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第1课时　直线与平面平行
1.若直线l不平行于平面α，且l α，则（　　）
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A.m∥α，m∥n n∥α
B.m∥α，n∥α m∥n
C.m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D.m∥α，n α m∥n
3.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.在平面内 D.异面
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（　　）
A.1 B.
C. D.
5.（多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（　　）
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
6.（多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（　　）
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
7.平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的　　　　条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.
8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：　　　　时，PC∥平面EBD.
9.（2024·盐城质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝　　　　.
10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，E是PD的中点.
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB.
11.已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面（　　）
A.有且只有一个 B.有两个
C.没有或只有一个 D.有无数个
12.（多选）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形是（　　）
13.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.
（1）若E是BC的中点，则m的值为　　　　；
（2）若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为　　　　.
14.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点.
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值.
15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
第1课时　直线与平面平行
1.B　若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故l∥α，这与题意矛盾.
2.C　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面.
3.A　如图所示，由＝，得AC∥EF.又EF 平面DEF，AC 平面DEF，∴AC∥平面DEF.故选A.
4.C　连接AB1，AD1，∵点P是平面AA1D1D的中心，∴P是AD1的中点，∵PQ∥平面AA1B1B，PQ 平面D1AB1，平面D1AB1∩平面AA1B1B＝AB1，∴PQ∥AB1，即PQ是△D1AB1的中位线，∴PQ＝AB1＝×＝.故选C.
5.ABC　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C.
6.CD　因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选C、D.
7.充分不必要　解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有a∥b.
8.E为PA的中点
解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知EO∥PC.∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，∴PC∥平面EBD.即当E为PA中点时，PC∥平面EBD.
9.　解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
10.证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，因为BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD 的中点，
所以EF∥AD，EF＝AD，
又由（1）可得BC∥AD，BC＝ AD，
所以BC∥EF，BC＝EF，
所以四边形BCEF是平行四边形，
所以CE∥BF，
因为CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
11.C　过点M作直线a'∥a，过点M作直线b'∥b，则直线a'，b'确定平面α.当a，b都不在由a'，b'确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a α或b α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在.故选C.
12.AD　对于A，如图，连接BC交PN于点D，连接DM，则MD∥AB，又AB 平面MNP，MD 平面MNP，得AB∥平面MNP；对于D，易得AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面MNP，可得AB∥平面MNP；B、C中得不到AB∥平面MNP.
13.（1）1　（2）2
解析：（1）如图，过点E作BB1的平行线，交CB1于点G，连接DG.因为AE∥平面DB1C，所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EG，则四边形DAEG是平行四边形.故DA＝GE，因为E是BC的中点，所以G是CB1的中点.故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.
（2）如图，过点E作BB1的平行线，交CB1于点H，连接DH.因为AE∥平面DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，因为EH∥BB1，所以＝＝，所以＝＝，则＝2，即m＝2.
14.解：（1）证明：连接A1C（图略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点.
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
（2）因为DN∥平面ABB1A1，DN 平面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以＝＝1.
15.解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，
∴y＝6（1－），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
3 / 3第1课时　直线与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题 逻辑推理、直观想象
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行 逻辑推理、直观想象
　　门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面（墙面）存在不变的位置关系.
【问题】　（1）上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
（2）由上述问题，如何判断直线与平面平行？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线和平面的位置关系
位置 关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共 点 有　　　　个公共点 　　　　　　公共点 　 　公共点
符号 表示 a α a∩α＝A a∥α
图形 表示
【想一想】
若直线a在平面α外，那么直线a与平面α平行，这种说法是否正确？
知识点二　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果　　　　一条直线与此　　　　的一条直线　　　　，那么该直线与此平面平行.简记为：若线线平行，则线面平行
符号语言 a∥α
图形语言
提醒　线面平行判定定理的再理解：①线面平行的判定定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可；②线面平行的判定定理的作用：证明线面平行；③应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.
【想一想】
1.若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？
2.如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
知识点三　直线与平面平行的性质定理
文字 语言 一条直线与一个平面平行，如果　　该直线的平面与此平面　　　　，那么该直线与　　　平行.简记为：若线面平行，则线线平行
符号 语言 l∥m
图形 语言
提醒　对线面平行性质定理的再理解：①线面平行的性质定理的条件有三个：（ⅰ）直线l与平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝m；（ⅲ）直线l在平面β内，即l β.三个条件缺一不可；②定理的作用：（ⅰ）线面平行 线线平行；（ⅱ）画一条直线与已知直线平行.
