资源简介

7.4　三角函数应用
1.简谐运动y＝2sin的相位与初相位分别是（　　）
A.5x－，　　　　　　 B.5x－，4
C.5x－，－ D.4，
2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由下列两式确定：s1＝5sin（2t＋），s2＝5cos（2t－）.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（　　）
A.s1＞s2 B.s1＜s2
C.s1＝s2 D.不能确定
3.弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的（　　）
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P（x，y）.若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注：此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为（　　）
A.y＝sin（t＋），t∈[0，＋∞）
B.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞）
C.y＝sin（－t＋），t∈[0，＋∞）
D.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞）
5.（多选）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（　　）
A.该质点的运动周期为0.4 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
6.（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），则下列说法正确的是（　　）
A.该函数的最小正周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C.该函数的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14）
D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃
7.某人的血压满足函数式f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为　　　　.
8.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝　　　　cm.
9.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）近似描述，则该港口在11：00的水深为　　　m.
10.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内的最大温差；
（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
11.已知简谐运动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐运动的频率和初相位分别是（　　）
A.，　　B.，　　C.，　　D.，
12.（多选）阻尼器是一种以提供运动的阻力达到减振效果的专业工程装置.如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位：cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为s（t）＝3sin（ωt＋φ），其中ω＞0.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0（－3＜s0＜3）的时间分别为t1，t2，t3，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝4，则下列是s（t）的单调区间的是（　　）
A.[k，k＋1]（k∈N） B.［k＋，k＋］（k∈N）
C.[k＋1，k＋2]（k∈N） D.［k＋，k＋］（k∈N）
13.据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的模型波动（x为月份），已知3月份价格最高，为8千元，7月份价格最低，为4千元，则f（x）＝　　　　.
14.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位：小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
（1）根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin（ωt＋φ）；②y＝Acos（ωt＋φ）＋b；③y＝－Asin ωt＋b（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（2）为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
7.4　三角函数应用
1.C　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相位，即－.故选C.
2.C　当t＝时，s1＝5sin（2×＋）＝－5，s2＝5cos（2×－）＝－5，∴s1＝s2.
3.B　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s，频率f＝＝＝（Hz）.故选B.
4.C　由题意可得函数的初相位为，排除B、D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以｜ω｜＝，即ω＝－.
5.BD　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8，故A错误；最小值为－5，所以振幅为5 cm，故B正确；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0，故C错误，D正确.故选B、D.
6.ABD　由图象知A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6，∴T＝16，故A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10sin＋20，∴sin（·14＋φ）＝1.∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴y＝10sin＋20，0≤x≤24，故B正确，C错误；当x＝12时，y＝10sin（ ·12＋）＋20＝10×＋20≈27 ℃，故D正确.故选A、B、D.
7.80　解析：因为f（t）＝24sin 160πt＋110，所以T＝＝＝，f＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.
8.　解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.
9.4　解析：由题意得函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）的周期为T＝12，解得∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4（m）.
10.解：（1）x∈[4，16]，则x－∈.
由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；
当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）.
（2）令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈[4，16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌在这段时间内能存活－＝（小时）.
11.B　设简谐运动运动规律的三角函数表达式为y＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）.由题意可知A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin.由图象过点得sin φ＝，∴sin φ＝.∵｜φ｜＜，∴φ＝，因此频率是，初相位为，故选B.
12.AC　因为t1＋t2＝2，t2＋t3＝4，所以T＝t3－t1＝2，ω＝＝π.由t1＋t2＝2，得t＝1是函数图象的一条对称轴，则π＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，所以s（t）＝3sin（πt＋k1π－）＝－3cos（πt＋k1π），k1∈Z.由2kπ≤πt＋k1π≤π＋2kπ，k∈Z，解得2k－k1≤t≤1＋2k－k1，k∈Z.又t＞0，则当k1＝k时，s（t）的单调区间是[k，k＋1]（k∈N）；当k1＝k－1时，s（t）的单调区间是[k＋1，k＋2]（k∈N）.故选A、C.
