资源简介

1.2.1　直线的点斜式方程
1.（2024·盐城月考）方程y＝k（x－2）表示（　　）
A.经过点（－2，0）的所有直线
B.经过点（2，0）的所有直线
C.经过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线
D.经过点（2，0）且除去x轴的所有直线
2.直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　）
A.60°，2　　　　　　　 B.120°，2－
C.60°，2－　　 D.120°，2
3.已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（　　）
A.y＝x＋1　　 B.y＝－x＋5
C.y＝3　　 D.x＝2
4.（2024·连云港月考）斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍，且在y轴上的截距是－2的直线方程是（　　）
A.x＝－2　　 B.y＝x－2
C.y＝x＋2　　 D.y＝x＋2
5.若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（　　）
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
6.（多选）在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（　　）
A.每一条直线都有点斜式方程
B.方程k＝与方程y＋1＝k（x－2）可以表示同一条直线
C.直线l过点P0（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x＝x0
D.直线l过点（2，0），倾斜角为45°，则其方程为y＝x－2
7.已知直线的点斜式方程是y－2＝x－1，那么此直线的倾斜角是　　　　.
8.不管k为何值，直线y＝k（x－2）＋3必过定点　　　　.
9.（2024·南通质检）将直线y＝x＋－1绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是　　　　.
10.求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点（，－1）；
（2）在y轴上的截距是－5.
11.直线l经过点A（－1，1），在x轴上的截距的取值范围是（－2，1），则其斜率的取值范围为（　　）
A.（1，＋∞）
B.（－，1）
C.（－，0）∪（1，＋∞）
D.（－∞，－）∪（1，＋∞）
12.一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（　　）
A.m＞1，且n＜1　　 B.mn＜0
C.m＞0，且n＜0　　 D.m＜0，且n＜0
13.有一根蜡烛点燃6 min后，蜡烛长为17.4 cm；点燃21 min后，蜡烛长为8.4 cm.已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时　　　　 min.
14.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
（1）求证：直线l过定点；
（2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.
15.（2024·南通质检）已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P（a，b）在直线l上，求3a＋3b的最小值.
1.2.1　直线的点斜式方程
1.C　易验证直线经过点（2，0），又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
2.B　该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
3.D　因为直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，可知直线l与x轴垂直，所以直线l的方程为x＝2.故选D.
4.B　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的斜截式可得方程为y＝x－2.
5.C　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C.
6.CD　点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故A错误；点（2，－1）不在方程k＝所表示的直线上，故B错误；C显然正确；D中直线l的斜率k＝tan 45°＝1，由点斜式可得其方程为y－0＝x－2，即y＝x－2，故D正确.
7.45°　解析：由该直线的点斜式方程知，斜率k＝1，则tan α＝1，故倾斜角为45°.
8.（2，3）　解析：化为点斜式为y－3＝k（x－2），故直线必过定点（2，3）.
9.y＝x　解析：直线y＝x＋－1的倾斜角是45°，逆时针方向旋转15°后倾斜角为60°，斜率是，则方程是y－＝（x－1），即y＝x.
10.解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，
∴其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
（1）∵所求直线经过点（，－1），斜率为，
∴所求直线方程是y＋1＝（x－）.
（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
11.D　设直线的斜率为k，则直线方程为y－1＝k（x＋1），令y＝0，得x＝－－1，故直线在x轴上的截距为－－1，令－2＜－－1＜1，得k＞1 或k＜－，故选D.
12.B　由直线y＝－x＋经过第一、三、四象限，得－＞0，＜0，∴m＞0，n＜0.因此一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件为mn＜0.
13.35　解析：根据题意，不妨设直线方程为l＝kt＋b，则解得所以直线方程为l＝－0.6t＋21，当l＝0时，即－0.6t＋21＝0，得t＝35，所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min.
14.解：（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.
由直线方程的点斜式可知，直线过定点（－2，1）.
（2）设函数f（x）＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线，当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即
解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是{k｜－≤k≤1}.
15.解：（1）①当截距为0时，l：y＝2x；
②当截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－（x－1），
∴y＝－x＋3.
综上，l的方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0.
