资源简介

章末检测（七）　三角函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是（　　）
A. B.
C. D.
2.sin 600°＋tan 240°＝（　　）
A.－ B.
C.－＋ D.＋
3.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是（　　）
A.y＝sin（ 2x－） B.y＝sin（ ＋）
C.y＝sin（ 2x＋） D.y＝sin（ 2x－）
4.已知角α的终边过点（1，2），则＝（　　）
A. B.
C.－2 D.－
5.函数f（x）＝，x∈（－，）的图象大致是（　　）
6.将函数f（x）＝2sin（ x－）的图象向右平移φ（ 0≤φ≤）个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为偶函数，则φ＝（　　）
A. B.
C. D.
7.可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆O，在圆O内作互相垂直的直径AB和CD.取线段OB的中点E，以E为圆心，以EC为半径作弧，交OA于F.以C为圆心，以CF为半径在圆O上依次截取相等的圆弧，连接CM，CH，GN，GM，NH，得到如图所示的正五角星，则图中扇形OAN的面积为（　　）
A. B.
C. D.
8.方程lg｜x｜＝sin的实数根的个数为（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列结论正确的是（　　）
A.－是第三象限角
B.sin 2＞0
C.若角α的终边上有一点P（－3，4），则cos α＝－
D.若角α为锐角，则角2α为钝角
10.已知函数f（x）＝2sin＋1，则下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的图象关于点对称
B.函数f（x）图象的一条对称轴是x＝－
C.若x∈，则函数f（x）的最小值为＋1
D.若0＜x1＜x2＜π，则f（x1）＜f（x2）
11.古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cot x＝tan（ －x），则下列关于余切函数的说法正确的是（　　）
A.定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}
B.在区间（ ，π）上单调递增
C.与正切函数有相同的对称中心
D.将函数y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cot x的图象
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知cos（45°＋α）＝，则cos（135°－α）＝　　　　.
13.函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为　　　　.
14.设定义在区间上的函数y＝cos x与y＝tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知f（x）＝.
（1）化简函数f（x）；（2）若f（α）＝3，求.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的部分图象如图所示.若将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g（x）的图象.
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，2]时，求g（x）的单调递减区间.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的最小正周期为π，从下列两个条件中选择一个作为已知条件解答问题：
条件①：f（x）的图象关于点对称；
条件②：f（x）的图象关于直线x＝对称.
（1）请写出你选择的条件，并求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，求f（x）的最大值和最小值，并指出相应的x的取值.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）如图，摩天轮的半径为50 m，圆心O距地面的高度为65 m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30 min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.
（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动t min后，他距离地面的高度为h，求h关于t的函数解析式；
（2）已知在距离地面超过40 m的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝2sin.
（1）求函数f（x）的最小值及f（x）取到最小值时自变量x的集合；
（2）指出函数y＝f（x）的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；
（3）当x∈[0，m]时，函数y＝f（x）的值域为[－，2]，求实数m的取值范围.
章末检测（七）　三角函数
1.C　与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.
2.B　sin 600°＝sin（360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－，tan 240°＝tan（180°＋60°）＝tan 60°＝，因此sin 600°＋tan 240°＝.
3.C　∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x＝对称，∴f （ ）＝±1，故C正确.故选C.
4.A　由题意可得：cos α＝＝，所以＝＝cos α＝.故选A.
5.A　函数f（－x）＝＝－＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，排除D；当0＜x＜时，2cos x－1＞0，则f（x）＞0，排除B、C.
6.A　由题意g（x）＝f（x－φ）＝2sin（ x－φ－）＝2cos［－（ x－φ－）］＝2cos（ －x＋φ＋）是偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又0≤φ≤，所以k＝1，φ＝.故选A.
7.A　如图，连接OG，OM，OH，则∠CON＝＝72°， 又∠AOC＝90°，所以∠AON＝90°－72°＝18°，化为弧度为 rad，所以扇形OAN的面积为××12＝.故选A.
8.C　由－1≤sin≤1，得－1≤lg｜x｜≤1，即≤｜x｜≤10，方程lg｜x｜＝sin的实数根的个数就是函数y＝lg｜x｜与y＝sin图象公共点的个数，当x＞0时，两函数图象如图所示，
两图象有3个公共点，同理，当x＜0时，两图象也有3个公共点，故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根.故选C.