13.2sin＋6　解析：由题意得∴周期T＝2×（7－3）＝8，∴ω＝＝.∴f（x）＝2sin＋6.又f（3）＝8，∴8＝2sin（ ＋φ）＋6.∴sin＝1，结合｜φ｜＜得φ＝－.∴f（x）＝2sin＋6.
14.解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
　
依题意，选②y＝Acos（ωt＋φ）＋b作为函数模型，
∴A＝＝，b＝＝，T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos＋，
又∵函数图象过点（3，2.4），
即2.4＝cos＋，
∴cos＝1，∴sin φ＝－1，
又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－，
∴y＝cos＋＝sin t＋（0≤t≤24）.
（2）由（1）知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋（k∈Z），
∴12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z），
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训队员的安全.
3 / 37.4　三角函数应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 数学建模、数学运算
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等.这些都是物体在某一中心位置附近做循环往复的运动.
　　在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0描述.描述简谐运动的物理量如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关.
【问题】　（1）物理学中，这种“物体在某一中心位置附近做循环往复的运动”称为什么运动？
（2）在适当的坐标系下，简谐运动可以用什么函数模型表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　简谐运动
简谐运动（单摆、弹簧振子等）是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin（ωx＋φ），其中，x表示　　　　，y表示相对于　　　　　　的偏离：
（1）A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为　　　　；
（2）往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的　　　　；
（3）单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的　　　　；
（4）ωx＋φ称为　　　　，x＝0时的相位φ称为　　　　　.
1.函数y＝sin的周期、振幅、初相位分别是（　　）
A.3π，， B.6π，，
C.3π，3，－ D.6π，3，
2.电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流强度为（　　）
A.1.5 A　 B.2.5 A C.3.5 A　D.4.5 A
3.函数y＝3sin的频率为　　　　.
题型一 三角函数模型在物理中的应用
【例1】　（链接教科书第214页例1）一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：厘米）与时间t（单位：秒）的函数关系是s＝6sin.
（1）画出它在一个周期内的图象；
（2）回答以下问题：
①小球开始摆动（t＝0）时，离开平衡位置多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多长时间？
通性通法
处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【跟踪训练】
1.已知简谐运动f（x）＝2sin（x＋φ）（｜φ｜＜）的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相位φ分别为　　　　.
2.已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位置）的距离h（cm）与时间t（s）的函数关系式为h＝3sin.
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标.
题型二 三角函数模型在生活中的应用
【例2】　（链接教科书第215页例2）如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，从你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
（1）求出你与地面的距离y（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数解析式；
（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
（3）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
通性通法
解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】
　某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n个月的月平均最高气温G（n）可近似地用函数G（n）＝Acos（ωn＋φ）＋k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，ω＞0，φ∈（0，π）.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3 ℃，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增，直到7月份达到最高，为33 ℃.
（1）求G（n）的解析式；
（2）某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数.
题型三 三角函数模型的拟合
【例3】　（链接教科书第217页习题7题）连云港连岛大沙湾海水浴场位于连岛中部，沙滩长约1 800米，平均宽约150米，是江苏省最大的海滨浴场，其沙滩沙质细腻，海水洁净，水温适中，也是华东地区屈指可数的健康型海水浴场之一.某“帆板”集训队在该海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：时）呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
（1）试在图中描出所给点；
（2）观察图象，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt＋φ）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.
通性通法
处理曲线拟合与预测问题的一般步骤
（1）根据原始数据绘出散点图；
（2）通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；
（4）利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
【跟踪训练】
　一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，求可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1.已知f（x）＝2sin，则下列说法错误的是（　　）
A.振幅是2
B.初相位是
C.图象有无数个对称中心
D.是奇函数
2.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ（－π＜θ＜π）与时间t（s）满足函数关系式θ＝sin（2t＋），则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是（　　）
A.， B.2，
C.，π D.2，π
3.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h（米）在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为　　　　.
7.4　三角函数应用
【基础知识·重落实】
知识点
　时间　平衡位置　（1）振幅　（2）周期　（3）频率　（4）相位　初相位
自我诊断
1.B
2.B　将t＝代入I＝5sin（100πt＋），得I＝2.5，故电流强度为2.5 A.