（2）由题意得l：x＋y－3＝0，∴a＋b＝3，
∴3a＋3b≥2＝2＝6，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴3a＋3b的最小值为6.
2 / 21.2.1　直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题 数学抽象、数学运算
　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标.
【问题】　（1）情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
（2）眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的点斜式与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l经过点P1（x1，y1），斜率为k y－y1＝ 　　　
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距） y＝　 　
提醒　当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.
【想一想】
1.若直线的倾斜角为0°，且经过点P0（x0，y0），能用点斜式表示吗？
2.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
3.直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）.（　　）
（2）x轴所在的直线方程为x＝0.（　　）
（3）直线在y轴上的截距不能等于0.（　　）
（4）直线的点斜式方程也可写成＝k.（　　）
2.经过点（－2，2），倾斜角是60°的直线方程是（　　）
A.y＋2＝（x－2）　 B.y－2＝（x＋2）
C.y－2＝（x＋2）　　 D.y＋2＝（x－2）
3.已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是－3，则此直线的方程是（　　）
A.y＝2x－3　　 B.y＝2x＋3
C.y＝－2x－3　　 D.y＝－2x＋3
题型一 直线的点斜式方程
【例1】　（链接教科书第12页例1）写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点（2，5），倾斜角为45°；
（2）直线y＝x＋1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
（3）经过点D（1，1），且与x轴垂直.
通性通法
求直线的点斜式方程的思路
【跟踪训练】
已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A＝60°，B＝45°，求：
（1）AB边所在直线的方程；
（2）AC边与BC边所在直线的点斜式方程.
题型二 直线的斜截式方程
【例2】　（链接教科书第12页例2）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
通性通法
对直线斜截式方程的理解
（1）斜截式是点斜式的一种特殊情形，即斜率为k的直线过点（0，b）；
（2）直线在y（x）轴上的截距不是距离，它是直线与y（x）轴交点的纵（横）坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数；
（3）求直线的斜截式方程，只要确定直线的斜率和截距即可.
【跟踪训练】
根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）过点A（－1，－2），B（0，3）；
（2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
题型三 直线点斜式方程的应用
【例3】　（链接教科书第20页习题12题）（1）已知直线y－1＝k（x－3），当k变化时，所有的直线恒过定点（　　）
A.（1，3）　　B.（－1，－3）
C.（3，1）　　D.（－3，－1）
（2）已知直线l：y－1＝k（x－4）经过点P（4，1），且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，则k＝　　　　.
通性通法
1.解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，则表示的直线必过定点（x0，y0）.
2.在求面积时，要注意将截距转化为距离.
【跟踪训练】
1.直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　）
A.k＞0，b＞0　　 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0　　 D.k＜0，b＜0
2.若y＝a｜x｜与y＝x＋a（a＞0）有两个公共点，则a的取值范围是（　　）
A.a＞1　　 B.0＜a＜1
C.a＝1　　 D.0＜a≤1
1.（2024·徐州质检）直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（　　）
A.k＝3，b＝6　　 B.k＝－3，b＝－6
C.k＝－3，b＝6　　 D.k＝3，b＝－6
2.已知直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为（　　）
A.y＝x＋2　　 B.y＝－x＋2
C.y＝－x－2　　 D.y＝x－2
3.已知直线的倾斜角是45°，且过点（2，－5），则直线在y轴上的截距是　　　　.
4.已知直线l1：y＝－2x＋3.直线l2过点P（1，2），且它的斜率与直线l1的斜率相等.写出直线l2的方程，并在同一直角坐标系中画出直线l1和l2.
1.2.1　直线的点斜式方程
【基础知识·重落实】
知识点
k（x－x1）　kx＋b
想一想
1.提示：能.
2.提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
3.提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝，又经过点（－2，2），则所求直线方程为y－2＝（x＋2），故选B.
3.A　根据直线的斜截式方程得，直线方程为y＝2x－3.故选A.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2.
（2）直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，
所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1.
所以直线l的方程为y－4＝－（x－3）.
（3）由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线无点斜式方程.
跟踪训练
　解：（1）如图所示，因为A（1，1），B（5，1），所以AB∥x轴，
所以AB边所在直线的方程为y＝1.
