资源简介 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.下列几何体中是棱柱的有（ ）A.1个 B.2个C.3个 D.4个2.如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（ ）A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.四棱柱3.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ）A.P N M Q B.Q M N PC.P M N Q D.Q N M P4.一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为（ ）A.6 B.8C.10 D.125.（多选）给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.有的棱台的侧棱长相等C.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D.存在每个面都是直角三角形的四面体6.（多选）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）7.一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有 条棱.8.如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.9.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是 .10.分别画出六面体：（1）使它是一个四棱柱；（2）使它由两个三棱锥组成；（3）使它是五棱锥.11.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）A.至多有一个是直角三角形B.至多有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D.必然都是非直角三角形12.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥13.（2024·苏州月考）如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为 .14.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.（1）折起后形成的几何体是什么几何体？（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？（3）每个面的三角形面积为多少？15.如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？13.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.C 由棱柱的定义，观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个.故选C.2.B 余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B.3.B 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.4.D 因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为12.5.BCD A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；易知B正确；C正确，因为过两个相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形.故选B、C、D.6.BC A图还原成正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；B图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；C图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；D图还原成正方体后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是B、C.7.5 6 9 解析：三棱台的面数、顶点数、棱数最少.8.①③④⑤ 解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图（1）（2）.9. 解析：设长方体长、宽、高分别为x，y，z，则yz＝，xz＝，yx＝，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，解得x＝，y＝，z＝1，所以＝＝.10.解：如图所示.图①是一个四棱柱；图②是一个由两个三棱锥组成的几何体；图③是一个五棱锥.11.C 在如图所示的长方体中，三棱锥A A1C1D1的三个侧面都是直角三角形.故选C.12.D 正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成.设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面正六边形的边、侧棱构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.13.4 解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为4 .14.解：（1）如图，折起后形成的几何体是三棱锥.（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.（3）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2.15.解：（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.（2）不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.2 / 213.1.1 棱柱、棱锥和棱台新课程标准解读 核心素养利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 数学抽象、直观想象 观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.【问题】 你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？ 知识点一 棱柱的结构特征类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类棱 柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作： 棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【想一想】棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？知识点二 棱锥的结构特征类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类棱 锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……【想一想】各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？知识点三 棱台的结构特征类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类棱 台 用一个 的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……提醒 （1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱台、三棱锥为例）（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系【想一想】棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？知识点四 多面体定义 由若干个 围成的空间图形图形相关 概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：相邻两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点分类 按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面体……1.（2024·南京金陵中学期中）下列几何体中，棱数最多的是（ ）A.五棱锥 B.三棱台C.三棱柱 D.四棱锥2.（多选）下面多面体中，是棱锥的为（ ）3.下列几何体中，是棱台的为（ ）题型一 棱柱的结构特征【例1】 （1）（多选）下列关于棱柱的说法中正确的是（ ）A.所有的面都是平行四边形B.每一个面都不会是三角形C.两底面平行，并且各侧棱也平行D.被平面截成的两部分可以都是棱柱（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.通性通法棱柱结构特征的辨析方法 判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征：（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.提醒 （1）以上三个本质特征缺一不可；（2）在概念辨析时，也可用举反例法直接判断（否定）.【跟踪训练】下列命题中正确的是（ ）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形题型二 棱锥、棱台的结构特征【例2】 （1）（多选）下列说法中正确的有（ ）A.棱锥的各个侧面都是三角形B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C.棱锥的侧棱平行D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥（2）下列说法中正确的是（ ）A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D.棱台的侧棱延长后必交于一点通性通法判断棱锥、棱台的方法（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法；（2）直接法棱锥 棱台定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点【跟踪训练】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是 .题型三 棱柱、棱台、棱锥的画法【例3】 （链接教科书第153页例1）画一个三棱柱和四棱台.通性通法棱柱、棱锥、棱台的画法步骤（1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次连接这些线段的另一个端点.