3.　解析：f＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）周期T＝＝1（秒）.列表：
2πt＋ π 2π
t 0 1
6sin 3 6 0 －6 0 3
描点画图，如图所示.
（2）①当t＝0时，s＝6sin＝3，故小球开始摆动（t＝0）时，离开平衡位置3厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米.
③小球来回摆动一次需要1秒（即周期）.
跟踪训练
1.6，　解析：T＝＝＝6，∵图象过点（0，1），∴sin φ＝.∵－＜φ＜，∴φ＝.
2.解：（1）令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为.
（2）由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即所求最高点为；
当h＝－3时，t的最小值为，即所求最低点为.
【例2】　解：（1）如图，建立直角坐标系，设y＝Asin（ωx＋φ）＋B，
由摩天轮的半径为40米，其中心O距离地面40.5米，∴A＝40，B＝40.5，
又摩天轮每转一圈需要12分钟，∴T＝12，∴ω＝，
又从最低处登上摩天轮，∴φ＝－，
故所求的函数解析式为y＝40sin（t－）＋40.5＝－40cost＋40.5（t≥0）.
（2）令y＝40.5－40cost＝60.5，
得cost＝－，
∴t＝π＋2kπ，k∈Z或t＝π＋2kπ，k∈Z，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20（分钟）.
（3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过（6k＋2）（k∈N）分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
跟踪训练
　解：（1）因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高，
所以最小正周期T＝2×（7－1）＝12，
所以ω＝＝，所以cos（＋φ）＝－1，cos（＋φ）＝1.
因为φ∈（0，π），所以φ＝.
因为1月份的月平均最高气温为3 ℃，7月份的月平均最高气温为33 ℃，所以－A＋k＝3，A＋k＝33，所以A＝15，k＝18.
所以G（n）的解析式为G（n）＝15cos（n＋）＋18，n∈[1，12]，n为正整数.
（2）因为G（n）＝15cos（n＋）＋18，n∈[1，12]，n为正整数，
所以G（n）在区间[1，7]上单调递增，在区间[7，12]上单调递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，且G（3）＝15cos（＋）＋18＝10.5，G（4）＝15cos（＋）＋18＝18，
所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又G（10）＝G（4）＝18，G（11）＝G（3）＝10.5，
所以该植物在11月份、12月份也可生存.
即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.
【例3】　解：（1）描出所给点如图所示.
（2）由（1）知选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b作为函数模型较合适.
令A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1（0≤t≤24）.
（3）由y＝0.4sint＋1≥0.8，则sint≥－，
则－＋2kπ≤≤＋2kπ（k∈Z），
即12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z），
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
跟踪训练
　解：设y＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，
又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin（t－），即y＝－4cos t.
随堂检测
1.D
2.A　当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.
3.h＝－6sint（0≤t≤24）
解析：设h＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），由图象知A＝6，T＝12，∴＝12，得ω＝＝.点（6，0）为“五点法”作图中的“第一点”，故×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴h＝6sin＝－6sint（0≤t≤24）.
3 / 4(共68张PPT)
7.4　三角函数应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数
学运算
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的
数学模型 数学建模、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中
浮标的上下浮动，琴弦的振动等.这些都是物体在某一中心位置附近
做循环往复的运动.
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y ＝ A sin （ω x ＋
φ）， A ＞0，ω＞0描述.描述简谐运动的物理量如振幅、周期和频率
等都与这个解析式中的常数有关.
【问题】　（1）物理学中，这种“物体在某一中心位置附近做循环
往复的运动”称为什么运动？
（2）在适当的坐标系下，简谐运动可以用什么函数模型表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　简谐运动
简谐运动（单摆、弹簧振子等）是一种周期运动，其运动规律可以用
三角函数表达为 y ＝ A sin （ω x ＋φ），其中， x 表示 ， y 表
示相对于 的偏离：
（1） A 表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为 ；
（2）往复运动一次所需的时间 T ＝ 称为这个运动的 ；
（3）单位时间内往复运动的次数 f ＝ ＝ 称为运动的 ；
（4）ω x ＋φ称为 ， x ＝0时的相位φ称为 .