（2）因为A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝，
所以直线AC的点斜式方程为y－1＝（x－1）.
因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，
所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－（x－5）.
【例2】　解：（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
（3）由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
跟踪训练
　解：（1）斜率k＝＝5，又B（0，3），故过点A，B的直线的斜截式方程为y＝5x＋3.
（2）与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线的斜截式方程为y＝±x－6.
【例3】　（1）C　（2）－　解析：（1）直线y－1＝k（x－3），由点斜式方程可知不论k取何值它所表示的所有的直线都恒过定点（3，1）.故选C.
（2）由题意易知k＜0，当x＝0时，y＝1－4k＞0；当y＝0时，x＝4－＞0.则×（1－4k）×（4－）＝8，解得k＝－.
跟踪训练
1.B　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0.
2.A　y＝x＋a（a＞0）表示斜率为1，在y轴上的截距为a（a＞0）的直线，y＝a｜x｜表示关于y轴对称的两条射线.所以当0＜a≤1时，只有一个公共点，如图①；当a＞1时，有两个公共点，如图②.
随堂检测
1.B
2.B　∵直线的倾斜角α＝120°，∴直线的斜率k＝tan 120°＝－，∴直线的方程为y＝－x＋2.
3.－7　解析：直线的倾斜角是45°，且过点（2，－5），所以斜率为tan 45°＝1，故直线的方程为y＋5＝x－2，所以直线在y轴上的截距为－7.
4.解：因为直线l1：y＝－2x＋3的斜率为＝－2，直线l2的斜率与直线l1的斜率相等，
所以直线l2的斜率＝－2，
因为直线l2过点P（1，2），
所以直线l2的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0，
直线l1，l2在坐标轴中的图形如图.
3 / 3(共53张PPT)
1.2.1　直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数
学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关
问题 数学抽象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手
要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一
条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数
学角度分析子弹是否会命中目标.
【问题】　（1）情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要
素？
（2）眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的点斜式与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜
式 直线 l 经过点 P1（ x1， y1），斜率为 k y － y1＝

斜截
式 直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为（0， b ）（直线 l 与 y 轴的交点（0， b ）的纵坐标 b 称为直线 l 在 y 轴上的截距） y ＝
k （ x －
x1）　
kx ＋ b 　
提醒　当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式
表示.
【想一想】
1. 若直线的倾斜角为0°，且经过点 P0（ x0， y0），能用点斜式
表示吗？
提示：能.
2. 直线与 y 轴的交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概
念吗？
提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
3. 直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？
提示：不一定.当 k ≠0时， y ＝ kx ＋ b 即为一次函数，当 k ＝0时， y
＝ b 不是一次函数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式 y － y0＝ k （ x － x0）.
（　×　）
（2） x 轴所在的直线方程为 x ＝0. （　×　）
（3）直线在 y 轴上的截距不能等于0. （　×　）
（4）直线的点斜式方程也可写成 ＝ k . （　×　）
×
×
×
×
2. 经过点（－2，2），倾斜角是60°的直线方程是（　　）
解析：　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝
，又经过点（－2，2），则所求直线方程为 y －2＝ （ x ＋
2），故选B.
3. 已知直线的斜率是2，且在 y 轴上的截距是－3，则此直线的方程是
（　　）
A. y ＝2 x －3 B. y ＝2 x ＋3
C. y ＝－2 x －3 D. y ＝－2 x ＋3
解析：　根据直线的斜截式方程得，直线方程为 y ＝2 x －3.
故选A.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的点斜式方程
【例1】　（链接教科书第12页例1）写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点（2，5），倾斜角为45°；
解：因为倾斜角为45°，
所以斜率 k ＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为 y －5＝ x －2.
（2）直线 y ＝ x ＋1绕着其上一点 P （3，4）逆时针旋转90°后得直线
l ，求直线 l 的点斜式方程；
解：直线 y ＝ x ＋1的斜率 k ＝1，
所以倾斜角为45°.
由题意知，直线 l 的倾斜角为135°，
所以直线 l 的斜率k'＝tan 135°＝－1.
所以直线 l 的方程为 y －4＝－（ x －3）.
