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1.3　两条直线的平行与垂直
新课程标准解读 核心素养
能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算、逻辑推理
第1课时　两条直线平行
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？
【问题】　（1）在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？
（2）若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两条不重合直线平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 　　　 l1∥l2 两直线斜率 都不存在
图示
提醒　l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（　　）
（2）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.（　　）
（3）若两直线斜率相等，则两直线平行.（　　）
（4）若两直线平行，则两直线斜率相等.（　　）
2.下列与直线4x－y－2＝0平行的直线的方程是（　　）
A.4x－y－4＝0
B.4x＋y－2＝0
C.x－4y－2＝0
D.x＋4y＋2＝0
3.若直线ax＋y＋1＝0与直线4x＋ay＋2＝0平行，则a＝　　　　.
题型一 两条直线平行的判定
【例1】　（链接教科书第23页例2、练习1题）判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
（1）l1经过点A（－1，－2），B（2，1），l2经过点M（3，4），N（－1，－1）；
（2）l1经过点A（－3，2），B（－3，10），l2经过点M（5，－2），N（5，5）；
（3）l1：y＝2x＋2，l2：y＝2x＋1；
（4）l1：－x＋y－3＝0，l2：－x＋y＋2＝0.
通性通法
1.判断两条不重合的直线是否平行的方法
2.已知直线的一般式方程判断两直线平行除常用方法外，也可以通过以下方法进行判定：
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
（1）若l1∥l2 ＝≠（A2，B2，C2均不为零）；
（2）若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）.
【跟踪训练】
　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为1，l2经过点A（1，1），B（2，2）；
（2）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（－1，3），N（2，0）；
（3）l1：3x－6y＋3＝0，l2：2x－4y＋2＝0.
题型二 求与已知直线平行的直线方程
【例2】　（链接教科书第23页例3）求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点（1，2）的直线l的方程.
通性通法
　　求与已知直线平行的直线方程可以求点斜式方程，也可以先设成与已知直线平行的直线系的一般式方程，即与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为Ax＋By＋m＝0（m≠C），再用待定系数法求方程.
【跟踪训练】
1.已知直线l过点（0，7），且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为（　　）
A.y＝－4x－7　　　　　 B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7　　 D.y＝－4x＋7
2.已知A（0，－2），B（3，1），C（－2，2）三点，直线l过点B且与直线AC平行，则直线l的方程为　　　　.
题型三 两条直线平行的应用
【例3】　（1）已知两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则a＝（　　）
A.－1　　 B.2
C.0或－2　　 D.－1或2
（2）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）.求证：四边形ABCD是梯形.
通性通法
1.利用两直线平行判定平面图形的形状一般要运用数形结合的思想方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率进行判定.
2.利用两直线平行求参数，可利用两直线平行的性质进行求解，要特别注意斜率不存在的情况；也可先将方程化为一般式，由两直线平行时系数的关系列出式子求解.
【跟踪训练】
如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，－1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
1.已知直线l1的倾斜角为30°，又l1∥l2，则直线l2的斜率为（　　）
A.　　B.－　　C.　　D.－
2.已知直线l1经过点A（0，－1）和点B，直线l2经过点M（1，1）和点N（0，－2），若l1与l2没有公共点，则实数a＝　　　　.
3.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行：
（1）l1经过点A（2，3），B（－4，0），l2经过点M（－3，1），N（－2，2）；
（2）l1的斜率为－，l2经过点A（4，2），B（2，3）；
（3）l1：x＋y－1＝0，l2：x＋2y＋1＝0.
第1课时　两条直线平行
【基础知识·重落实】
知识点
k1＝k2　
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）×
2.A　直线4x－y－2＝0斜率为4，纵截距为－2，A选项：直线斜率为4，纵截距为－4，符合；B选项：直线斜率为－4，纵截距为2，不符合；C选项：直线斜率为，纵截距为－，不符合；D选项：直线斜率为－，纵截距为－，不符合.故选A.
3.－2　解析：因为直线ax＋y＋1＝0与直线4x＋ay＋2＝0平行，则两直线的斜率相等且在y轴上的截距不等，即解得a＝－2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，故l1与l2不平行.
（2）由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2.
（3）由直线l1，l2的方程知，k1＝2，k2＝2，k1＝k2，又两直线不重合，所以l1∥l2.
（4）法一　由直线l1，l2的方程知，k1＝1，k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以l1∥l2.
法二　由＝≠，故直线l1∥l2.
法三　由故直线l1∥l2.
跟踪训练
　解：（1）k1＝1，k2＝＝1，虽然k1＝k2，但两直线可能重合.
故l1∥l2或l1与l2重合.
（2）k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2.
又kAM＝＝－2≠－1，
则A，B，M不共线，故l1∥l2.