时间　
平衡位置　
振幅　
周期　
频率　
相位　
初相位　
1. 函数 y ＝ sin 的周期、振幅、初相位分别是（　　）
2. 电流强度 I （单位：A）随时间 t （单位：s）变化的关系式是 I ＝5
sin ，则当 t ＝ 时，电流强度为（　　）
A. 1.5 A B. 2.5 A
C. 3.5 A D. 4.5 A
解析： 　将 t ＝ 代入 I ＝5 sin ，得 I ＝2.5，故电流
强度为2.5 A.
3. 函数 y ＝3 sin 的频率为 　 　.
解析： f ＝ ＝ ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数模型在物理中的应用
【例1】　（链接教科书第214页例1）一根细线的一端固定，另一端
悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移 s （单位：厘
米）与时间 t （单位：秒）的函数关系是 s ＝6 sin .
（1）画出它在一个周期内的图象；
解：周期 T ＝ ＝1（秒）.列表：
π 2π
t 0 1
3 6 0 －6 0 3
描点画图，如图所示.
（2）回答以下问题：
①小球开始摆动（ t ＝0）时，离开平衡位置多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多长时间？
解：①当 t ＝0时， s ＝6 sin ＝3，故小球开始摆动（ t ＝0）
时，离开平衡位置3厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米.
③小球来回摆动一次需要1秒（即周期）.
通性通法
处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同
的特点是具有周期性；
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概
念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【跟踪训练】
1. 已知简谐运动 f （ x ）＝2 sin 的图象经过点
（0，1），则该简谐运动的最小正周期 T 和初相位φ分别为 .
解析： T ＝ ＝ ＝6，∵图象过点（0，1），∴ sin φ＝ .∵－
＜φ＜ ，∴φ＝ .
6， 　
2. 已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位
置）的距离 h （cm）与时间 t （s）的函数关系式为 h ＝3 sin .
（1）求小球开始振动的位置；
解：令 t ＝0，得 h ＝3 sin ＝ ，所以开始振动的位置为
.
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标.
解：由题意知，当 h ＝3时， t 的最小值为 ，即所求最高点为
；
当 h ＝－3时， t 的最小值为 ，即所求最低点为 .
题型二 三角函数模型在生活中的应用
【例2】　（链接教科书第215页例2）如图，游乐场中的摩天轮匀速
旋转，每转一圈需要12分钟，其中心 O 距离地面40.5米，半径40米.
如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而
变化，从你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
（1）求出你与地面的距离 y （单位：米）与时间 t （单位：分钟）之
间的函数解析式；
解：如图，建立直角坐标系，设 y ＝ A sin
（ω x ＋φ）＋ B ，
由摩天轮的半径为40米，其中心 O 距离地面
40.5米，∴ A ＝40， B ＝40.5，
又摩天轮每转一圈需要12分钟，∴ T ＝12，
∴ω＝ ，又从最低处登上摩天轮，∴φ＝－ ，
故所求的函数解析式为 y ＝40 sin （ t － ）＋40.5＝－40 cos t ＋40.5（ t ≥0）.
（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解：令 y ＝40.5－40 cos t ＝60.5，
得 cos t ＝－ ，
∴ t ＝ π＋2 k π， k ∈Z或 t ＝ π＋2 k π， k ∈Z，
解得 t ＝4＋12 k ， k ∈Z或 t ＝8＋12 k ， k ∈Z，
又∵ t ≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20（分
钟）.
（3）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天
轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地
面的距离之差最大？并求出最大值.
解：与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上
方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你
恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过（6
k ＋2）（ k ∈N）分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最
大，最大值为40米.
通性通法
解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】
　某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因
此第 n 个月的月平均最高气温 G （ n ）可近似地用函数 G （ n ）＝ A
cos （ω n ＋φ）＋ k 来刻画，其中正整数 n 表示月份且 n ∈[1，12]，例
如 n ＝1表示1月份， A 和 k 是正整数，ω＞0，φ∈（0，π）.统计发
现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平
均最高气温为3 ℃，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月
递增，直到7月份达到最高，为33 ℃.