（3）经过点 D （1，1），且与 x 轴垂直.
解：由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为 x
＝1，该直线无点斜式方程.
通性通法
求直线的点斜式方程的思路
【跟踪训练】
已知在第一象限的△ ABC 中， A （1，1）， B （5，1）， A ＝60°， B
＝45°，求：
（1） AB 边所在直线的方程；
解：如图所示，因为 A （1，1）， B （5，
1），所以 AB ∥ x 轴，
所以 AB 边所在直线的方程为 y ＝1.
（2） AC 边与 BC 边所在直线的点斜式方程.
解：因为 A ＝60°，所以 kAC ＝tan 60°＝ ，
所以直线 AC 的点斜式方程为 y －1＝ （ x －1）.
因为 B ＝45°，所以 kBC ＝tan 135°＝－1，
所以直线 BC 的点斜式方程为 y －1＝－（ x －5）.
题型二 直线的斜截式方程
【例2】　（链接教科书第12页例2）根据条件写出下列直线的斜截式
方程：
（1）斜率为2，在 y 轴上的截距是5；
解：由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y ＝2 x＋5.
（2）倾斜角为150°，在 y 轴上的截距是－2；
解：由于直线的倾斜角为150°，所以斜率 k ＝tan 150°＝
－ ，由斜截式可得方程为 y ＝－ x －2.
（3）倾斜角为60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
解：由于直线的倾斜角为60°，所以斜率 k ＝tan 60°＝
.由于直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在 y
轴上的截距 b ＝3或 b ＝－3，故所求直线方程为 y ＝ x ＋3或 y
＝ x －3.
通性通法
对直线斜截式方程的理解
（1）斜截式是点斜式的一种特殊情形，即斜率为 k 的直线过点（0，
b ）；
（2）直线在 y （ x ）轴上的截距不是距离，它是直线与 y （ x ）轴
交点的纵（横）坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零
或负数；
（3）求直线的斜截式方程，只要确定直线的斜率和截距即可.
【跟踪训练】
根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）过点 A （－1，－2）， B （0，3）；
解：斜率 k ＝ ＝5，又 B （0，3），故过点 A ， B 的直
线的斜截式方程为 y ＝5 x ＋3.
（2）在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴夹角为60°.
解：与 y 轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所
以斜率 k 为tan 30°或tan 150°，即 k ＝± ，故所求直线的斜
截式方程为 y ＝± x －6.
题型三 直线点斜式方程的应用
【例3】　（链接教科书第20页习题12题）（1）已知直线 y －1＝ k
（ x －3），当 k 变化时，所有的直线恒过定点（　C　）
A. （1，3） B. （－1，－3）
C. （3，1） D. （－3，－1）
解析：直线 y －1＝ k （ x －3），由点斜式方程可知不论 k 取何值它所
表示的所有的直线都恒过定点（3，1）.故选C.
（2）已知直线 l ： y －1＝ k （ x －4）经过点 P （4，1），且与两坐标
轴在第一象限围成的三角形的面积为8，则 k ＝ .
解析：由题意易知 k ＜0，当 x ＝0时， y ＝1－4 k ＞0；当 y ＝0
时， x ＝4－ ＞0.则 ×（1－4 k ）×（4－ ）＝8，解得 k ＝－ .
－
通性通法
1. 解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成 y － y0＝ k （ x
－ x0）的形式，则表示的直线必过定点（ x0， y0）.
2. 在求面积时，要注意将截距转化为距离.
【跟踪训练】
1. 直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、三、四象限，则有（　　）
A. k ＞0， b ＞0 B. k ＞0， b ＜0
C. k ＜0， b ＞0 D. k ＜0， b ＜0
解析：　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形
如图所示，由图知， k ＞0， b ＜0.
2. 若 y ＝ a ｜ x ｜与 y ＝ x ＋ a （ a ＞0）有两个公共点，则 a 的取值范
围是（　　）
A. a ＞1 B. 0＜ a ＜1
C. a ＝1 D. 0＜ a ≤1
解析：A　 y ＝ x ＋ a （ a ＞0）表
示斜率为1，在 y 轴上的截距为 a
（ a ＞0）的直线， y ＝ a ｜ x ｜表
示关于 y 轴对称的两条射线.所以当0＜ a ≤1时，只有一个公共点，如图①；当 a ＞1时，有两个公共点，如图②.
