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第2课时　两平面垂直
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（　　）
A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（　　）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
4.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A.90°　　　　　　　　 B.60°
C.45° D.30°
5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（　　）
A.若α∥β，l∥β，则l∥α
B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D.若α⊥β，l∥β，则l⊥α
6.（多选）如图，在正四面体A-BCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是（　　）
A.BC∥平面AGF B.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面ACD D.平面ABF⊥平面BCD
7.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为　　　　.
8.（2024·徐州月考）如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动.当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　　　.
9.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则＝　　　　.
10.（2024·宿迁月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
11.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　）
A.一条线段　　　 B.一条直线
C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点
12.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是（　　）
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
13.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK＝t，则t的取值范围是　　　　　.
14.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
15.（2024·镇江质检）如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，E是线段AM的中点.
（1）求证：平面BDE⊥平面ABCM；
（2）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件；
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD？请说明理由.
第2课时　两平面垂直
1.C　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α、m与α相交或m α，故A错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α、m与α相交或m α，故B错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α、m与α相交或m α，故D错误.故选C.
2.D　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.
3.A　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
4.B　在三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1.又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC.所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选B.
5.BC　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C.
6.ABD　∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，则BC∥平面AGF，故A正确；∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正确；∵CD⊥平面ABF，CD 平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正确；对于选项C，假设平面AEF⊥平面ACD，由平面AEF∩平面ACD＝AF，CD 平面ACD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，与CD，EF夹角为60°矛盾，故C错误.故选A、B、D.
7.90°　解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC就是二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的大小为90°.
8.2　解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.所以DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝＝2.
9.2　解析：由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝，设AB＝2a，则BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
10.解：（1）证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
（2）过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面BB1H，
所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝，
所以B1H＝＝，
故cos∠BHB1＝＝.
11.D　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.
12.D　若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，A错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，C错误；直线PD与平面ABC所成角为∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D正确.
13.　解析：如图所示，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近靠近A的AB的四等分点.∴t的取值范围是.
14.证明：（1）如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
（2）如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
15.解：（1）证明：由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DE 平面ADM，∴DE⊥平面ABCM.
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCM.
（2）过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，l 平面ABCM，∴l⊥平面ADM.
∵AD 平面ADM，∴l⊥AD.
故存在满足题意的直线l.
3 / 3第2课时　两平面垂直
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角 直观想象、数学运算
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直 逻辑推理
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题 逻辑推理
　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.
【问题】　如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　二面角的概念
1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成　　　　，其中的每一部分都叫作　　　　.
2.二面角：一条直线和由这条直线出发的　　　　　　所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面.如图①，②中，棱为l或AB，面为α，β，记作二面角α-l-β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q）（P，Q分别为在α，β内且不在棱上的点）.
3.二面角的平面角
定义 一般地，以二面角的棱上　　　　　　为端点，在两个面内分别作垂直于　　的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角
图示
符号 OA α，OB β，　　　　　　，O∈l，　　　　，OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范围 [0°，180°]
规定 二面角的大小可以用它的　　　　来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是　　　　的二面角叫作直二面角
【想一想】
　二面角与平面几何中的角有什么区别？
知识点二　平面与平面垂直的判定定理
1.平面与平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是　　　　　　，那么就说这两个平面　　　　　　.
2.平面垂直的画法：两个互相垂直的平面通常画成如图①，②所示.
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β垂直，记作　　　　.
3.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
提醒　判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面　　　　，如果一个　　　　有一条直线垂直于这两个平面的　　，那么这条直线与另一个平面　　　　
图形语言
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，　　　　 a⊥β
提醒　对面面垂直的性质定理的再理解：①定理成立的条件有三个：（ⅰ）两个平面互相垂直；（ⅱ）直线在其中一个平面内；（ⅲ）直线与两平面的交线垂直；②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；③已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.这种说法正确吗？
1.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（　　）
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直
D.以上都有可能
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面ABC1D1的平面有　　　　.
题型一 求二面角的大小
【例1】　（链接教科书第192页例3）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小.
通性通法
求二面角大小的步骤
　　简称为“一作二证三求”.
提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.
