资源简介

第1课时　平行直线
1.空间中两条互相平行的直线指的是（　　）
A.空间中没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
2.如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A.平行　　　　　　　 B.相交
C.异面 D.平行或异面
3.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR的大小为（　　）
A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上结论都不对
4.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
5.（多选）（2024·淮安月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l 平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（　　）
A.l与AD平行 B.l与AD不平行
C.l与AC平行 D.l与BD平行
6.（多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（　　）
A.PQ＝MN
B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
7.在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝　　　　.
8.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是　　　　.
9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝　　　　.
10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
11.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（　　）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
12.（多选）如图所示，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A.M，N，P，Q四点共面
B.∠QME＝∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
13.（2024·常州质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为　　　　.
14.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
15.如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
第1课时　平行直线
1.D
2.A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
3.B　若AB与PQ，BC与QR方向都相同或相反，则∠PQR＝∠ABC＝30°；若AB与PQ，BC与QR中一对方向相反，一对方向相同，则∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.所以∠PQR＝30°或150°.故选B.
4.D　如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.
5.BCD　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D.
6.BCD　由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确.
7.2　解析：由题意知EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，故EF GH，故GH＝2.
8.∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
9.　解析：如题干图，＝＝＝，可证AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝.
10.解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
11.A　取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
12.ABC　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ BD，NP BD，所以MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.故选A、B、C.
13.8　解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即＝28，得h＝8.
14.解：（1）证明：由G，H分别为FA，FD的中点，
可得GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，∴GH BC，
∴四边形BCHG是平行四边形.
（2）由BE∥FA，BE＝FA，G为FA的中点知，
BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.
由（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
15.证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
3 / 3第1课时　平行直线
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的位置关系 直观想象
2.了解基本事实4及等角定理 逻辑推理
观察我们所在的教室.
【问题】　（1）教室内同一列的护眼灯管所在的直线是什么位置关系？
（2）教室中护眼灯管所在的直线和黑板左侧所在的直线是什么位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在　　　　平面内 有且只有　　个
平行直线 在　　　　平面内 没有
异面直线 不同在　　　　　平面内 没有
【想一想】
若两条直线没有公共点，那么这两条直线平行，这种说法是否正确？
知识点二　基本事实4
文字语言 　　　　　　　　　的两条直线平行
图形语言
符号表述 　　　
含义 揭示了空间平行线的传递性
作用 证明两条直线平行
知识点三　等角定理
研究对象 在空间中的两个角
条件 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同
结论 这两个角　　　
提醒　等角定理的推论：推论1：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等；推论2：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组平行边方向相同，另一组平行边方向相反，那么这两个角互补.
【想一想】
两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行对吗？
1.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
B.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等
D.在空间中，互相平行的两直线是指在同一平面内没有公共点的两条直线
2.已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A'C'的位置关系是　　　　.
3.空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝　　　　.
题型一 空间两直线位置关系的判定
【例1】　（1）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是　 　；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是　 　；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是　 　；
④直线AB与直线B1C的位置关系是　 　.
（2）已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明.
通性通法
空间两条直线位置关系的判定方法
（1）判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断；
（2）判定两条直线是异面直线通常用定义法，即判断两直线不可能在同一平面内.
【跟踪训练】
（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论不正确的是（　　）
A.直线GH和MN平行，GH和EF相交
B.直线GH和MN平行，MN和EF相交
C.直线GH和MN相交，MN和EF异面
D.直线GH和EF异面，MN和EF异面
题型二 基本事实4及其应用
【例2】　（链接教科书第168页例1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，BC，A1B1，B1C1的中点.求证：EE1∥FF1.
【母题探究】
（变条件，变设问）在本例中，条件改为：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，A1D1的中点，求证：四边形ACMN是梯形.
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
【跟踪训练】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足＝.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.
题型三 等角定理及其应用
【例3】　（链接教科书第170页例2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点.求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
通性通法
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的点，且 ＝＝.求证：△A1B1C1∽△ABC.
1.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　）
A.3条　　B.4条　　C.5条　　D.6条
2.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β＝　　　　.
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.
第1课时　平行直线
【基础知识·重落实】
知识点一
　同一　1　同一　任何一个
想一想
　提示：不正确.若两条直线没有公共点，那么这两条直线可以是平行直线也可以是异面直线.
知识点二
　平行于同一条直线　a∥c
知识点三
　相等
想一想
　提示：不一定.两条直线可以是相交、平行或异面直线.
自我诊断
1.ACD　对于A，由基本事实4知A正确；对于B，由等角定理知，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故B错误，C正确；对于D，由平行线的定义可知D正确.故选A、C、D.
2.平行　解析：如图所示，连接AC，则MN AC，又∵AC A'C'，∴MN A'C'.
3.70°或110°　解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）①平行　②异面　③相交　④异面　解析：根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”.