1. （2024·徐州质检）直线 y ＝－3 x －6的斜率为 k ，在 y 轴上的截距为
b ，则（　　）
A. k ＝3， b ＝6 B. k ＝－3， b ＝－6
C. k ＝－3， b ＝6 D. k ＝3， b ＝－6
2. 已知直线的倾斜角为120°，在 y 轴上的截距为2，则此直线的方程
为（　　）
解析：　∵直线的倾斜角α＝120°，∴直线的斜率 k ＝tan 120°
＝－ ，∴直线的方程为 y ＝－ x ＋2.
3. 已知直线的倾斜角是45°，且过点（2，－5），则直线在 y 轴上的
截距是 .
解析：直线的倾斜角是45°，且过点（2，－5），所以斜率为tan
45°＝1，故直线的方程为 y ＋5＝ x －2，所以直线在 y 轴上的截距
为－7.
－7　
4. 已知直线 l1： y ＝－2 x ＋3.直线 l2过点 P （1，2），且它的斜率与
直线 l1的斜率相等.写出直线 l2的方程，并在同一直角坐标系中画出
直线 l1和 l2.
解：因为直线 l1： y ＝－2 x ＋3的斜率为 ＝－2，
直线 l2的斜率与直线 l1的斜率相等，
所以直线 l2的斜率 ＝－2，
因为直线 l2过点 P （1，2），
所以直线 l2的方程为 y －2＝－2（ x －1），即2 x ＋
y －4＝0，
直线 l1， l2在坐标轴中的图形如图.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·盐城月考）方程 y ＝ k （ x －2）表示（　　）
A. 经过点（－2，0）的所有直线
B. 经过点（2，0）的所有直线
C. 经过点（2，0）且不垂直于 x 轴的所有直线
D. 经过点（2，0）且除去 x 轴的所有直线
解析：　易验证直线经过点（2，0），又直线斜率存在，故直线
不垂直于 x 轴.
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2. 直线 y －2＝－ （ x ＋1）的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为
（　　）
A. 60°，2
D. 120°，2
解析：　该直线的斜率为－ ，当 x ＝0时， y ＝2－ ，∴其倾
斜角为120°，在 y 轴上的截距为2－ .
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3. 已知直线 l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线 l 的方程为
（　　）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝－ x ＋5
C. y ＝3 D. x ＝2
解析：　因为直线 l 过点（2，3），且倾斜角为90°，可知直线 l
与 x 轴垂直，所以直线 l 的方程为 x ＝2.故选D.
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4. （2024·连云港月考）斜率是直线 y ＝ x －2的斜率的2倍，且在 y
轴上的截距是－2的直线方程是（　　）
A. x ＝－2
C. y ＝ x ＋2
解析：　由方程知，已知直线的斜率为 ，所以所求直线的斜率
是 ，由直线的斜截式可得方程为 y ＝ x －2.
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5. 若直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，则点（－ a ，－ b ）位于
（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，所以 a ＞
0， b ＞0，所以（－ a ，－ b ）位于第三象限，故选C.
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6. （多选）在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（　　）
A. 每一条直线都有点斜式方程
C. 直线 l 过点 P0（ x0， y0），倾斜角为90°，则其方程为 x ＝ x0
D. 直线 l 过点（2，0），倾斜角为45°，则其方程为 y ＝ x －2
解析：点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故A错误；点
（2，－1）不在方程 k ＝ 所表示的直线上，故B错误；C显然正
确；D中直线 l 的斜率 k ＝tan 45°＝1，由点斜式可得其方程为 y －0
＝ x －2，即 y ＝ x －2，故D正确.
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7. 已知直线的点斜式方程是 y －2＝ x －1，那么此直线的倾斜角
是 .
解析：由该直线的点斜式方程知，斜率 k ＝1，则tan α＝1，故倾
斜角为45°.
45°　
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8. 不管 k 为何值，直线 y ＝ k （ x －2）＋3必过定点 .
