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一、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.借助单位圆的对称性，能利用定义推导出诱导公式（±α，π±α的正弦、余弦、正切）；能运用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
【例1】　（1）已知cos＝，则cos（－x）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
（2）已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋＝　　　　；
（3）已知sin（α＋π）＝，且sin αcos α＜0，则＝　　　　.
反思感悟
1.使用同角三角函数的基本关系式，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号，若正切、正弦、余弦同时出现在问题中，则常用切化弦，有时也可将正弦、余弦转化为正切进行求解.
2.诱导公式类型多，使用时不要死记公式，要学会“以不变应万变”，只需注意以下三点：（1）判断是否能用诱导公式；（2）若能用诱导公式，判断三角函数的“名”是否改变；（3）判断符号是否改变.
二、三角函数的图象与性质
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、对称性与奇偶性.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在上的性质（如单调性、最值、图象与x轴交点等）.
【例2】　（1）（多选）设函数f（x）＝cos（x＋），则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x＋π）的图象与x轴的一个交点为（，0）
D.f（x）在（，π）上单调递减
（2）已知函数f（x）＝sin在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
反思感悟
关于三角函数的图象和性质
（1）熟练掌握正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、图象、周期性、单调性等性质；
（2）对于函数y＝Asin（ωx＋φ）、y＝Acos（ωx＋φ）、y＝Atan（ωx＋φ）的图象和性质，将ωx＋φ看作整体，利用整体代换思想解题是常用的解题技巧.
三、函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B
　　掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的“五点法”作图，图象的伸缩、平移变换，由图象能求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式，并进一步研究其性质（值域、单调性、奇偶性、对称性等）.
【例3】　（1）已知x∈（0，π]，关于x的方程2sin（x＋）＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为　　　　；
（2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象.
①求f（x）与g（x）的解析式；
②求函数g（x）的单调递增区间；
③求f（x）在［－，）上的值域.
反思感悟
1.由函数y＝sin x的图象得到y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩.
2.已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的图象，确定其解析式的步骤：
（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
（3）求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
四、三角函数模型的应用
　　会用三角函数解决简单的实际问题，会构建三角函数模型刻画事物周期变化的规律.
【例4】　在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间t（h）近似满足关系式d＝Asin（ωt＋φ）＋h（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）.
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（保留一位小数）
（3）10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m？
反思感悟
　　三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：
（1）审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式；
（2）利用题目条件及诱导公式等求函数解析式，最后通常要整理为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式；
（3）在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.
章末复习与总结
【例1】　（1）B　（2）2　（3）－　
解析：（1）cos＝cos［π－（x－）］＝－cos（x－）＝－.故选B.
（2）由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，∴tan α＋＝＋＝＝＝2.
（3）∵sin（α＋π）＝，∴sin α＝－.又∵sin αcos α＜0，∴cos α＞0，cos α＝＝，∴tan α＝－.原式＝＝＝－.
【例2】　（1）ABC　（2）
解析：（1）由三角函数的周期公式可得T＝＝2π，所以－2π也是f（x）的一个周期，所以A正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把x＝代入函数f（x）＝cos（x＋）得，f（）＝cos（＋）＝cos 3π＝－1，所以B正确；令f（x＋π）＝cos（x＋π＋）＝－cos（x＋）＝0，解得其中一个解是x＝，所以C正确；函数f（x）在区间（，π）上有增有减，D不正确.
（2）由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.取k＝0，得－≤x≤，则函数f（x）＝sin的一个增区间为.因为函数f（x）＝sin在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，所以0＜a≤.
【例3】　（1）（，2）　
解析：令y1＝2sin（x＋），x∈（0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示.若2sin（x＋）＝a在（0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2的图象应有两个不同的交点，所以＜a＜2.
（2）解：①由图象可知A＝2，＝－＝，
则T＝π，所以ω＝＝＝2，
又图象过点（，－2），所以－2＝2sin（2×＋φ），可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为｜φ｜＜，得φ＝，所以f（x）＝2sin（2x＋），
因为将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，
所以g（x）＝2sin［2（x－）＋］＝2sin（2x－）.