（2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点.（3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去.提醒 在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得空间图形更加富有立体感.【跟踪训练】画一个四面体（三棱锥）.题型四 多面体的侧面展开图【例4】 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ ）通性通法 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养.【跟踪训练】 如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？1.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ）A.四棱柱 B.四棱锥C.三棱柱 D.三棱锥2.下列说法错误的是（ ）A.多面体至少有六条棱B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形3.如图中的几何体叫作 （填“棱柱”“棱锥”“棱台”），PA，PB是它的 ，△PBC，△PCD是它的 ，四边形ABCD是它的 .4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是 .13.1.1 棱柱、棱锥和棱台【基础知识·重落实】知识点一想一想 提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等.知识点二 公共边想一想 提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥.知识点三 平行于棱锥底面想一想 提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点.知识点四 平面多边形 平面多边形 交线自我诊断1.A 因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥.故选A.2.ABD 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A、B、D是棱锥，C不是棱锥，故选A、B、D.3.D A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义；D符合棱台的定义.【典型例题·精研析】【例1】 （1）CD 棱柱的侧面是平行四边形，上下底面可以是三角形，也可以是四边形及多边形，故A错误，B错误；由棱柱的定义易知C正确；对于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，故D正确.故选C、D.（2）解：①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.跟踪训练 D 由棱柱的定义知D正确.【例2】 （1）AB （2）D 解析：（1）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错.（2）对于A，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，A中的平面不一定平行于底面，故A错误；对于选项B、C，可以用反例验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；对于D，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选D.跟踪训练 ①② 解析：①正确，棱台的侧棱延长后必交于一点，故侧面一定不是平行四边形，而是梯形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体（三棱锥）；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.【例3】 解：（1）画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.（2）画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.跟踪训练 解：画四面体可分以下两步完成：第一步，画底面——画一个△ABC；第二步，画侧棱——在底面上方任取一点P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）.【例4】 A 其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.跟踪训练 解：在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.随堂检测1.B 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.2.D 由棱柱的定义知D不正确.故选D.3.棱锥 侧棱 侧面 底面4.1∶4 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.6 / 6(共69张PPT)13.1.1 棱柱、棱锥和棱台新课程标准解读 核心素养利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 数学抽象、直观想象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.【问题】 你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？知识点一 棱柱的结构特征类别 定义 图形及表示 相关概念 分类棱 柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【想一想】棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等.知识点二 棱锥的结构特征类别 定义 图形及表示 相关概念 分类棱 锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……公共边 【想一想】各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥.知识点三 棱台的结构特征类别 定义 图形及表示 相关概念 分类棱 台 用一 的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……平行于棱锥底面 提醒 （1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱台、三棱锥为例）（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系【想一想】棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点.知识点四 多面体定义 由若干个 围成的空间图形图形相关 概念 面：围成多面体的各个 ；棱：相邻两个面的 ；顶点：棱与棱的公共点分类 按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面体……平面多边形 平面多边形 交线 1. （2024·南京金陵中学期中）下列几何体中，棱数最多的是（ ）A. 五棱锥 B. 三棱台C. 三棱柱 D. 四棱锥解析： 因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥.故选A.√2. （多选）下面多面体中，是棱锥的为（ ）解析： 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A、B、D是棱锥，C不是棱锥，故选A、B、D.√√√3. 下列几何体中，是棱台的为（ ）√解析： A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义；D符合棱台的定义.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 棱柱的结构特征【例1】 （1）（多选）下列关于棱柱的说法中正确的是（ ）A. 所有的面都是平行四边形B. 每一个面都不会是三角形C. 两底面平行，并且各侧棱也平行D. 被平面截成的两部分可以都是棱柱√√解析： 棱柱的侧面是平行四边形，上下底面可以是三角形，也可以是四边形及多边形，故A错误，B错误；由棱柱的定义易知C正确；对于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，故D正确.故选C、D.（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解：①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.通性通法棱柱结构特征的辨析方法 判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征：（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.提醒 （1）以上三个本质特征缺一不可；（2）在概念辨析时，也可用举反例法直接判断（否定）.【跟踪训练】下列命题中正确的是（ ）A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形解析： 由棱柱的定义知D正确.√题型二 棱锥、棱台的结构特征【例2】 （1）（多选）下列说法中正确的有（ AB ）A. 棱锥的各个侧面都是三角形B. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C. 棱锥的侧棱平行D. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥AB解析： 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错.（2）下列说法中正确的是（ D ）A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D. 棱台的侧棱延长后必交于一点D解析：对于A，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，A中的平面不一定平行于底面，故A错误；对于选项B、C，可以用反例验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；对于D，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选D.通性通法判断棱锥、棱台的方法（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法；（2）直接法棱锥 棱台定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点【跟踪训练】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是 .