【想一想】
如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？
1.能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）
A.b α，a∥b
B.b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a α，b α，a∥b
2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
3.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是　　　　.
题型一 直线与平面的位置关系
【例1】　下面三个命题中正确命题的个数是（　　）
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
通性通法
1.在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏.
2.解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.
【跟踪训练】
下列命题正确的个数为（　　）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1
C.2 D.3
题型二 直线与平面平行的判定
【例2】　（链接教科书第177页例1）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.证明BC1∥平面A1CD.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
提醒　线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
【跟踪训练】
　如图，在四棱锥P-ABCD中，M， N分别是棱AB， PC的中点.若四边形ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD.
题型三 线面平行性质定理的应用
【例3】　（链接教科书第177页例2）如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
通性通法
1.通过线线平行与线面平行的相互转化，来证明线线平行是常用的解题思路.
2.利用线面平行的性质定理解题的步骤
【跟踪训练】
1.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝　　　.
2.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面PAHG交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
1.（多选）若直线a平行于平面α，则（　　）
A.平面α内有且只有一条直线与a平行
B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内存在无数条与a不平行的直线
D.平面α内任意一条直线都与a平行
2.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是　　　　.
4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
第1课时　直线与平面平行
【基础知识·重落实】
知识点一
　无数　有且只有一个　没有
想一想
　提示：不正确.直线a在平面α外，包括两种情况：直线a与平面α相交或平行.
知识点二
　平面外　平面内　平行　b α　a∥b
想一想
1.提示：不一定，直线有可能在平面内.
2.提示：直线有可能平行于平面或直线在平面内.
知识点三
　过　相交　交线　α∩β＝m
想一想
　提示：平行或异面.
自我诊断
1.D　由线面平行的判定定理可知，D正确.故选D.
2.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
3.相交　解析：延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'，AA'却在过BB'的平面AB'内，故命题①不正确；AA'∥平面B'C，BC 平面B'C，但AA'不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设α与b相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确.故选B.
跟踪训练
　B　如图所示，借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以命题②不正确；直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确.故选B.
【例2】　证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
跟踪训练
　证明：法一　如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，
所以NE∥CD，NE＝CD.
又因为在矩形ABCD中，M是AB的中点，
所以AM∥CD且AM＝CD.
所以NE∥AM，NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
法二　连接CM并延长，交DA的延长线于点F，连接PF，
因为AM∥CD且AM＝CD，
所以M是CF的中点.
又因为N是PC的中点，所以MN∥PF.
又因为MN 平面PAD， PF 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
【例3】　解：（1）如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线.
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'∩平面A'C'＝B'C'，所以B'C'∥BC.
又由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交.
跟踪训练
1.　解析：因为AB∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD 平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝.
2.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，知PA∥GH.
随堂检测
1.BC　过直线a可作无数个平面与α相交，由直线与平面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确.平面α内存在与a不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确.故B、C.
2.D　由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'、平面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.故选D.
3.平行　解析：因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
4.证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
4 / 5(共68张PPT)
第1课时　
直线与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利
用定理解决问题 逻辑推理、
直观想象
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面
平行可推出线线平行 逻辑推理、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被
关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定
的竖直边所在平面（墙面）存在不变的位置关系.
【问题】　（1）上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
（2）由上述问题，如何判断直线与平面平行？
知识点一　直线和平面的位置关系
位置 关系 直线a在平 面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有 个
公共点
公共点 公共点
符号 表示 a α a∩α＝A a∥α
图形 表示
无数　
有且只有一个　
没有　
【想一想】
若直线a在平面α外，那么直线a与平面α平行，这种说法是否正
确？
提示：不正确.直线a在平面α外，包括两种情况：直线a与平面α相
交或平行.
知识点二　直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果 一条直线与此 的一条直
线 ，那么该直线与此平面平行.简记为：若线
线平行，则线面平行
符号 语言
图形 语言
平面外　
平面内　
平行　
提醒　线面平行判定定理的再理解：①线面平行的判定定理中的三个
条件“a α，b α，a∥b”缺一不可；②线面平行的判定定理的
作用：证明线面平行；③应用时，只需在平面内找到一条直线与已知
直线平行即可.
