≤1 0 λ 1－λ）），∵ （ ），
由已知可得，｜ cos ｜ 6λ2－λ－2＝0，因为0≤λ≤1，解得λ .
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14. 如图所示，已知空间四边形 OABC 各边及对角线长都是1， D ， E
分别是 OA ， BC 的中点，连接 DE .
（1）求证： DE 是 OA 和 BC 的公垂线；
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解：证明：∵ E 为 BC 的中点，
∴ DB ⊥
OA ， · 0.
同理可 · 0.
∴ · ·
· · 0，∴ DE ⊥ OA .
同理可证 DE ⊥ BC .
∴ DE 是 OA 和 BC 的公垂线.
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（2）求 OA 和 BC 间的距离.
解：∵
∴｜ ｜2＝（ ）2
2 · 2
· 2 ·
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12＋12＋12＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos 60°－
2×1×1× cos 60°）

∴｜ ｜ OA 和 BC 间的距离 .
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谢 谢 观 看！
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