②因为g（x）＝2sin（2x－），
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
③因为x∈［－，），所以2x＋∈［－，），
所以f（x）∈[－，2）.
【例4】　解：（1）依题意知T＝＝12，故ω＝，易知h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin（t＋φ）＋12.2.
因为当t＝4时，d＝16，所以sin（＋φ）＝1，
又｜φ｜＜，所以φ＝－，
所以d＝3.8sin（t－）＋12.2.
（2）当t＝17时，d＝3.8sin（－）＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5（m）.
故10月10日17：00该港口水深约为15.5 m.
（3）令3.8sin（t－）＋12.2＜10.3，
得sin（t－）＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12，k∈Z，又t∈[0，24].
令k＝0，得t∈（8，12）；令k＝1，得t∈（20，24）.
12－8＋（24－20）＝8（h）.
故10月10日这一天该港口共有8 h水深低于10.3 m.
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章末复习与总结
　　
一、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1. 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2α＋ cos 2α＝1，
＝tan α.
2. 借助单位圆的对称性，能利用定义推导出诱导公式（ ±α，
π±α的正弦、余弦、正切）；能运用诱导公式解决一些三角函数
的求值、化简和证明问题.
【例1】　（1）已知 cos ＝ ，则 cos （ － x ）＝
（　B　）
解析： cos ＝ cos ＝－ cos （ x － ）＝－ .
故选B.
B
（2）已知 sin α＋ cos α＝－ ，则tan α＋ ＝ ；
解析：由已知得1＋2 sin α cos α＝2，∴ sin α cos α＝ ，
∴tan α＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝2.
2　
（3）已知 sin （α＋π）＝ ，且 sin α cos α＜0，则
＝ 　－ 　.
解析：∵ sin （α＋π）＝ ，∴ sin α＝－ .又∵ sin α cos
α＜0，∴ cos α＞0， cos α＝ ＝ ，∴tan α＝
－ .原式＝ ＝ ＝－ .
－ 　
反思感悟
1. 使用同角三角函数的基本关系式，要注意根据角的范围判断三角函
数值的符号，若正切、正弦、余弦同时出现在问题中，则常用切化
弦，有时也可将正弦、余弦转化为正切进行求解.
2. 诱导公式类型多，使用时不要死记公式，要学会“以不变应万
变”，只需注意以下三点：（1）判断是否能用诱导公式；（2）若
能用诱导公式，判断三角函数的“名”是否改变；（3）判断符号
是否改变.
二、三角函数的图象与性质
1. 能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周
期性、对称性与奇偶性.
2. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在
上的性质（如单调性、最值、图象与 x 轴交点等）.
【例2】　（1）（多选）设函数 f （ x ）＝ cos （ x ＋ ），则下列结
论正确的是（　ABC　）
A. f （ x ）的一个周期为－2π
ABC
解析：由三角函数的周期公式可得 T ＝ ＝2π，所以－2π也是 f （ x ）
的一个周期，所以A正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以
把 x ＝ 代入函数 f （ x ）＝ cos （ x ＋ ）得， f （ ）＝ cos （ ＋
）＝ cos 3π＝－1，所以B正确；令 f （ x ＋π）＝ cos （ x ＋π＋ ）＝
－ cos （ x ＋ ）＝0，解得其中一个解是 x ＝ ，所以C正确；函数 f
（ x ）在区间（ ，π）上有增有减，D不正确.
（2）已知函数 f （ x ）＝ sin 在区间[0， a ]（其中 a ＞0）上
单调递增，则实数 a 的取值范围是 .
　
解析：由－ ＋2 k π≤2 x ＋ ≤ ＋2 k π， k ∈Z，得－ ＋ k π≤
x ≤ ＋ k π， k ∈Z. 取 k ＝0，得－ ≤ x ≤ ，则函数 f （ x ）
＝ sin 的一个增区间为 .因为函数 f （ x ）＝
sin 在区间[0， a ]（其中 a ＞0）上单调递增，所以0＜ a≤ .
反思感悟
关于三角函数的图象和性质
（1）熟练掌握正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、图象、周期
性、单调性等性质；
（2）对于函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）、 y ＝ A cos （ω x ＋φ）、 y ＝ A
tan（ω x ＋φ）的图象和性质，将ω x ＋φ看作整体，利用整体代
换思想解题是常用的解题技巧.