【跟踪训练】
1.（2024·无锡质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（　　）
A.　 　B.　 　C. 　　D.
2.（多选）从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小可能是（　　）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
题型二 平面与平面垂直的判定定理的应用
【例2】　（链接教科书第193页例4）如图所示，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
【跟踪训练】
如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点.求证：平面BDC1⊥平面BDC.
题型三 平面与平面垂直的性质定理的应用
【例3】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB.
通性通法
1.在应用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
2.面面垂直的性质定理等价于：如果两个平面互相垂直，则过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内.
【跟踪训练】
如图所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD.则AE　　　　平面BCD.
1.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-C的大小是（　　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
2.（多选）已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥AB， PA⊥AC， AB⊥AC，则下列关系中正确的有（　　）
A.平面PAB⊥平面ABC B.平面PAC⊥平面ABC
C.平面PAB⊥平面PAC D.平面PBC⊥平面ABC
3.如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝　　　　.
4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
第2课时　两平面垂直
【基础知识·重落实】
知识点一
1.两部分　半平面　2.两个半平面　
3.任意一点　棱　α∩β＝l　OA⊥l　平面角　直角
想一想
　提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
知识点二
1.直二面角　互相垂直　2.α⊥β
知识点三
　垂直　平面内　交线　垂直　a⊥l
想一想
　提示：不正确.当垂直于交线的直线不落在两个互相垂直平面其中之一时，该直线可能与两个平面都不垂直.
自我诊断
1.D
2.D　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
3.平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面ADD1A1　解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平面A1B1CD.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小为90°.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
跟踪训练
1.B　由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故选B.
2.BD　如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α-l-β的棱l交于点O，连接OE，OF.因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，则∠EOF为二面角α-l-β的平面角，它与∠EPF相等或互补，故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°，故选B、D.
【例2】　证明：法一（利用定义证明）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（利用判定定理）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
跟踪训练
　证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC 平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1 平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，DC，BC 平面BDC，
∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1 平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC.
【例3】　证明：（1）连接PG（图略），∵△PAD为正三角形，且点G为AD边的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.
∵BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，连接BD（图略），则△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，且AD 平面PAD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平面PBG.
∵PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
跟踪训练
　平行　解析：如图所示，取BC的中点M，连接DM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE 平面BCD，DM 平面BCD，所以AE∥平面BCD.
随堂检测
1.B　如图，连接AD'，则∠DAD'即为二面角D'-AB-C的平面角.故选B.
2.ABC　对于A，因为PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，又AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故A正确；对于B，PA⊥平面ABC，又PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故B正确；对于C，因为AB⊥PA，AB⊥AC， PA∩AC＝A，又PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正确；对于D，假设平面PBC⊥平面ABC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为D，则D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以点A与点D重合，则A，B，C三点共线，与△ABC矛盾，故D错误.故选A、B、C.
3.13　解析：连接BC.如图所示.因为BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α.因为BC α，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC中，BC＝＝5.在Rt△CBD中，CD＝＝13.
4.证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF， 所以EF是△SAC的中位线，所以EF∥SC.
因为SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.
5 / 5(共70张PPT)
第2课时　两平面垂直
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的
平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角 直观想象、
数学运算
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定
理判定面面垂直 逻辑推理
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直
的性质定理证明一些简单的问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”
变大的感觉.
【问题】　如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢？
知识点一　二面角的概念
1. 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成 ，其中的每
一部分都叫作 .
2. 二面角：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图
形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角
的面.如图①，②中，棱为l或AB，面为α，β，记作二面角α-l-
β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q）（P，Q分别为在α，β内
且不在棱上的点）.
两部分　
半平面　
两个半平面　
3. 二面角的平面角
定
义 一般地，以二面角的棱上 为端点，在两个面内分别
作垂直于 的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面
角
图
示
任意一点　
棱　
符
号 OA α，OB β， ，O∈l， ，
OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范
围 [0°，180°]
规
定 二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是 的二面角
叫作直二面角
α∩β＝l　
OA⊥l　
平面角　
直角　
【想一想】
　二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角
是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
知识点二　平面与平面垂直的判定定理
1. 平面与平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角
是 ，那么就说这两个平面 .
2. 平面垂直的画法：两个互相垂直的平面通常画成如图①，②所示.
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β
垂直，记作 .