【想一想】
1. 若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？
提示：不一定，直线有可能在平面内.
2. 如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间
具有什么关系？
提示：直线有可能平行于平面或直线在平面内.
知识点三　直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果 该直线的平面与此
平面 ，那么该直线与 平行.简记为：若
线面平行，则线线平行
符号语言
图形语言
过　
相交　
交线　
提醒　对线面平行性质定理的再理解：①线面平行的性质定理的条件
有三个：（ⅰ）直线l与平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交
于一条直线，即α∩β＝m；（ⅲ）直线l在平面β内，即l β. 三
个条件缺一不可；②定理的作用：（ⅰ）线面平行 线线平行；（ⅱ）
画一条直线与已知直线平行.
【想一想】
如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样
的位置关系？
提示：平行或异面.
1. 能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析： 　由线面平行的判定定理可知，D正确.故选D.
√
2. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且
EF∥平面ABC，则（　　）
A. EF与BC相交
B. EF∥BC
C. EF与BC异面
D. 以上均有可能
解析： 　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故选B.
√
3. 三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
.
解析：延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在
直线与其对面所在的平面相交.
相
交　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面的位置关系
【例1】　下面三个命题中正确命题的个数是（　　）
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平
面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条
直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那
么b∥α.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'
中，AA'∥BB'，AA'却在过BB'的平面AB'内，故命
题①不正确；AA'∥平面B'C，BC 平面B'C，但
AA'不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设α
与b相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确.故选B.
通性通法
1. 在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相
交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏.
2. 解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、
平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空
臆断.
【跟踪训练】
下列命题正确的个数为（　　）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直
线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直
线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　如图所示，借助长方体模型，棱AA1所在
直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线
与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以命题②不正确；直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确.故选B.
题型二 直线与平面平行的判定
【例2】　（链接教科书第177页例1）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，D是AB的中点.证明BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中
点.
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥
平面A1CD.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
提醒　线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘
记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到
两平行直线.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，M， N分别是棱AB， PC的中点.若四
边形ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD.
证明：法一　如图所示，取PD的中点E，连接
AE，NE，
因为N是PC的中点，
所以NE∥CD，NE＝ CD.
又因为在矩形ABCD中，M是AB的中点，
所以AM∥CD且AM＝ CD.
所以NE∥AM，NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
法二　连接CM并延长，交DA的延长线于点F，
连接PF，
因为AM∥CD且AM＝ CD，
所以M是CF的中点.
又因为N是PC的中点，所以MN∥PF.
又因为MN 平面PAD， PF 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
题型三 线面平行性质定理的应用
【例3】　（链接教科书第177页例2）如图所示的一块木料中，棱BC
平行于平面A'C'.
（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应
该怎样画线？
解： 如图，在平面A'C'内，过点
P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交
棱A'B'，D'C'于点E，F. 连接BE，
CF，则EF，BE，CF就是应画的线.
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
解： 因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'∩平面A'C'＝B'C'，所以B'C'∥BC.
又由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC. 而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC. 显然，BE，CF都与平面AC相交.
通性通法
1. 通过线线平行与线面平行的相互转化，来证明线线平行是常用的解
题思路.
2. 利用线面平行的性质定理解题的步骤

　
解析：因为AB∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以
CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD 平
面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以 ＝ ＝ ，
所以MN＝ .
2. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一
点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面PAHG
交平面BDM于GH. 求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面
BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面
平行的性质定理，知PA∥GH.
1. （多选）若直线a平行于平面α，则（　　）
A. 平面α内有且只有一条直线与a平行
B. 平面α内有无数条直线与a平行
C. 平面α内存在无数条与a不平行的直线
D. 平面α内任意一条直线都与a平行
解析： 　过直线a可作无数个平面与α相交，由直线与平面平
行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线
a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确.平面α内存在与a不
平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确.故B、C.
√
√
2. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底
面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有
（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
√
解析： 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'、平
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.
故选D.
3. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
.
平
行　
解析：因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，所以
EH∥平面BCD. 因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，所以EH∥BD.