9.BC　选项A中，－＝－2π＋是第二象限角，A错误；选项B中，由2 rad终边位于第二象限，所以sin 2＞0，B正确；选项C中，＝5，所以cos α＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误.故选B、C.
10.BC　A项，令2x－＝kπ（k∈Z）知函数f（x）关于点（k∈Z）对称，所以A错误；B项，令2x－＝＋kπ（k∈Z）知函数f（x）关于x＝＋（k∈Z）对称，当k＝－1时，x＝－，所以B正确；C项，若x∈，则2x－∈，故函数f（x）的最小值为＋1，所以C正确；D项，当x∈（0，π）时，2x－∈，f（x）不具有单调性，所以D错误.故选B、C.
11.ACD　由正切函数的定义域可知－x≠kπ＋，即x≠－kπ（k∈Z），所以余切函数定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，故A正确；当x∈（ ，π）时，－＜－x＜0，因为t＝－x为减函数，y＝tan t，t∈（ －，0）单调递增，由复合函数单调性知y＝cot x＝tan（ －x）在区间（ ，π）上单调递减，故B错误；因为y＝tan x的对称中心为（ ，0）（k∈Z），令－x＝（k∈Z），解得x＝，由k∈Z，可知x＝（n＝1－k∈Z），即f（x）＝cot x的对称中心为（ ，0）（n∈Z），故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得y＝－tan（ x－）＝tan（ －x）＝cot x的图象，故D正确.故选A、C、D.
12.－　解析：cos（135°－α）＝cos[180°－（45°＋α）]＝－cos（45°＋α）＝－.
13.［2k－，2k－］，k∈Z　解析：由图象知T＝＝2，∴ω＝π，由五点作图法得＋φ＝π，即φ＝，∴f（x）＝sin（πx＋），令2kπ－≤πx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2k－≤x≤2k－，k∈Z.∴f（x）的单调递增区间为［2k－，2k－］，k∈Z.
14.　解析：不妨设P1坐标为（x0，0），则P1P2的长为sin x0.∵y＝cos x与y＝tan x的图象交于点P，即cos x0＝tan x0，cos x0＝，解得sin x0＝，则线段P1P2的长为.
15.解：（1）f（x）＝＝＝tan x.
（2）因为f（α）＝3，所以tan α＝3，
所以分子分母同除以cos α有＝＝＝1.
16.解：（1）由图象可知A＝1，函数最小正周期T＝2×（ －）＝2，∴ω＝＝π，
由f（ ）＝0，得sin（ ＋φ）＝0，则＋φ＝2kπ，k∈Z，
则φ＝2kπ－，k∈Z，结合｜φ｜＜π，可得φ＝－，故f（x）＝sin（ πx－）.
（2）由题意可得g（x）＝sin（ x－），
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得4k＋≤x≤4k＋，k∈Z，
当k＝0时，g（x）的单调递减区间为［，］，k取其他值时与区间[0，2]无交集，
故当x∈[0，2]时，g（x）的单调递减区间为［，2］.
17.解：（1）若选①，由题意得，＝π，则ω＝2，
因为函数的图象关于点对称，所以2×＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝－＋kπ（k∈Z），
而－＜φ＜，则φ＝，于是f（x）＝2sin（ 2x＋）.
若选②，由题意得，＝π，则ω＝2，
因为函数的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝＋kπ（k∈Z），
解得φ＝＋kπ（k∈Z），而－＜φ＜，则φ＝，
于是f（x）＝2sin.
（2）结合（1），因为x∈，所以2x＋∈，
则当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）有最小值f ＝2sin＝－，
当2x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值f＝2sin＝2.
18.解：（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.
设游客的位置为点P.
因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30 min转动一圈，
所以OP在t min内所转过的角为＝.
因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，
所以，以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角为－，
因此P点的纵坐标为50sin.
从而游客距离地面的高度h＝50sin＋65＝65－50cos，t≥0.
（2）令h＝65－50cos＞40，得cos＜，
所以2kπ＋＜＜2kπ＋，即30k＋5＜t＜30k＋25，k∈N，
令k＝0，则5＜t＜25.
