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第3课时　空间距离及直线与平面所成的角
1.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1到平面A1B1C1D1的距离为（　　）
A.1　 　　B.2　 　　C.3　 　　D.4
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）
A.60° B.45°
C.30° D.120°
3.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（　　）
A.2 B.3
C. D.
4.（2024·南通月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.（多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（　　）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　）
A.BF∥CD
B.DG⊥BH
C.CH与BG成60°角
D.BE与平面ABCD所成角为45°
7.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是　　　　.
8.如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥☉O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为　　　　.
9.（2024·扬州月考）已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，顶点P在底面的射影为△ABC的中心，且其高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则点A到侧面PBC的距离是　　　　.
10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）求AE与平面BDE所成的角的大小.
11.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为（　　）
A.45° B.60°
C.30° D.75°
12.如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥平面☉O，C为圆周上一点，若AB＝5 cm，AC＝2 cm，则点B到平面PAC的距离为　　　　.
13.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为　　　　.
14.（2024·镇江月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离.
15.（多选）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，若A1P⊥BC1，则线段A1P的长可能的取值为（　　）
A. B.
C.2 D.
第3课时　空间距离及直线与平面所成的角
1.D　因为直线A1B1∥平面ABCD且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所求距离为4.
2.A　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.
3.D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝＝＝.故选D.
4.C　如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设棱长为a，则AE＝ a，DE＝ a.所以tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝60°.故选C.
5.ABC　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
6.BCD　由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D.
7.30°　解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
8.2　解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC＝AB＝PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝＝2.
9.　解析：如图，设P在底面的射影为O，取BC的中点D，连接PO，PD，作AE⊥PD于点E，则AE的长为所求.由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA＝2，AO＝2，AD＝3，PD＝，在△PAD中，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝.故点A到侧面PBC的距离为.
10.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
（2）设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
11.A　取BC的中点D，连接AD，B1D，由题意得AD⊥BC且AD⊥BB1，又BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.故选A.
12. cm　解析：∵C为圆周上一点，AB为直径，∴BC⊥AC，又PA⊥平面☉O，BC 平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，即BC为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中，BC＝＝＝（cm）.
13.　解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面积得××2＝××PQ，解得PQ＝.此时tan θ＝＝.
14.解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以BC⊥平面PCD，而PC 平面PCD，所以PC⊥BC.
（2）如图所示，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离.
因为BC⊥平面PCD，EF 平面PCD，
所以EF⊥BC.
又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，所以EF⊥平面PBC.
所以EF的长即为点E到平面PBC的距离.
又因为AE∥BC，AB∥CE，
所以四边形ABCE为平行四边形.
所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.
所以EF＝，即点A到平面PBC的距离为.
15.AB　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.连接B1C，A1C，则BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，同理可证A1C⊥DC1，A1C⊥DB，又DC1，DB 平面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，设垂足为O，则A1O＝A1C＝×＝.记BC1∩B1C＝E，连接DE，A1D，因为P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，A1P⊥BC1，所以P在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上（不含端点），所以A1O≤A1P＜A1D＝＝2，所以A1P的长的取值范围是［，2）.故选A、B.
3 / 3第3课时　空间距离及直线与平面所成的角
新课程标准解读 核心素养
1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念，会求简单的点面距、线面距 数学运算
2.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角 直观想象、数学运算
　　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大.
【问题】　观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　点到平面及直线到平面的距离
1.点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.
2.直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离.
知识点二　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面　　　，但不和这个平面　　　　，这条直线叫作这个平面的斜线
斜足 斜线与平面的　　　　，如图中　　　　
斜线 段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中　　　
射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段　　　　就是斜线段PQ在平面α内的射影
直线 与平 面所 成的 角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，如图中　　　　； 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是　　　　；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是　　角
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则　　　　　
提醒　对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解.
1.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ＜90°
B.直线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ≤90°
C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行
D.若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等
2.若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为（　　）
A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1
3.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
题型一 求点到平面的距离
【例1】　在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离为（　　）
A.　　　　　　　　 .
C. D.
通性通法
求点到平面的距离的步骤
（1）作（或找）出点到平面的垂线段的垂足；
（2）证明线面垂直；
（3）求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离，在平面图形中（一般为三角形）计算所求线段的长；
（4）下结论：给出所求距离.