4. 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面
内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ. 求证：
PQ∥平面CBE.
证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作
QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，
＝ ， ＝ .
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线l不平行于平面α，且l α，则（　　）
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
解析： 　若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故
l∥α，这与题意矛盾.
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√
2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列
结论中正确的是（　　）
A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析： 　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、
平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可
能异面.
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3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若
AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系
是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 异面
解析： 　如图所示，由 ＝ ，得AC∥EF. 又
EF 平面DEF，AC 平面DEF，∴AC∥平面
DEF. 故选A.
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4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中
心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面
AA1B1B，则线段PQ的长为（　　）
A. 1
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解析： 　连接AB1，AD1，∵点P是平面AA1D1D的中心，∴P是
AD1的中点，∵PQ∥平面AA1B1B，PQ 平面D1AB1，平面
D1AB1∩平面AA1B1B＝AB1，∴PQ∥AB1，即PQ是△D1AB1的中
位线，∴PQ＝ AB1＝ × ＝ .故选C.
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5. （多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线
的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是
（　　）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析： 　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，
故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面
PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与
平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C.
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6. （多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的
是（　　）
A. E，F，G，H一定是各边的中点
B. G，H一定是CD，DA的中点
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四边形EFGH是平行四边形或梯形
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解析： 　因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，
得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝
DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.
故选C、D.
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7. 平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的
条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不
充分也不必要”）.
解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线
与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定
有a∥b.
充分
不必要　
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8. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上
一点，当点E满足条件： 时，PC∥平面EBD.
解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，
AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知
EO∥PC. ∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，
∴PC∥平面EBD. 即当E为PA中点时，PC∥平
面EBD.
E为PA的中点　
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解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面
α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝
·BD＝ ×4＝ .
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10. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，
E是PD的中点.
（1）求证：BC∥AD；
证明： 在四棱锥P-ABCD中，因为
BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以
BC∥AD.
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（2）求证：CE∥平面PAB.
证明： 取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD 的中点，
所以EF∥AD，EF＝ AD，
又由（1）可得BC∥AD，BC＝ AD，
所以BC∥EF，BC＝EF，
所以四边形BCEF是平行四边形，
所以CE∥BF，
因为CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
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11. 已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都
平行的平面（　　）
A. 有且只有一个 B. 有两个
C. 没有或只有一个 D. 有无数个
解析： 过点M作直线a'∥a，过点M作直线b'∥b，则直线a'，
b'确定平面α.当a，b都不在由a'，b'确定的平面α内时，过点M
且与a，b都平行的平面只有一个；当a α或b α时，过点M
且与a，b都平行的平面不存在.故选C.
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12. （多选）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，
M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的
图形是（　　）
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解析： 　对于A，如图，连接BC交PN于点
D，连接DM，则MD∥AB，又AB 平面MNP，
MD 平面MNP，得AB∥平面MNP；对于D，易
得AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面
MNP，可得AB∥平面MNP；B、C中得不到AB∥
平面MNP.
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13. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1
上的动点，且 ＝m，AE∥平面DB1C.
（1）若E是BC的中点，则m的值为 ；
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解析： 如图，过点E作BB1的平行线，
交CB1于点G，连接DG. 因为AE∥平面
DB1C，所以AE∥DG. 又AD∥平面
CBB1C1，所以AD∥EG，则四边形DAEG是
平行四边形.故DA＝GE，因为E是BC的中
点，所以G是CB1的中点.故AD＝DA1，即
＝1，即m＝1.
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（2）若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为 .
解析： 如图，过点E作BB1的平行线，
交CB1于点H，连接DH. 因为AE∥平面
DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以
AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四边
形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，因为
EH∥BB1，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝
＝ ，则 ＝2，即m＝2.
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14. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1
的中点.
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
解： 证明：连接A1C（图略），在直
三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩
形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点.
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又
MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
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（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求 的值.
解： 因为DN∥平面ABB1A1，DN 平
面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝
A1B，
所以DN∥A1B，所以 ＝ ＝1.
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15. 如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形
EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
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解： 证明：∵四边形EFGH为平行四
边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解： 同（1）可证EH∥CD，设EF＝
x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－
）］＝12－x，∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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谢 谢 观 看！

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