（1）求 G （ n ）的解析式；
解：因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气
温最高，
所以最小正周期 T ＝2×（7－1）＝12，
所以ω＝ ＝ ，所以 cos （ ＋φ）＝－1， cos （ ＋φ）＝1.
因为φ∈（0，π），所以φ＝ .
因为1月份的月平均最高气温为3 ℃，7月份的月平均最高气温为
33 ℃，所以－ A ＋ k ＝3， A ＋ k ＝33，所以 A ＝15， k ＝18.
所以 G （ n ）的解析式为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n 为正整数.
（2）某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，求一年
中该植物在该地区可生存的月份数.
解：因为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n
为正整数，
所以 G （ n ）在区间[1，7]上单调递增，在区间[7，12]上单调
递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，且
G （3）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝10.5， G （4）＝15 cos
（ ＋ ）＋18＝18，
所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又 G （10）＝ G （4）＝18， G （11）＝ G （3）＝10.5，
所以该植物在11月份、12月份也可生存.
即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.
题型三 三角函数模型的拟合
【例3】　（链接教科书第217页习题7题）连云港连岛大沙湾海水浴
场位于连岛中部，沙滩长约1 800米，平均宽约150米，是江苏省最大
的海滨浴场，其沙滩沙质细腻，海水洁净，水温适中，也是华东地区
屈指可数的健康型海水浴场之一.某“帆板”集训队在该海滨区域进
行集训，该海滨区域的海浪高度 y （米）随着时间 t （0≤ t ≤24，单
位：时）呈周期性变化，每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表：
t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
（1）试在图中描出所给点；
解：描出所给点如图所示.
解：由（1）知选择 y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b 作为函数模型
较合适.
令 A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.
由图知， A ＝0.4， b ＝1， T ＝12，所以ω＝ ＝ .
把 t ＝0， y ＝1代入 y ＝0.4 sin ＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为 y ＝0.4 sin t ＋1（0≤ t ≤24）.
（2）观察图象，从 y ＝ at ＋ b ， y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b ， y ＝ A cos
（ω t ＋φ）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解
析式；
（3）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才
进行训练，试安排恰当的训练时间.
解：由 y ＝0.4 sin t ＋1≥0.8，则 sin t ≥－ ，
则－ ＋2 k π≤ ≤ ＋2 k π（ k ∈Z），
即12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z），
注意到 t ∈[0，24]，所以0≤ t ≤7，或11≤ t ≤19，或23≤ t
≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
通性通法
处理曲线拟合与预测问题的一般步骤
（1）根据原始数据绘出散点图；
（2）通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合
直线或拟合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；
（4）利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便
为决策和管理提供依据.
【跟踪训练】
　一物体相对于某一固定位置的位移 y （cm）和时间 t （s）之间的一
组对应值如下表所示，求可近似地描述该物体的位置 y 和时间 t 之间的
关系的一个三角函数式.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解：设 y ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），则从表中数据可以得
到 A ＝4，ω＝ ＝ ＝ ，
又由4 sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取φ＝－ ，故 y ＝4 sin （ t －
），即 y ＝－4 cos t .
1. 已知 f （ x ）＝2 sin ，则下列说法错误的是（　　）
A. 振幅是2
C. 图象有无数个对称中心 D. 是奇函数
2. 如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、 OB 为终边的角
θ（－π＜θ＜π）与时间 t （s）满足函数关系式θ＝ sin （2 t ＋
），则当 t ＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是（　　）
D. 2，π
解析： 　当 t ＝0时，θ＝ sin ＝ ，由函数解析式易知单摆的周
期为 ＝π，故单摆的频率为 .

h ＝
－6 sin t （0≤ t ≤24）　
解析：设 h ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），由图象知 A ＝6，
T ＝12，∴ ＝12，得ω＝ ＝ .点（6，0）为“五点法”作图中
的“第一点”，故 ×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴ h ＝6 sin
＝－6 sin t （0≤ t ≤24）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 简谐运动 y ＝2 sin 的相位与初相位分别是（　　）
解析： 　相位是5 x － ，当 x ＝0时的相位为初相位，即－ .