（3）由＝＝，可知直线l1与l2重合.
【例2】　解：法一　设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－，
又∵直线l经过点（1，2），
∴所求直线的方程为y－2＝－（x－1），
即3x＋4y－11＝0.
法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠1）.
∵直线l经过点（1，2），
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，
∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0.
跟踪训练
1.D　过点（0，7）且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7.
2.2x＋y－7＝0　解析：由题意可知kAC＝＝－2，则kl＝－2，又直线l过点B，∴直线l的方程为y－1＝－2（x－3），即2x＋y－7＝0.
【例3】　（1）A　法一　由题知，两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则a（a－1）＝2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，直线l1：－2x＋2y＋1＝0与l2：x－y＋1＝0平行；当a＝2时，直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：x＋2y＋1＝0重合（舍去）.综上，a＝－1.故选A.
法二　因为两直线平行且x，y前的系数不为0，所以＝≠，解得a＝－1.故选A.
（2）证明：由A（－1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），
则kAB＝＝，kCD＝＝，
∴kAB＝kCD，从而AB∥CD.
又∵BC所在直线垂直于x轴（斜率不存在），而kAD＝＝－.可得直线BC与AD不平行.
∴四边形ABCD是梯形.
跟踪训练
　解：四边形ABCD是平行四边形.由已知可得AB边所在直线的斜率kAB＝＝－，
CD边所在直线的斜率kCD＝＝－，
BC边所在直线的斜率kBC＝＝，
DA边所在直线的斜率kDA＝＝.
所以kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
随堂检测
1.C　因为l1∥l2，所以＝＝tan 30°＝.
2.－6　解析：由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，∴－＝3，∴a＝－6.
3.解：（1）kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行.
（2）l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合.
（3）由＝≠，故直线l1∥l2.
3 / 3第1课时　两条直线平行
1.已知过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3，则下列说法正确的是（　　）
A.两直线的斜率均不存在
B.两直线平行
C.两直线重合
D.两直线在y轴上的截距相等
2.已知过点A（－2，m）和点B（m，4）的直线与斜率为－2的直线平行，则m＝（　　）
A.－8　　 B.0
C.2　　 D.10
3.过点（5，0）且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是（　　）
A.2x＋y＋5＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－5＝0
D.x＋2y＋5＝0
4.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（－1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为（　　）
A.（3，0）　　 B.（－3，0）
C.（0，－3）　　 D.（0，3）
5.（多选）下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是（　　）
A.2ax－ay＋6＝0（a≠0，a≠－2）
B.y＝2x
C.2x－y＋5＝0
D.2x＋y－3＝0
6.过点P（0，1）且与直线x＋y＝0平行的直线的方程为　　　　.
7.已知直线l1的斜率是2，直线l2过点A（－1，－2），B（x，6），且l1∥l2，则lox＝　　　　.
8.已知过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝　　　　.
9.直线l过点（－2，2）且与直线x＋2y＝0平行，则直线l与x，y轴围成的三角形面积为　　　　.
10.当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线：
（1）倾斜角为135°；
（2）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.
11.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，点（2 024，2 025）与点（a，b）重合，则a＋b＝（　　）
A.4 046　　　　　　　　 B.4 047
C.4 048　　 D.4 049
12.若直线l1：m2x＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋（m－2）y＋m＝0平行，则m＝　　　　.
13.已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为　　　　.
14.已知A（1，3），B（5，1），C（3，7），A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
15.在平面直角坐标系中，已知直线l1：ax＋by＋1＝0，l2：（a－2）x＋y＋a＝0.
（1）求直线l2经过定点的坐标；
（2）当b＝4且l1∥l2时，求实数a的值.
第1课时　两条直线平行
1.B　两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行，且在y轴上的截距不相等.
2.A　由题意可知，kAB＝＝－2，所以m＝－8.
3.C　由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0（c≠－2），因为点（5，0）在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0，故选C.
4.D　设P（0，y），因为l1∥l2，所以＝2，所以y＝3.即P（0，3）.
5.ABC　两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，其平行的充要条件为A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1，对于A项，易知2×（－a）＝－1×2a且－3×2a≠2×6且a≠0，即A正确；对于B项，易得y＝2x 2x－y＝0，有2×（－1）＝－1×2且0×2≠－3×2，即B正确；对于C项，易知2×（－1）＝－1×2且5×2≠－3×2，即C正确；对于D项，易知2×1≠－1×2，D项不符合.故选A、B、C.
6.x＋y－1＝0　解析：设所求直线方程为x＋y＋c＝0（c≠0），将点P（0，1）代入得1＋c＝0，解得c＝－1，则所求直线方程为x＋y－1＝0.
7.－　解析：由题意可设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1与直线l2平行，∴k1＝k2，即2＝，解得x＝3.∴lox＝lo3＝＝－.