由于在距离地面超过40 m的高度，游客可以观看到游乐场全景，
因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25－5＝20（min）.
19.解：（1）f（x）min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，即此时自变量x的集合是.
（2）把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin（ x－）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin（ 2x－）的图象，最后再把函数y＝sin（ 2x－）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象.
（3）函数f（x）＝2sin（2x－）的图象
如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f（x）可以取到最大值2，所以m≥.
又函数y＝f（x）在上单调递减，f（0）＝－，
故m的最大值为内使函数值为－的值，令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范围是.
4 / 4(共41张PPT)
章末检测（七）　
三角函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在0到2π范围内，与角－ 终边相同的角是（　　）
解析： 　与角－ 终边相同的角是2 k π＋ ， k ∈Z，令 k ＝
1，可得与角－ 终边相同的角是 ，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. sin 600°＋tan 240°＝（　　）
解析： 　 sin 600°＝ sin （360°＋240°）＝ sin 240°＝ sin
（180°＋60°）＝－ sin 60°＝－ ，tan 240°＝tan（180°＋
60°）＝tan 60°＝ ，因此 sin 600°＋tan 240°＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线 x ＝ 对称的是
（　　）
解析： 　∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线 x ＝ 对
称，∴ f （ ）＝±1，故C正确.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 已知角α的终边过点（1，2），则 ＝
（　　）
C. －2
解析： 　由题意可得： cos α＝ ＝ ，所以
＝ ＝ cos α＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 函数 f （ x ）＝ ， x ∈（－ ， ）的图象大致是（　　）
解析： 　函数 f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），则
函数 f （ x ）是奇函数，排除D；当0＜ x ＜ 时，2 cos x －1＞0，则
f （ x ）＞0，排除B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 将函数 f （ x ）＝2 sin （ x － ）的图象向右平移φ（ 0≤φ≤ ）个
单位长度得到函数 g （ x ）的图象，若函数 g （ x ）为偶函数，则φ
＝（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　由题意 g （ x ）＝ f （ x －φ）＝2 sin （ x －φ－ ）＝2
cos ［ －（ x －φ－ ）］＝2 cos （ － x ＋φ＋ ）是偶函数，所
以φ＋ ＝ k π， k ∈Z，解得φ＝ k π－ ， k ∈Z，又0≤φ≤ ，所
以 k ＝1，φ＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以
1为半径画圆 O ，在圆 O 内作互相垂直的直径 AB 和 CD . 取线段 OB
的中点 E ，以 E 为圆心，以 EC 为半径作弧，交 OA 于 F . 以 C 为圆
心，以 CF 为半径在圆 O 上依次截取相等的圆弧，连接 CM ， CH ，
GN ， GM ， NH ，得到如图所示的正五角星，则图中扇形 OAN 的
面积为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　如图，连接 OG ， OM ， OH ，则∠
CON ＝ ＝72°， 又∠ AOC ＝90°，所以∠
AON ＝90°－72°＝18°，化为弧度为 rad，所
以扇形 OAN 的面积为 × ×12＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 方程lg｜ x ｜＝ sin 的实数根的个数为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析： 　由－1≤ sin ≤1，得－1≤lg｜ x ｜≤1，即
≤｜ x ｜≤10，方程lg｜ x ｜＝ sin 的实数根的个数就是函数
y ＝lg｜ x ｜与 y ＝ sin 图象公共点的个数，当 x ＞0时，两函
数图象如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
两图象有3个公共点，同理，当 x ＜0时，两图象也有3个公共点，
故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（　　）
B. sin 2＞0
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　选项A中，－ ＝－2π＋ 是第二象限角，A错误；