简称“一作，二证，三求，四答”.
【跟踪训练】
如图，已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离.
题型二 求直线和平面的距离
【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，且侧面ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为（　　）
A.1　　　B.　　　C.　　　D.2
通性通法
　　当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解.
【跟踪训练】
（2024·南京月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的距离为（　　）
A. B.
C. D.1
题型三 求直线与平面所成的角
【例3】　（链接教科书第184页例7）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小；
（2）求直线A1B与平面BB1D1D所成的角的大小.
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
2.（变设问）在本例条件下，求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值.
通性通法
求直线与平面所成角的步骤
（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值.
1.（2024·苏州月考）矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是　　　　.
3.（2024·无锡月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积为　　　　.
第3课时　空间距离及直线与平面所成的角
【基础知识·重落实】
知识点二
　相交　垂直　交点　点Q　PQ　P1Q　∠PQP1　直角　0°　0°≤θ≤90°
自我诊断
1.AD　A、D正确；B应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.故选A、D.
2.A　如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A.
3.B　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直线PB与平面ABC所成的角为45°.故选B.
【典型例题·精研析】
【例1】　D　如图，设△BCD的中心为O，连接AO，则AO的长即为所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝××1＝，∴AO＝＝，即点A到平面BCD的距离为.故选D.
跟踪训练
　解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接EO.
∵E为PA的中点，O为AC的中点，
∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EO∥平面PBC，∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离.
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G.
∵PC⊥平面ABCD，OG 平面ABCD，
∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴OG⊥平面PBC，
∴OG的长即为所求距离.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴OB＝AB·cos∠ABD＝a·cos 30°＝a，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝a·sin 30°＝a，
即点E到平面PBC的距离为a.
【例2】　C　连接AC，则A1C1∥AC.∵A1C1 平面ABCD，AC 平面ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，又A1A＝B1B，∴B1B的长即为A1C1和底面ABCD的距离.由题意知，B1B＝，即A1C1和底面ABCD的距离为.故选C.
跟踪训练
　B　连接AC（图略），则AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，即直线CC1和平面B1BDD1的距离为.故选B.
【例3】　解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
母题探究
1.解：如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
又B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1，
又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，
所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
2.解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1为BD1与平面BB1C1C所成的角.
设正方体的棱长为1，则BC1＝，
∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝＝＝，
∴BD1与平面BB1C1C所成角的正切值为.
跟踪训练
　解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示.
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角.
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点， AH＝，
∵PC＝AC＝2，
∴PA＝2，∴sin ∠APH＝＝.
故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
随堂检测
1.A　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
2.1　解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1.
3.3π　解析：如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π.
4 / 4(共60张PPT)
第3课时　
空间距离及直线与平面所成的角
新课程标准解读 核心素养
1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念，会
求简单的点面距、线面距 数学运算
2.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会
求简单的线面角 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面
所成的角逐渐增大.
【问题】　观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？
知识点一　点到平面及直线到平面的距离
1. 点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点
到这个平面的距离.
2. 直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距
离，叫作这条直线和这个平面的距离.
知识点二　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面 ，但不和
这个平面 ，这条直线叫作这个
平面的斜线
斜足 斜线与平面的 ，如图中 斜线 段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点
到平面的斜线段，如图中 相交　
垂直　
交点　
点Q
PQ　
有关概念 对应图形
射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线
和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线
就是斜线在平面内的射影，线
段 就是斜线段PQ在平面α内
的射影
P1Q　
有关概念 对应图形
直线
与平
面所
成的
角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的
射影所成的锐角，如图中 ； 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它
们所成的角是 ；如果一条直线与平
面平行，或在平面内，那么称它们所成的角
是 角
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，
则 ∠PQP1　
直角　
0°　
0°≤θ≤90°　
提醒　对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜
足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足
和垂足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可
先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一
步求解.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ＜90°
B. 直线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ≤90°
C. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行
D. 若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等
解析： 　A、D正确；B应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可
能平行，也可能相交或异面.故选A、D.
