资源简介

　　
一、复数的有关概念
　　复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m的取值，使：
（1）z是纯虚数；
（2）z是实数；
（3）z在复平面内对应的点位于第二象限.
反思感悟
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部；
（2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
【跟踪训练】
1.若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　　）
A.0 B.－1
C.1 D.－2
2.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R）和z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（θ∈R），若z1＝z2，则实数λ的取值范围为　　　　.
二、复数的四则运算
　　复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
【例2】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（　　）
A.－i B.i
C.0 D.1
（2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
反思感悟
进行复数代数运算的策略
（1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
【跟踪训练】
1.（2023·全国甲卷2题）＝（　　）
A.－1 B.1
C.1－i D.1＋i
2.（1＋i）20－（1－i）20＝（　　）
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
三、复数的几何意义
　　复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点、向量之间的关系解题.
【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若O为原点，且＝2＋，则a＝　　　　，b＝　　　　.
反思感悟
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b）（O为坐标原点），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
【跟踪训练】
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则z的共轭复数＝（　　）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
2.（2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为（　　）
A. B.2
C.＋1 D.3
章末复习与总结
【例1】　解：（1）由得m＝3.
∴当m＝3时，z是纯虚数.
（2）由
得m＝－1或m＝－2.
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数.
（3）由
得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3.
∴当－1＜m＜1－或1＋＜m＜3时，复数z在复平面内对应的点位于第二象限.
跟踪训练
1.A　因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.
2.［－，7］　解析：由题设及复数相等的定义，知m＝2cos θ，且4－m2＝λ＋3sin θ，消去参数m，得λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4（sin θ－）2－.∵－1≤sin θ ≤1，∴当sin θ＝时，λmin＝－；当sin θ＝－1时，λmax＝7.故－≤λ≤7，即λ∈.
【例2】　（1）A　由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
（2）解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i，
＝＝＝＝－i.
跟踪训练
1.C　由题意得＝＝＝1－i.故选C.
2.C　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0.
【例3】　（1）A　（2）－3　－10　
解析：（1）∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）·（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
（2）∵＝2＋，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），即∴
跟踪训练
1.D　∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D.
2.C　设z＝a＋bi，a，b∈R.因为｜z＋i｜＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝1，因为｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝，所以｜z＋1｜相当于圆a2＋（b＋1）2＝1上的点到点（－1，0）的距离，所以｜z＋1｜的最大值为圆心（0，－1）到点（－1，0）的距离与圆的半径1的和，即＋1，故选C.
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章末复习与总结
一、复数的有关概念
　　复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复
数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念
解答.
【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数
m的取值，使：
（1）z是纯虚数；
解： 由得m＝3.
∴当m＝3时，z是纯虚数.
（2）z是实数；
解： 由
得m＝－1或m＝－2.
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数.
（3）z在复平面内对应的点位于第二象限.
解： 由
得－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3.
∴当－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3时，复数z在复平面内对
应的点位于第二象限.
反思感悟
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a
＋bi的形式，以便确定其实部和虚部；
（2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生
增根.
【跟踪训练】
1. 若复数z＝1＋i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，则z2＋ 的
虚部为（　　）
A. 0 B. －1 C. 1 D. －2
解析： 　因为z＝1＋i，所以 ＝1－i，所以z2＋ ＝（1＋i）2＋
（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.
√

［－
，7］　
解析：由题设及复数相等的定义，知m＝2 cos θ，且4－m2＝λ＋
3 sin θ，消去参数m，得λ＝4－4 cos 2θ－3 sin θ＝4 sin 2θ－3
sin θ＝4 － .∵－1≤ sin θ ≤1，∴当 sin θ＝ 时，
λmin＝－ ；当 sin θ＝－1时，λmax＝7.故－ ≤λ≤7，即
λ∈ .
二、复数的四则运算
　　复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除
法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
【例2】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝ ，则z－ ＝
（　　）
A. －i B. i C. 0 D. 1
√
解析： 　由题意，得z＝ ＝ ＝－ i，所
以 ＝ i，所以z－ ＝－ i－ i＝－i.故选A.
解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i，
＝ ＝ ＝ ＝ － i.
（2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2， 的值.
反思感悟
进行复数代数运算的策略
（1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看
作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单
的形式.
【跟踪训练】
1. （2023·全国甲卷2题） ＝（　　）
A. －1 B. 1 C. 1－i D. 1＋i
解析： 　由题意得 ＝ ＝ ＝1－i.
故选C.
√
2. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　）
A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512
解析： 　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－
2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－
（－4）5＝0.
√
三、复数的几何意义
　　复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用
复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平
面内的点、向量之间的关系解题.
【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－
i）对应的点位于（　A　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A
解析： ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，
∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），
即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
（2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它
们在复平面内所对应的点分别为A，B，C. 若O为原点，且
＝2 ＋ ，则a＝ ，b＝ .
解析： ∵ ＝2 ＋ ，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋
bi），即∴
－3　
－10　
反思感悟
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序
实数对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量 ＝（a，b）（O为坐
标原点），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
【跟踪训练】
1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， ），则z的共轭
复数 ＝（　　）
解析： 　∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，
），∴z＝－1＋ i，则z的共轭复数 ＝－1－ i，故选D.
√
2. （2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最
大值为（　　）
B. 2 D. 3
解析： 　设z＝a＋bi，a，b∈R. 因为｜z＋i｜
＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝
1，因为｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝
，所以｜z＋1｜相当于圆a2＋
（b＋1）2＝1上的点到点（－1，0）的距离，所
以｜z＋1｜的最大值为圆心（0，－1）到点（－1，
0）的距离与圆的半径1的和，即 ＋1，
故选C.
√
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