选项B中，由2 rad终边位于第二象限，所以 sin 2＞0，B正确；选项
C中， ＝5，所以 cos α＝－ ，C正确；选项D中，
α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 已知函数 f （ x ）＝2 sin ＋1，则下列说法正确的是
（　　）
D. 若0＜ x1＜ x2＜π，则 f （ x1）＜ f （ x2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　A项，令2 x － ＝ k π（ k ∈Z）知函数 f （ x ）关于点
（ k ∈Z）对称，所以A错误；B项，令2 x － ＝ ＋
k π（ k ∈Z）知函数 f （ x ）关于 x ＝ ＋ （ k ∈Z）对称，当 k
＝－1时， x ＝－ ，所以B正确；C项，若 x ∈ ，则2 x －
∈ ，故函数 f （ x ）的最小值为 ＋1，所以C正确；D
项，当 x ∈（0，π）时，2 x － ∈ ， f （ x ）不具有单
调性，所以D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余
切函数可以用符号表示为 f （ x ）＝cot x ，其中cot x ＝tan（ －
x ），则下列关于余切函数的说法正确的是（　　）
A. 定义域为{ x ｜ x ≠ k π， k ∈Z}
C. 与正切函数有相同的对称中心
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　由正切函数的定义域可知 － x ≠ k π＋ ，即 x ≠－
k π（ k ∈Z），所以余切函数定义域为{ x ｜ x ≠ k π， k ∈Z}，故A
正确；当 x ∈（ ，π）时，－ ＜ － x ＜0，因为 t ＝ － x 为减
函数， y ＝tan t ， t ∈（ － ，0）单调递增，由复合函数单调性知
y ＝cot x ＝tan（ － x ）在区间（ ，π）上单调递减，故B错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
因为 y ＝tan x 的对称中心为（ ，0）（ k ∈Z），令 － x ＝ （ k
∈Z），解得 x ＝ ，由 k ∈Z，可知 x ＝ （ n ＝1－ k ∈Z），
即 f （ x ）＝cot x 的对称中心为（ ，0）（ n ∈Z），故余切函数与正
切函数有相同的对称中心，故C正确； y ＝－tan x 的图象向右平移 个
单位长度可得 y ＝－tan（ x － ）＝tan（ － x ）＝cot x 的图象，故D
正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知 cos （45°＋α）＝ ，则 cos （135°－α）＝ 　－ 　.
解析： cos （135°－α）＝ cos [180°－（45°＋α）]＝－ cos
（45°＋α）＝－ .
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如
图所示，则 f （ x ）的单调递增区间为
.
［2 k － ，2 k － ］， k
∈Z　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：由图象知 T ＝ ＝2，∴ω＝π，由五点作图法得 ＋φ
＝π，即φ＝ ，∴ f （ x ）＝ sin （π x ＋ ），令2 k π－ ≤π x ＋
≤2 k π＋ ， k ∈Z，解得2 k － ≤ x ≤2 k － ， k ∈Z. ∴ f
（ x ）的单调递增区间为［2 k － ，2 k － ］， k ∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. 设定义在区间 上的函数 y ＝ cos x 与 y ＝tan x 的图象交于点
P ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 y ＝ sin x 的
图象交于点 P2，则线段 P1 P2的长为 .
解析：不妨设 P1坐标为（ x0，0），则 P1 P2的长为 sin x0.∵ y ＝
cos x 与 y ＝tan x 的图象交于点 P ，即 cos x0＝tan x0， cos x0＝
，解得 sin x0＝ ，则线段 P1 P2的长为 .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）
已知 f （ x ）＝ .
（1）化简函数 f （ x ）；
解： f （ x ）＝ ＝
＝tan x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若 f （α）＝3，求 .
解： 因为 f （α）＝3，所以tan α＝3，
所以 分子分母同除以 cos α有 ＝
＝ ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞
0，ω＞0，｜φ｜＜π）的部分图象如图所示.若将函数 f （ x ）的图
象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为
函数 g （ x ）的图象.
（1）求 f （ x ）的解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 由图象可知 A ＝1，函数最小正
周期 T ＝2×（ － ）＝2，∴ω＝ ＝π，
由 f （ ）＝0，得 sin （ ＋φ）＝0，则
＋φ＝2 k π， k ∈Z，
则φ＝2 k π－ ， k ∈Z，结合｜φ｜＜π，可
得φ＝－ ，故 f （ x ）＝ sin （ π x － ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）当 x ∈[0，2]时，求 g （ x ）的单调递减区间.