√
√
2. 若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，
则AB的中点到α的距离为（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 如图，设AB的中点为M，分别过A，
M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由
线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题
意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝
5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A.
√
3. 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线
PB与平面ABC所成的角等于（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所
成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直线PB与
平面ABC所成的角为45°.故选B.
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求点到平面的距离
【例1】　在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离
为（　　）
解析： 　如图，设△BCD的中心为O，连接AO，则
AO的长即为所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝
× ×1＝ ，∴AO＝ ＝ ，即点A到
平面BCD的距离为 .故选D.
√
通性通法
求点到平面的距离的步骤
（1）作（或找）出点到平面的垂线段的垂足；
（2）证明线面垂直；
（3）求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离，在平面
图形中（一般为三角形）计算所求线段的长；
（4）下结论：给出所求距离.
简称“一作，二证，三求，四答”.
【跟踪训练】
如图，已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离.
解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接EO.
∵E为PA的中点，O为AC的中点，∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EO∥平面PBC，∴点O到平面PBC的距离就是点
E到平面PBC的距离.
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G.
∵PC⊥平面ABCD，OG 平面ABCD，
∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面
PBC，
∴OG⊥平面PBC，
∴OG的长即为所求距离.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴OB＝AB· cos ∠ABD＝a· cos 30°＝ a，
∴OG＝OB· sin ∠OBC＝ a· sin 30°＝ a，
即点E到平面PBC的距离为 a.
题型二 求直线和平面的距离
【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，且侧面
ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为（　　）
√
解析： 　连接AC，则A1C1∥AC. ∵A1C1 平面ABCD，AC 平面
ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱
柱，∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，又A1A＝B1B，
∴B1B的长即为A1C1和底面ABCD的距离.由题意知，B1B＝ ，即
A1C1和底面ABCD的距离为 .故选C.
通性通法
　　当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此
线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点
求解.
【跟踪训练】
（2024·南京月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直
线CC1和平面B1BDD1的距离为（　　）
解析： 　连接AC（图略），则AC⊥BD，又BB1⊥
AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为 AC＝ ，即直线CC1和平面B1BDD1的距离为 .故选B.
D. 1
√
题型三 求直线与平面所成的角
【例3】　（链接教科书第184页例7）如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小；
解： ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
（2）求直线A1B与平面BB1D1D所成的角的大小.
解： 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝
B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝ ，A1O＝ .
又∵∠A1OB＝90°，
∴ sin ∠A1BO＝ ＝ ，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，
设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，又B1C1∩B1B
＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1，
又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，
B1C 平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，
所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
所以BO＝ A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
2. （变设问）在本例条件下，求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值.
解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1为BD1与平面BB1C1C所
成的角.
设正方体的棱长为1，则BC1＝ ，
∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝ ＝ ＝ ，
∴BD1与平面BB1C1C所成角的正切值为 .
通性通法
求直线与平面所成角的步骤
（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上
一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的
选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值.
解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示.
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面BC，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角.
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点， AH＝ ，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2 ，∴ sin ∠APH＝ ＝ .
故PA与平面PBC所成角的正弦值为 .
1. （2024·苏州月考）矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面
ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在
Rt△PAC中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC
与平面ABCD所成的角为30°.
√
2. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距
离是 .
解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线
B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体
的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD
的距离为1.
1　
3. （2024·无锡月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角
为 ，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线
段AB在平面α上的射影所形成的图形面积为 .
解析：如图，过点A作平面α的垂线，垂足为
C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α
上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，
则∠ABC＝ ，又AC＝1，所以BC＝ ，故射
影形成的图形为半径为 的圆面，其面积为3π.
3π　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则
直线A1B1到平面A1B1C1D1的距离为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　因为直线A1B1∥平面ABCD且点A1到平面ABCD的距离
为4，所以所求距离为4.
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2. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与
平面α所成的角是（　　）
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 120°
解析： 　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB
中，AB＝2BO，所以 cos ∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°.故选A.