（2）解：直线a与c的位置关系有三种，如图所示.
直线a与c可能平行（如图①所示），也可能相交（如图②所示），还可能异面（如图③所示）.
跟踪训练
　ACD　易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，所以B正确，C、D错误；由异面直线的判定定理得GH和EF是异面直线，所以A错误.故选A、C、D.
【例2】　证明：因为E，E1分别是AB，A1B1的中点，
所以BE∥B1E1，且BE＝B1E1.
所以四边形EBB1E1是平行四边形.
所以EE1∥BB1.
同理可证FF1∥BB1.
所以EE1∥FF1.
母题探究
　证明：连接A1C1（图略），在△A1C1D1中，
因为M，N分别是C1D1，A1D1的中点，所以MN是△A1C1D1的中位线，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥AC，且MN＝AC.
又AN与CM不平行，所以四边形ACMN是梯形.
跟踪训练
　证明：（1）如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线.
【例3】　证明：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M.
由题意得BF＝A1M＝AB.
又BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
又F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M C1B1.
而C1B1 BC，∴F1M BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥CF1.
又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C，
同理可得A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别平行且方向相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
跟踪训练
　证明：在△OAB中，因为 ＝，
所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
随堂检测
1.B　因为E，F分别是B1O和C1O的中点，所以EF∥B1C1，又B1C1∥BC∥AD∥A1D1，故选B.
2.60°或120°　解析：∵空间两角α，β的两边分别对应平行，∴这两个角相等或互补.∵α＝60°，∴β＝60°或120°.
3.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
同理可证四边形A1EGB1为平行四边形，
所以EG∥A1B1，EG＝A1B1，又因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，BF＝ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形.
4 / 4(共59张PPT)
第1课时　平行直线
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线
的位置关系 直观想象
2.了解基本事实4及等角定理 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察我们所在的教室.
【问题】　（1）教室内同一列的护眼灯管所在的直线是什么位置关系？
（2）教室中护眼灯管所在的直线和黑板左侧所在的直线是什么位置
关系？
知识点一　空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在 平面内 有且只有 个
平行直线 在 平面内 没有
异面直线 不同在
平面内 没有
同一　
1　
同一　
任何一个　
【想一想】
若两条直线没有公共点，那么这两条直线平行，这种说法是否正确？
提示：不正确.若两条直线没有公共点，那么这两条直线可以是平行
直线也可以是异面直线.
知识点二　基本事实4
文字语言 的两条直线平行
图形语言
符号表述
含义 揭示了空间平行线的传递性
作用 证明两条直线平行
平行于同一条直线　
a∥c　
知识点三　等角定理
研究
对象 在空间中的两个角
条件 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同
结论 这两个角
提醒　等角定理的推论：推论1：在空间中，如果一个角的两边和另
一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等；推论2：
在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组平
行边方向相同，另一组平行边方向相反，那么这两个角互补.
相等　
【想一想】
两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行对吗？
提示：不一定.两条直线可以是相交、平行或异面直线.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
B. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相
等
C. 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线
所成锐角（或直角）相等
D. 在空间中，互相平行的两直线是指在同一平面内没有公共点的两
条直线
√
√
√
解析： 　对于A，由基本事实4知A正确；对于B，由等角定理
知，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角
相等或互补，故B错误，C正确；对于D，由平行线的定义可知D正
确.故选A、C、D.
2. 已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD
的中点，则MN与A'C'的位置关系是 .
解析：如图所示，连接AC，则MN AC，又
∵AC A'C'，∴MN A'C'.
3. 空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝
70°，则∠B＝ .
解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A
＋∠B＝180°，又∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
平行　
70°或110°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间两直线位置关系的判定
【例1】　（1）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列
直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
平行　
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .
异面　
相交　
异面　
解析：根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没
有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，
B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线
B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异 直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相
交”.
解析：根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没
有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，
B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线
B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异
面”；
（2）已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断
a与c的位置关系，并画图说明.
解：直线a与c的位置关系有三种，如图所示.
直线a与c可能平行
（如图①所示），也
可能相交（如图②所
示），还可能异面
（如图③所示）.
通性通法
空间两条直线位置关系的判定方法
（1）判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条
直线平行也可以用基本事实4判断；
（2）判定两条直线是异面直线通常用定义法，即判断两直线不可能
在同一平面内.
【跟踪训练】
（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，
H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则
下列结论不正确的是（　　）
A. 直线GH和MN平行，GH和EF相交
B. 直线GH和MN平行，MN和EF相交
C. 直线GH和MN相交，MN和EF异面
D. 直线GH和EF异面，MN和EF异面
√
√
√
解析： 　易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为所在棱的
中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，所以B正确，C、
D错误；由异面直线的判定定理得GH和EF是异面直线，所以A错误.
故选A、C、D.
题型二 基本事实4及其应用
【例2】　（链接教科书第168页例1）如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，BC，A1B1，B1C1的中点.