三、函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B
　　掌握函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的图象的“五点法”作图，图象的
伸缩、平移变换，由图象能求函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的解析式，并
进一步研究其性质（值域、单调性、奇偶性、对称性等）.
【例3】　（1）已知 x ∈（0，π]，关于 x 的方程2 sin （ x ＋ ）＝ a 有
两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为 ；
解析：令 y1＝2 sin （ x ＋ ）， x ∈（0，π]， y2＝
a ，作出 y1的图象如图所示.若2 sin （ x ＋ ）＝ a 在
（0，π]上有两个不同的实数解，则 y1与 y2的图象应
有两个不同的交点，所以 ＜ a ＜2.
（ ，2）　
（2）已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（其中 A ＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）的部分图象如图所示，将函数 f （ x ）的图象向右平移 个
单位长度，得到函数 g （ x ）的图象.
①求 f （ x ）与 g （ x ）的解析式；
②求函数 g （ x ）的单调递增区间；
③求 f （ x ）在［－ ， ）上的值域.
解：①由图象可知 A ＝2， ＝ － ＝ ，
则 T ＝π，所以ω＝ ＝ ＝2，
又图象过点（ ，－2），所以－2＝2 sin （2× ＋φ），可得
＋φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，所以φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，
因为｜φ｜＜ ，得φ＝ ，所以 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋ ），
因为将函数 f （ x ）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g
（ x ）的图象，
所以 g （ x ）＝2 sin ［2（ x － ）＋ ］＝2 sin （2 x － ）.
②因为 g （ x ）＝2 sin （2 x － ），
由2 k π－ ≤2 x － ≤2 k π＋ ， k ∈Z，得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ ，
k ∈Z，
所以函数 g （ x ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］， k
∈Z.
③因为 x ∈［－ ， ），所以2 x ＋ ∈［－ ， ），
所以 f （ x ）∈[－ ，2）.
反思感悟
1. 由函数 y ＝ sin x 的图象得到 y ＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0）的图
象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的
区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换
的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，
再进行平移或伸缩.
2. 已知函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （ A ＞0，ω＞0）的图象，确定
其解析式的步骤：
（1）求 A ， B ，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，则 A ＝ ， B
＝ ；
（2）求ω，确定函数的周期 T ，则ω＝ ；
（3）求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区
间还是下降区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点
求解.
四、三角函数模型的应用
　　会用三角函数解决简单的实际问题，会构建三角函数模型刻画事
物周期变化的规律.
【例4】　在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水
的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每
天涨潮落潮时，水的深度 d （m）与时间 t （h）近似满足关系式 d ＝ A
sin （ω t ＋φ）＋ h （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）.
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深 d （m）和
时间 t （h）之间的函数关系；
解：依题意知 T ＝ ＝12，故ω＝ ，易知 h ＝ ＝12.2， A
＝16－12.2＝3.8，
所以 d ＝3.8 sin （ t ＋φ）＋12.2.
因为当 t ＝4时， d ＝16，
所以 sin （ ＋φ）＝1，
又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，
所以 d ＝3.8 sin （ t － ）＋12.2.
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（保留一位小数）
解：当 t ＝17时， d ＝3.8 sin （ － ）＋12.2＝3.8 sin ＋
12.2≈15.5（m）.
故10月10日17：00该港口水深约为15.5 m.
（3）10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m？
解：令3.8 sin （ t － ）＋12.2＜10.3，
得 sin （ t － ）＜－ ，
因此2 k π＋ ＜ t － ＜2 k π＋ ， k ∈Z，
所以12 k ＋8＜ t ＜12 k ＋12， k ∈Z，又 t ∈[0，24].
令 k ＝0，得 t ∈（8，12）；
令 k ＝1，得 t ∈（20，24）.
12－8＋（24－20）＝8（h）.
故10月10日这一天该港口共有8 h水深低于10.3 m.
反思感悟
　　三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步
骤如下：
（1）审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系
式；
（2）利用题目条件及诱导公式等求函数解析式，最后通常要整理为 y
＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B 的形式；
（3）在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.
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