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3. 如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝
3，则CE＝（　　）
A. 2 B. 3
解析： 　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且
AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以
DE⊥DC. 因为AF＝2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝
＝ ＝ .故选D.
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4. （2024·南通月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是侧面
BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　如图，取BC的中点E，连接AE，ED，
AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与
平面BB1C1C所成的角.设棱长为a，则AE＝ a，
DE＝ a.所以tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝
60°.故选C.
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5. （多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面
ABCD，则下列结论中正确的是（　　）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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解析： 　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，
SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故
AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面
SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选
项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的
角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC
与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
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6. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中
（　　）
A. BF∥CD
B. DG⊥BH
C. CH与BG成60°角
D. BE与平面ABCD所成角为45°
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解析： 　由正方体的平面展开图还原正方体
如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD
异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH
在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B
正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四
边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距
离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小
是 .
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则
AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于
CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，
BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD
＝30°.
30°　
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8. 如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥☉O所在的平面，C是圆上一
点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的
正切值为 .
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解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射
影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC
＝ AB＝ PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝ ＝2.
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解析：如图，设P在底面的射影为O，取BC的中
点D，连接PO，PD，作AE⊥PD于点E，则AE
的长为所求.由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA
＝2 ，AO＝2，AD＝3，PD＝ ，在△PAD
中，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝ .故点A
到侧面PBC的距离为 .
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10. 如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA
＝2.
（1）求证：AC⊥平面BDE；
解： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
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（2）求AE与平面BDE所成的角的大小.
解： 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，EA＝ ＝
2 ，AO＝ ，
∴在Rt△EOA中， sin ∠AEO＝ ＝ ，
∴∠AEO＝30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
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11. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，
则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为（　　）
A. 45° B. 60°
C. 30° D. 75°
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解析： 　取BC的中点D，连接AD，B1D，
由题意得AD⊥BC且AD⊥BB1，又BC∩BB1
＝B，BC，BB1 平面BCC1B1，∴AD⊥平面
BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所
成的角.设AB＝ ，则AA1＝1，AD＝ ，AB1＝ ，∴ sin
∠AB1D＝ ＝ ，∴∠AB1D＝45°.即AB1与平面BB1C1C所
成的角为45°.故选A.
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解析：∵C为圆周上一点，AB为直径，∴BC⊥AC，又PA⊥平
面☉O，BC 平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，
AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，即BC为点B到平
面PAC的距离.在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝
（cm）.
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13. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，
Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最
大值为 .
　
解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥
PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直
线与平面所成的角.由于tan θ＝ ，其中PA＝
2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥
BC时，PQ最小，BC＝ ＝ ，在
Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ .
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14. （2024·镇江月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
（1）求证：PC⊥BC；
解： 证明：因为PD⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面
PCD，所以BC⊥平面PCD，而PC 平面
PCD，所以PC⊥BC.
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（2）求点A到平面PBC的距离.
解： 如图所示，过点A作BC的平行
线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂
线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以
点A到平面PBC的距离等于点E到平面
PBC的距离.
因为BC⊥平面PCD，EF 平面PCD，
所以EF⊥BC.
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又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC
平面PBC，所以EF⊥平面PBC.
所以EF的长即为点E到平面PBC的距离.
又因为AE∥BC，AB∥CE，
所以四边形ABCE为平行四边形.
所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.
所以EF＝ ，即点A到平面PBC的距离为 .
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15. （多选）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1内
（不含边界）的一个动点，若A1P⊥BC1，则线段A1P的长可能的
取值为（　　）
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解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面
BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.连接B1C，
A1C，则BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C 平面
A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以
BC1⊥A1C，同理可证A1C⊥DC1，A1C⊥DB，又DC1，DB 平
面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，设垂足为O，则A1O＝ A1C＝
× ＝ .记BC1∩B1C＝E，连接DE，A1D，因
为P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，A1P⊥BC1，所以P
在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上（不含端点），所以
A1O≤A1P＜A1D＝ ＝2 ，所以A1P的长的取值范围
是［ ，2 ）.故选A、B.
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