求证：EE1∥FF1.
证明：因为E，E1分别是AB，A1B1的中点，
所以BE∥B1E1，且BE＝B1E1.
所以四边形EBB1E1是平行四边形.
所以EE1∥BB1.
同理可证FF1∥BB1.
所以EE1∥FF1.
【母题探究】
（变条件，变设问）在本例中，条件改为：如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，A1D1的中点，求证：四边形
ACMN是梯形.
证明：连接A1C1（图略），在△A1C1D1中，
因为M，N分别是C1D1，A1D1的中点，所以MN是△A1C1D1的中位
线，
所以MN∥A1C1，且MN＝ A1C1.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥AC，且MN＝ AC.
又AN与CM不平行，所以四边形ACMN是梯形.
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两
条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，
使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
【跟踪训练】
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，
G分别是AD，CD上的点，满足 ＝ .
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
证明： 如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.
证明： ∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面
BCD的一个公共点.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即
P，B，D三点共线.
题型三 等角定理及其应用
【例3】　（链接教科书第170页例2）如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中
点.求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1
的中点M，连接BM，F1M.
由题意得BF＝A1M＝ AB.
又BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
又F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M C1B1.
而C1B1 BC，∴F1M BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥CF1.
又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C，
同理可得A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别平行且方向相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
通性通法
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线
平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上
的点，且 ＝ ＝ .求证：△A1B1C1∽△ABC.
证明：在△OAB中，因为 ＝ ，
所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
1. 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中
点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　）
A. 3条 B. 4条
C. 5条 D. 6条
解析： 　因为E，F分别是B1O和C1O的中点，所以EF∥B1C1，又B1C1∥BC∥AD∥A1D1，故选B.
√
2. 空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β
＝ .
解析：∵空间两角α，β的两边分别对应平行，∴这两个角相等或
互补.∵α＝60°，∴β＝60°或120°.
60°或120°　
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中
点，求证：BFD1E是平行四边形.
证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
同理可证四边形A1EGB1为平行四边形，
所以EG∥A1B1，EG＝A1B1，又因为
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，
BF＝ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 空间中两条互相平行的直线指的是（　　）
A. 空间中没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线
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2. 如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，
SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面
解析： 　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN. 同理可
证HG∥PN，∴EF∥HG. 故选A.
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3. 已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR的大小为
（　　）
A. 30° B. 30°或150°
C. 150° D. 以上结论都不对
解析： 　若AB与PQ，BC与QR方向都相同或相反，则∠PQR＝
∠ABC＝30°；若AB与PQ，BC与QR中一对方向相反，一对方
向相同，则∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.所以
∠PQR＝30°或150°.故选B.
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4. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直
线AB与CD的位置关系是（　　）
A. 平行
B. 异面
C. 相交或平行
D. 平行或异面或相交均有可能
解析： 　如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.
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5. （多选）（2024·淮安月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线l 平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列说法
可能成立的是（　　）
A. l与AD平行
B. l与AD不平行
C. l与AC平行
D. l与BD平行
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解析： 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，
故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D.
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6. （多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，
BC∥DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，
则（　　）
A. PQ＝ MN
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面
D. 四边形MNPQ是梯形
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解析： 　由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，所以PQ≠
MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又
PQ≠MN，所以B、C、D正确.
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7. 在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC
的中点，若EF＝2，则GH＝ .
解析：由题意知EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC，
故EF GH，故GH＝2.
2　
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8. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所
有与∠A1AB相等的角是 .
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，
AB∥DC，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，
D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相
等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　
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9. 如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交
于同一点O，且 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝ 　 .
　
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解析：如题干图， ＝ ＝ ＝ ，可证AB∥A'B'，
AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝
∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝
× ＝ .
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10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线
EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则
直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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11. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且
AC＝4，BD＝6，则（　　）
A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析： 　取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且
MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，N，H三点构成
三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋
NH，即1＜MN＜5.故选A.
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12. （多选）如图所示，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分
别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是
（　　）
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME＝∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为梯形
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解析： 　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，
QE∥CD，NP∥BD. 对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，
Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME
＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝
∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正
确；由三角形的中位线定理，知MQ BD，NP BD，所以
MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.
故选A、B、C.
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13. （2024·常州质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分
别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝
＝ ，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之
间的距离为 .
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解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝
BD＝3，又∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基本
事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG
之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即 ＝28，得h
＝8.
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14. 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，
G，H分别为FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
解： 证明：由G，H分别为FA，FD
的中点，
可得GH∥AD，GH＝ AD.
又BC∥AD，BC＝ AD，∴GH BC，
∴四边形BCHG是平行四边形.
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（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解： 由BE∥FA，BE＝ FA，G为FA
的中点知，
BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.
由（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
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15. 如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，
AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置
（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形
EFGH为平行四边形.
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证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F
分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
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