直二面角　
互相垂直　
α⊥β　
3. 平面与平面垂直的判定定理
文字
语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形
语言
符号
语言 l⊥α，l β α⊥β
提醒　判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的
关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面 ，如果一个 有一条直线垂
直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平
面
图形语言
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α， a⊥β
垂直　
平面内　
交线　
垂直　
a⊥l　
提醒　对面面垂直的性质定理的再理解：①定理成立的条件有三个：
（ⅰ）两个平面互相垂直；（ⅱ）直线在其中一个平面内；（ⅲ）直线
与两平面的交线垂直；②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可
用来证明线面垂直；③已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面
垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.
这种说法正确吗？
提示：不正确.当垂直于交线的直线不落在两个互相垂直平面其中之
一时，该直线可能与两个平面都不垂直.
1. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β
的平面角，则必须具有的条件是（　　）
A. AO⊥BO，AO α，BO β
B. AO⊥l，BO⊥l
C. AB⊥l，AO α，BO β
D. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
2. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析： 　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面
都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
√
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂
直于平面ABC1D1的平面有
.
平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面
ADD1A1　
解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有
AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平
面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，
BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平
面A1B1CD.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求二面角的大小
【例1】　（链接教科书第192页例3）如图，四边形ABCD是正方
形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
解： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小为90°.
（2）求二面角B-PA-C的大小.
解： ∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
通性通法
求二面角大小的步骤
　　简称为“一作二证三求”.
提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位
置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面
角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由A-BCD为正四面体，取CD的中
点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，
BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面
ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设
正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故选B.
2. （多选）从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂
线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的
平面角的大小可能是（　　）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
√
√
解析： 　如图所示，过PE，
PF作一个平面γ与二面角α-l-β
的棱l交于点O，连接OE，OF.
因为PE⊥α，PF⊥β，所以
PE⊥l，PF⊥l，又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，则∠EOF为二面角α-l-β的平面角，它与
∠EPF相等或互补，故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或
120°，故选B、D.
题型二 平面与平面垂直的判定定理的应用
【例2】　（链接教科书第193页例4）如图所示，在四面体A-BCS
中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：法一（利用定义证明）　因为∠BSA＝∠CSA
＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（利用判定定理）　因为SA＝SB＝SC，且
∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂
直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个
也垂直于此平面.
【跟踪训练】
如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝
90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点.求证：平面BDC1⊥平面BDC.
证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC
平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1 平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，DC，BC 平面BDC，
∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1 平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC.
题型三 平面与平面垂直的性质定理的应用
【例3】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为a
的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于
底面ABCD，G为AD边的中点.
（1）求证：BG⊥平面PAD；
证明： 连接PG（图略），∵△PAD为正三角
形，且点G为AD边的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PG 平面
PAD，∴PG⊥平面ABCD.
∵BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，连接
BD（图略），则△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，且AD 平面PAD，PG 平面
PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）求证：AD⊥PB.
证明： 由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥
平面PBG.
∵PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
通性通法
1. 在应用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需
作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样
就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
2. 面面垂直的性质定理等价于：如果两个平面互相垂直，则过一个平
面内一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内.
【跟踪训练】
如图所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD. 则AE 平面BCD.
平行　
解析：如图所示，取BC的中点M，连接DM，因为BD
＝CD，所以DM⊥BC. 又因为平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又
AE⊥平面ABC，所以AE∥DM. 又因为AE 平面
BCD，DM 平面BCD，所以AE∥平面BCD.
1. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-C的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　如图，连接AD'，则∠DAD'即为二面角
D'-AB-C的平面角.故选B.
√
2. （多选）已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥AB， PA⊥AC，
AB⊥AC，则下列关系中正确的有（　　）
A. 平面PAB⊥平面ABC
B. 平面PAC⊥平面ABC
C. 平面PAB⊥平面PAC
D. 平面PBC⊥平面ABC
√
√
√
解析： 　对于A，因为PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，
又AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又
PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故A正确；对于B，
PA⊥平面ABC，又PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故
B正确；对于C，因为AB⊥PA，AB⊥AC， PA∩AC＝A，又
PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB 平
面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正确；对于D，假设平面
PBC⊥平面ABC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为D，则
D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以点A与点D重合，则A，B，C
三点共线，与△ABC矛盾，故D错误.故选A、B、C.
3. 如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝ .
13　
解析：连接BC. 如图所示.因为BD⊥AB，α⊥β，
α∩β＝AB，所以BD⊥α.因为BC α，所以
BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC
中，BC＝ ＝5.在Rt△CBD中，CD＝
＝13.
4. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF，
所以EF是△SAC的中位线，所以EF∥SC.
因为SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题
中正确的是（　　）
A. 若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B. 若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
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√
解析： A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α、m与α相交或
m α，故A错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α、m与α
相交或m α，故B错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又
n⊥α，所以m⊥α，故C正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α
可得m∥α、m与α相交或m α，故D错误.故选C.
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2. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平
面，那么这两个二面角（　　）
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 关系无法确定
解析： 　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当
平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面
BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，
所以两个二面角的大小关系不确定.
√
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3. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　）
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部
解析： 　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，AB，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面
ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H
必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
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4. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，
B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
√
解析： 　在三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，
则BC⊥BB1.又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC. 所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边
三角形，所以∠ABC＝60°.故选B.
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5. （多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命
题中正确的是（　　）
A. 若α∥β，l∥β，则l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C. 若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α
√
√
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解析： 　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α
或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，
l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若
l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线
为m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C.
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6. （多选）如图，在正四面体A-BCD中，E，F，G分别是BC，
CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是（　　）
A. BC∥平面AGF
B. EG⊥平面ABF
C. 平面AEF⊥平面ACD
D. 平面ABF⊥平面BCD
√
√
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解析： 　∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，则
BC∥平面AGF，故A正确；∵E，F，G分别是BC，CD，DB的
中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，
∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正确；∵CD⊥平面ABF，
CD 平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正确；对于选项
C，假设平面AEF⊥平面ACD，由平面AEF∩平面ACD＝AF，
CD 平面ACD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，与
CD，EF夹角为60°矛盾，故C错误.故选A、B、D.
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7. 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面
角B-PA-C的大小为 .
解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC就是
二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的
大小为90°.
90°　
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8. （2024·徐州月考）如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC
中，AB＝2，AC＝BC＝ ，等边三角形ADB以AB为轴运动.当
平面ADB⊥平面ABC时，CD＝ .
2　
解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE. 因为
△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥
平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以
DE⊥平面ABC. 所以DE⊥CE. 由已知可得DE＝
，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝ ＝2.
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9. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所
成的角分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为
A'，B'，则 ＝ .
2　
解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
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10. （2024·宿迁月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角
梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和
四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解： 证明：因为四边形ABB1A1和四
边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解： 过点B作BH⊥CD于点H，连
接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则
BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面
BB1H，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
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所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，
所以B1H＝ ＝ ，
故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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11. 如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　）
A. 一条线段
B. 一条直线
C. 一个圆
D. 一个圆，但要去掉两个点
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解析： 　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平
面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为
BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C
的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.
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12. 如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是（　　）
A. PB⊥AD
B. 平面PAB⊥平面PBC
C. 直线BC∥平面PAE
D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°
√
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解析： 　若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，A
错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面
PBC垂直，B错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面
PAE平行，C错误；直线PD与平面ABC所成角为∠PDA，在
Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D正确.
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13. 如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中
点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折
起，使平面ABD⊥平面ABC. 在平面ABD内过点D作DK⊥AB，
K为垂足.设AK＝t，则t的取值范围是 .
　
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解析：如图所示，过D作DG⊥AF，垂足为
G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，
DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.
又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近靠近A的AB的四等分点.∴t的取值范围是 .
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14. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面
PBC，点E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
证明： 如图，在平面ABC内取一点D，
作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
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（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
证明：如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
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15. （2024·镇江质检）如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，
M为CD上一点，且CM＝2MD. 将△ADM沿AM折起，使得平
面ADM⊥平面ABCM，如图②，E是线段AM的中点.
（1）求证：平面BDE⊥平面ABCM；
解： 证明：由已知DA
＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ADM∩平面ABCM＝AM，
DE 平面ADM，∴DE⊥平面ABCM.
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCM.
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（2）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件；
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD？请说明理由.
解： 过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD. 理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ABCM∩平面ADM＝AM，l 平面ABCM，
∴l⊥平面ADM.
∵AD 平面ADM，∴l⊥AD.
故存在满足题意的直线l.
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