解： 由题意可得 g （ x ）＝ sin （ x － ），
令2 k π＋ ≤ x － ≤2 k π＋ ， k ∈Z，解
得4 k ＋ ≤ x ≤4 k ＋ ， k ∈Z，
当 k ＝0时， g （ x ）的单调递减区间为［ ， ］， k 取其
他值时与区间[0，2]无交集，
故当 x ∈[0，2]时， g （ x ）的单调递减区间为［ ，2］.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）
的最小正周期为π，从下列两个条件中选择一个作
为已知条件解答问题：
条件①： f （ x ）的图象关于点 对称；
条件②： f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（1）请写出你选择的条件，并求 f （ x ）的解析式；
解： 若选①，由题意得， ＝π，则ω＝2，
因为函数的图象关于点 对称，所以2× ＋φ＝ k π（ k
∈Z），
解得φ＝－ ＋ k π（ k ∈Z），
而－ ＜φ＜ ，则φ＝ ，于是 f （ x ）＝2 sin （ 2 x ＋ ）.
若选②，由题意得， ＝π，则ω＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
因为函数的图象关于直线 x ＝ 对称，
所以2× ＋φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），
解得φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），而－ ＜φ＜ ，则φ＝ ，
于是 f （ x ）＝2 sin .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 结合（1），因为 x ∈ ，所以2 x ＋ ∈
，
则当2 x ＋ ＝－ ，即 x ＝－ 时， f （ x ）有最小值 f
＝2 sin ＝－ ，
当2 x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）有最大值 f ＝2 sin
＝2.
（2）在（1）的条件下，当 x ∈ 时，求 f （ x ）的最大值
和最小值，并指出相应的 x 的取值.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）如图，摩天轮的半径为
50 m，圆心 O 距地面的高度为65 m.已知摩
天轮按逆时针方向匀速转动，每30 min转动
一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最
近的位置进舱.
（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动 t min后，他距离地面的
高度为 h ，求 h 关于 t 的函数解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 如图以摩天轮的圆心为坐
标原点，水平方向为 x 轴，建立平面
直角坐标系.
设游客的位置为点 P .
因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，
且每30 min转动一圈，
所以 OP 在 t min内所转过的角为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，
所以，以 x 轴正半轴为始边，以 OP 为终边的角为 － ，
因此 P 点的纵坐标为50 sin .
从而游客距离地面的高度 h ＝50 sin
＋65＝65－50 cos ， t ≥0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）已知在距离地面超过40 m的高度，游客可以观看到游乐场全
景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐
场全景的时间是多少？
解：令 h ＝65－50 cos ＞40，得 cos ＜ ，
所以2 k π＋ ＜ ＜2 k π＋ ，即30 k
＋5＜ t ＜30 k ＋25， k ∈N，
令 k ＝0，则5＜ t ＜25.
由于在距离地面超过40 m的高度，游客可以观看到游乐场全景，
因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的
时间为25－5＝20（min）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝2 sin .
（1）求函数 f （ x ）的最小值及 f （ x ）取到最小值时自变量 x 的
集合；
解： f （ x ）min＝－2，此时2 x － ＝2 k π－ ， k ∈Z，
即 x ＝ k π－ ， k ∈Z，即此时自变量 x 的集合是
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）指出函数 y ＝ f （ x ）的图象可以由函数 y ＝ sin x 的图象经过
哪些变换得到；
解： 把函数 y ＝ sin x 的图象向右平移 个单位长度，得
到函数 y ＝ sin 的图象，再把函数 y ＝ sin （ x － ）
的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得
到函数 y ＝ sin （ 2 x － ）的图象，最后再把函数 y ＝ sin
（ 2 x － ）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原
来的2倍，得到函数 y ＝2 sin 的图象.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）当 x ∈[0， m ]时，函数 y ＝ f （ x ）的值域为[－ ，2]，求
实数 m 的取值范围.
解： 函数 f （ x ）＝2 sin （2 x － ）的图象
如图，因为当 x ∈[0， m ]时， y ＝ f
（ x ）可以取到最大值2，所以 m ≥ .
又函数 y ＝ f （ x ）在 上单调
递减， f （0）＝－ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
故 m 的最大值为 内使函数值为－ 的值，令2 sin
＝－ ，得 x ＝ ，
所以 m 的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