故选C.
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2. 在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1和 M2的小球，它们做上下自
由振动.已知它们在时间 t （s）时离开平衡位置的位移 s1（cm）和
s2（cm）分别由下列两式确定： s1＝5 sin （2 t ＋ ）， s2＝5 cos
（2 t － ）.则在时间 t ＝ 时， s1与 s2的大小关系是（　　）
A. s1＞ s2 B. s1＜ s2
C. s1＝ s2 D. 不能确定
解析： 　当 t ＝ 时， s1＝5 sin （2× ＋ ）＝－5， s2＝5 cos
（2× － ）＝－5，∴ s1＝ s2.
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3. 弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可
知该振子振动的（　　）
A. 频率为1.5 Hz B. 周期为1.5 s
C. 周期为6 s D. 频率为6 Hz
解析： 　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易
知在6 s内振动了4个周期，所以 T ＝1.5 s，频率 f ＝ ＝ ＝
（Hz）.故选B.
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4. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
位置 P （ x ， y ）.若初始位置为 P0（ ， ），当秒针从 P0（注：
此时 t ＝0）开始走时，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数解析式为
（　　）
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解析： 　由题意可得函数的初相位为 ，排除B、D，又 T ＝60且
秒针按顺时针旋转，即 T ＝ ＝60，所以｜ω｜＝ ，即ω＝
－ .
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5. （多选）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的
是（　　）
A. 该质点的运动周期为0.4 s
B. 该质点的振幅为5 cm
C. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
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解析： 　由题图可知， ＝0.7－0.3＝0.4，所以 T ＝0.8，故A
错误；最小值为－5，所以振幅为5 cm，故B正确；在0.1 s和0.5 s
时，质点到达运动的端点，所以速度为0，故C错误，D正确.故选
B、D.
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6. （多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地
满足函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （ A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π），则
下列说法正确的是（　　）
A. 该函数的最小正周期是16
B. 该函数图象的一条对称轴是直线 x ＝14
D. 该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃
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解析： 　由图象知 A ＋ B ＝30，－ A ＋ B ＝10，∴ A ＝10， B
＝20.∵ ＝14－6，∴ T ＝16，故A正确；∵ T ＝ ，∴ω＝ ，
∴ y ＝10 sin ＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10
sin ＋20，∴ sin ＝1.∵0＜φ＜π，∴φ＝
，∴ y ＝10 sin ＋20，0≤ x ≤24，故B正确，C错误；
当 x ＝12时， y ＝10 sin （ ·12＋ ）＋20＝10× ＋20≈27 ℃，故D
正确.故选A、B、D.
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7. 某人的血压满足函数式 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，其中 f （ t ）为
血压（单位：mmHg）， t 为时间（单位：min），则此人每分钟心
跳的次数为 .
解析：因为 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，所以 T ＝ ＝ ＝ ，
f ＝ ＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.
80　
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8. 一根长 l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离
开平衡位置的位移 s （cm）与时间 t （s）的函数关系式为 s ＝3 cos
（ t ＋ ），其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，
线长 l ＝ cm.
解析：由已知得 ＝1，所以 ＝2π， ＝4π2， l ＝ .
　
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9. 如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
时刻 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深
（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深 y （m）和时刻 t （0≤ t ≤24）的关系可用函数 y ＝
A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）近似描述，则该港口在
11：00的水深为 m.
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解析：由题意得函数 y ＝ A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）
的周期为 T ＝12，解得∴ω＝ ＝ ，∴ y ＝
2 sin t ＋5，∴该港口在11：00的水深为 y ＝2 sin π＋5＝4（m）.
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10. 已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数 y ＝10
sin ＋20， x ∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内的最大温差；
解： x ∈[4，16]，则 x － ∈ .
由函数解析式易知，当 x － ＝ ，即 x ＝14时，函数取得
最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；
当 x － ＝－ ，即 x ＝6时，函数取得最小值，最小值为
10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）.
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（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时
间内，该细菌能生存多长时间？
解： 令10 sin ＋20＝15，
可得 sin ＝－ ，而 x ∈[4，16]，
所以 x ＝ .