解析：化为点斜式为 y －3＝ k （ x －2），故直线必过定点（2，
3）.
（2，3）　
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9. （2024·南通质检）将直线 y ＝ x ＋ －1绕它上面一点（1， ）
沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是 .
解析：直线 y ＝ x ＋ －1的倾斜角是45°，逆时针方向旋转15°
后倾斜角为60°，斜率是 ，则方程是 y － ＝ （ x －1），
即 y ＝ x .
y ＝ x 　
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10. 求倾斜角是直线 y ＝－ x ＋1的倾斜角的 ，且分别满足下列条
件的直线方程：
（1）经过点（ ，－1）；
解：∵直线 y ＝－ x ＋1的斜率 k ＝－ ，
∴其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝ α＝30°，
故所求直线的斜率 k1＝tan 30°＝ .
∵所求直线经过点（ ，－1），斜率为 ，
∴所求直线方程是 y ＋1＝ （ x － ）.
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（2）在 y 轴上的截距是－5.
解： ∵所求直线的斜率是 ，在 y 轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为 y ＝ x －5.
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11. 直线 l 经过点 A （－1，1），在 x 轴上的截距的取值范围是（－2，
1），则其斜率的取值范围为（　　）
A. （1，＋∞）
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解析：　设直线的斜率为 k ，则直线方程为 y －1＝ k （ x ＋1），
令 y ＝0，得 x ＝－ －1，故直线在 x 轴上的截距为－ －1，令－2
＜－ －1＜1，得 k ＞1 或 k ＜－ ，故选D.
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12. 一次函数 y ＝－ x ＋ 的图象经过第一、三、四象限的必要不充
分条件是（　　）
A. m ＞1，且 n ＜1 B. mn ＜0
C. m ＞0，且 n ＜0 D. m ＜0，且 n ＜0
解析：　由直线 y ＝－ x ＋ 经过第一、三、四象限，得－ ＞
0， ＜0，∴ m ＞0， n ＜0.因此一次函数 y ＝－ x ＋ 的图象经
过第一、三、四象限的必要不充分条件为 mn ＜0.
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13. 有一根蜡烛点燃6 min后，蜡烛长为17.4 cm；点燃21 min后，蜡烛
长为8.4 cm.已知蜡烛长度 l （cm）与燃烧时间 t （min）可用直线
方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min.
解析：根据题意，不妨设直线方程为 l ＝ kt ＋ b ，则
解得所以直线方程为 l ＝－0.6 t ＋
21，当 l ＝0时，即－0.6 t ＋21＝0，得 t ＝35，所以这根蜡烛从点
燃到燃尽共耗时35 min.
35　
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14. 已知直线 l ： y ＝ kx ＋2 k ＋1.
（1）求证：直线 l 过定点；
解：证明：由 y ＝ kx ＋2 k ＋1，得 y －1＝ k （ x ＋2）.
由直线方程的点斜式可知，
直线过定点（－2，1）.
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（2）当－3＜ x ＜3时，直线上的点都在 x 轴上方，求实数 k 的取值
范围.
解：设函数 f （ x ）＝ kx ＋2 k ＋1，
显然其图象是一条直线，当－3＜ x ＜3时，直线上的点都在
x 轴上方，
需满足即
解得－ ≤ k ≤1.
所以实数 k 的取值范围是 .
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15. （2024·南通质检）已知直线 l 过点（1，2）且在 x ， y 轴上的截距
相等.
（1）求直线 l 的方程；
解：①当截距为0时， l ： y ＝2 x ；
②当截距不为0时， k ＝－1， l ： y －2＝－（ x －1），
∴ y ＝－ x ＋3.
综上， l 的方程为2 x － y ＝0或 x ＋ y －3＝0.
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（2）若直线 l 在 x ， y 轴上的截距不为0，点 P （ a ， b ）在直线 l
上，求3 a ＋3 b 的最小值.
解：由题意得 l ： x ＋ y －3＝0，∴ a ＋ b ＝3，
∴3 a ＋3 b ≥2 ＝2 ＝6 ，
当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等号成立，
∴3 a ＋3 b 的最小值为6 .
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谢 谢 观 看！

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