解析：①正确，棱台的侧棱延长后必交于一点，故侧面一定不是平行四边形，而是梯形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体（三棱锥）；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.①② 题型三 棱柱、棱台、棱锥的画法【例3】 （链接教科书第153页例1）画一个三棱柱和四棱台.解：（1）画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.（2）画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.通性通法棱柱、棱锥、棱台的画法步骤（1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次连接这些线段的另一个端点.（2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点.（3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去.提醒 在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得空间图形更加富有立体感.【跟踪训练】画一个四面体（三棱锥）.解：画四面体可分以下两步完成：第一步，画底面——画一个△ABC；第二步，画侧棱——在底面上方任取一点P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）.题型四 多面体的侧面展开图【例4】 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ ）√解析： 其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.通性通法 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养.【跟踪训练】 如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？解：在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.1. 有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ）A. 四棱柱 B. 四棱锥C. 三棱柱 D. 三棱锥解析： 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.√2. 下列说法错误的是（ ）A. 多面体至少有六条棱B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C. 长方体、正方体都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形解析： 由棱柱的定义知D不正确.故选D.√3. 如图中的几何体叫作 （填“棱柱”“棱锥”“棱台”），PA，PB是它的 ，△PBC，△PCD是它的 ，四边形ABCD是它的 .棱锥 侧棱 侧面 底面 4. 若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是 .解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.1∶4 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1234567891011121314151. 下列几何体中是棱柱的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个√解析： 由棱柱的定义，观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个.故选C.1234567891011121314152. 如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（ ）A. 三棱锥 B. 四棱锥C. 三棱柱 D. 四棱柱解析： 余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B.√1234567891011121314153. 设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ）A. P N M Q B. Q M N PC. P M N Q D. Q N M P解析： 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.√1234567891011121314154. 一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为（ ）A. 6 B. 8C. 10 D. 12解析： 因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为12.√1234567891011121314155. （多选）给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 有的棱台的侧棱长相等C. 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D. 存在每个面都是直角三角形的四面体√√√123456789101112131415解析： A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；易知B正确；C正确，因为过两个相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形.故选B、C、D.1234567891011121314156. （多选）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）√√123456789101112131415解析： A图还原成正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；B图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；C图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；D图还原成正方体后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是B、C.1234567891011121314157. 一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有 条棱.解析：三棱台的面数、顶点数、棱数最少.5 6 9 123456789101112131415①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图（1）（2）.8. 如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.①③④⑤ 1234567891011121314159. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体对角线的长是 .解析：设长方体长、宽、高分别为x，y，z，则yz＝ ，xz＝，yx＝ ，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝ ，解得x＝，y＝ ，z＝1，所以 ＝ ＝ . 12345678910111213141510. 分别画出六面体：（1）使它是一个四棱柱；（2）使它由两个三棱锥组成；（3）使它是五棱锥.解：如图所示.图①是一个四棱柱；图②是一个由两个三棱锥组成的几何体；图③是一个五棱锥.12345678910111213141511. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）A. 至多有一个是直角三角形B. 至多有两个是直角三角形C. 可能都是直角三角形D. 必然都是非直角三角形解析： 在如图所示的长方体中，三棱锥A A1C1D1的三个侧面都是直角三角形.故选C.√12345678910111213141512. 一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）A. 三棱锥 B. 四棱锥C. 五棱锥 D. 六棱锥解析： 正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成.设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面正六边形的边、侧棱构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.√123456789101112131415 4 123456789101112131415解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为4 .12345678910111213141514. 如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.（1）折起后形成的几何体是什么几何体？解： 如图，折起后形成的几何体是三棱锥.123456789101112131415（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？解： 这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.（3）每个面的三角形面积为多少？解： S△PEF＝ a2，S△DPF＝S△DPE＝ ×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝ a2.12345678910111213141515. 如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？解： 不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.123456789101112131415（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？解： 不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.123456789101112131415（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？解： 用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.123456789101112131415谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台.docx 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台.pptx 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台（练习，含解析）.docx
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