令10 sin ＋20＝25，
可得 sin ＝ ，
而 x ∈[4，16]，所以 x ＝ .
故该细菌在这段时间内能存活 － ＝ （小时）.
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11. 已知简谐运动的振幅是 ，图象上相邻最高点和最低点的距离是
5，且过点 ，则该简谐运动的频率和初相位分别是（　　）
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解析： 　设简谐运动运动规律的三角函数表达式为 y ＝ A sin （ω
x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）.由题意可知 A ＝ ，32＋
＝52，则 T ＝8，ω＝ ＝ ，∴ y ＝ sin .由图象过
点 得 sin φ＝ ，∴ sin φ＝ .∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，因
此频率是 ，初相位为 ，故选B.
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12. （多选）阻尼器是一种以提供运动的阻力达到减振效果的专业工
程装置.如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被
称为“镇楼神器”.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程
可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 s （单位：cm）和时
间 t （单位：s）的函数关系式为 s （ t ）＝3 sin （ω t ＋φ），其中
ω＞0.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 s0（－3＜ s0
＜3）的时间分别为 t1， t2， t3，且 t1＋ t2＝2， t2＋ t3＝4，则下列
是 s （ t ）的单调区间的是（　　）
A. [ k ， k ＋1]（ k ∈N）
C. [ k ＋1， k ＋2]（ k ∈N）
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解析： 　因为 t1＋ t2＝2， t2＋ t3＝4，所以 T ＝ t3－ t1＝2，
ω＝ ＝π.由 t1＋ t2＝2，得 t ＝1是函数图象的一条对称轴，
则π＋φ＝ k1π＋ ， k1∈Z，即φ＝ k1π－ ， k1∈Z，所以 s
（ t ）＝3 sin （π t ＋ k1π－ ）＝－3 cos （π t ＋ k1π），
k1∈Z. 由2 k π≤π t ＋ k1π≤π＋2 k π， k ∈Z，解得2 k － k1≤ t
≤1＋2 k － k1， k ∈Z. 又 t ＞0，则当 k1＝ k 时， s （ t ）的单
调区间是[ k ， k ＋1]（ k ∈N）；当 k1＝ k －1时， s （ t ）的
单调区间是[ k ＋1， k ＋2]（ k ∈N）.故选A、C.
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13. 据市场调查，某种商品每件的售价按月呈 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋
φ）＋ B 的模型波动（ x 为月份），已知
3月份价格最高，为8千元，7月份价格最低，为4千元，则 f （ x ）
＝ .
2 sin ＋6　
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解析：由题意得∴周期 T ＝2×（7－3）
＝8，∴ω＝ ＝ .∴ f （ x ）＝2 sin ＋6.又 f （3）＝8，
∴8＝2 sin （ ＋φ）＋6.∴ sin ＝1，结合｜φ｜＜ 得φ
＝－ .∴ f （ x ）＝2 sin ＋6.
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14. 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行
集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深 y （米）是随着一
天的时间 t （0≤ t ≤24，单位：小时）呈周期性变化，某天各时
刻 t 的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
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（1）根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从① y ＝ A sin
（ω t ＋φ）；② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b ；③ y ＝－ A sin ω t
＋ b （ A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模
型，并求出该拟合模型的函数解析式；
解： 根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
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依题意，选② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b 作为函数模型，
∴ A ＝ ＝ ， b ＝ ＝ ， T ＝12，
∴ω＝ ＝ ，
∴ y ＝ cos ＋ ，
又∵函数图象过点（3，2.4），
即2.4＝ cos ＋ ，
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∴ cos ＝1，∴ sin φ＝－1，
又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ ，
∴ y ＝ cos ＋ ＝ sin t ＋ （0≤ t ≤24）.
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（2）为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05
米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试
问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队
员的安全？
解： 由（1）知， y ＝ sin t ＋ ，
令 y ≥1.05，即 sin t ＋ ≥1.05，
∴ sin t ≥－ ，
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∴2 k π－ ≤ t ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
∴12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z），
又∵5≤ t ≤18，
∴5≤ t ≤7或11≤ t ≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训
队员的安全.
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