8.－2　解析：由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，解得m＝－2.
9.1　解析：直线x＋2y＝0的斜率为－，故直线l的方程为y＝－（x＋2）＋2，即x＋2y－2＝0，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，所以直线l与x，y轴围成的三角形面积为×1×2＝1.
10.解：（1）由kAB＝＝tan 135°＝－1，
得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.
（2）由＝＝－2，解得m＝或－1.
11.D　设A（2，0），B（－2，4），则点A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1，由题意知，过点（2 024，2 025），（a，b）的直线与直线AB平行，所以＝－1，整理得a＋b＝2 024＋2 025＝4 049，故选D.
12.0或－1　解析：因为l1∥l2，所以有m2（m－2）－3m＝0 m（m2－2m－3）＝m（m－3）（m＋1）＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝3.当m＝0时，l1：y＝－3，l2：y＝0，所以l1∥l2；当m＝－1时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋＝0，所以l1∥l2；当m＝3时，l1：9x＋y＋3＝0，l2：9x＋y＋3＝0，所以l1与l2重合，所以m＝0或m＝－1.
13.　解析：因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－（b2－）2＋≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为.
14.解：由题，A（1，3），B（5，1），C（3，7），
所以kAC＝2，kAB＝－，kBC＝－3，
设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD＝kAB，kBD＝kAC，
所以kBD＝＝2，kCD＝＝－，
得x＝7，y＝5，即D（7，5）；
②当AC为对角线时，有kCD＝kAB，kAD＝kBC，
所以kAD＝＝－3，kCD＝＝－，
得x＝－1，y＝9，即D（－1，9）；
③当AB为对角线时，有kBD＝kAC，kAD＝kBC，
所以kBD＝＝2，kAD＝＝－3，
得x＝3，y＝－3，即D（3，－3）.
综上，D的坐标为（7，5）或（－1，9）或（3，－3）.
15.解：（1）∵（a－2）x＋y＋a＝0，
∴ax－2x＋y＋a＝0，
∴a（x＋1）＋（y－2x）＝0，
令x＋1＝0且y－2x＝0，则x＝－1，y＝－2，
∴对任意a∈R，直线l2：（a－2）x＋y＋a＝0过定点（－1，－2）.
（2）当b＝4时，直线l1：ax＋4y＋1＝0，
即y＝－x－，
又直线l2：（a－2）x＋y＋a＝0，
即y＝（2－a）x－a，
∵l1∥l2，∴－＝2－a且－≠－a，∴a＝.
2 / 2(共59张PPT)
1.3　两条直线的平行与垂直
新课程标准解读 核心素养
能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算、逻辑
推理
第1课时　两条直线平行
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的
位置关系？
【问题】　（1）在平面直角坐标中，若 l1∥ l2，则它们的倾斜角α1与
α2有什么关系？
（2）若 l1∥ l2，则 l1， l2的斜率相等吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两条不重合直线平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥ l2 l1∥ l2 两直线斜率都不存在
图示
k1＝ k2　
提醒　 l1∥ l2 k1＝ k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；
② l1与 l2不重合.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线 l1与 l2倾斜角相等，则 l1∥ l2. （　×　）
（2）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行. （　√　）
（3）若两直线斜率相等，则两直线平行. （　×　）
（4）若两直线平行，则两直线斜率相等. （　×　）
×
√
×
×
2. 下列与直线4 x － y －2＝0平行的直线的方程是（　　）
A. 4 x － y －4＝0 B. 4 x ＋ y －2＝0
C. x －4 y －2＝0 D. x ＋4 y ＋2＝0
解析：　直线4 x － y －2＝0斜率为4，纵截距为－2，A选项：直
线斜率为4，纵截距为－4，符合；B选项：直线斜率为－4，纵截
距为2，不符合；C选项：直线斜率为 ，纵截距为－ ，不符合；
D选项：直线斜率为－ ，纵截距为－ ，不符合.故选A.
3. 若直线 ax ＋ y ＋1＝0与直线4 x ＋ ay ＋2＝0平行，则 a ＝ .
解析：因为直线 ax ＋ y ＋1＝0与直线4 x ＋ ay ＋2＝0平行，则两直
线的斜率相等且在 y 轴上的截距不等，即解得 a ＝－2.
－2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 两条直线平行的判定
【例1】　（链接教科书第23页例2、练习1题）判断下列各题中的直
线 l1与 l2是否平行：
（1） l1经过点 A （－1，－2）， B （2，1）， l2经过点 M （3，4），
N （－1，－1）；
解：k1＝ ＝1， k2＝ ＝ ， k1≠ k2，故 l1与 l2不
平行.
（2） l1经过点 A （－3，2）， B （－3，10）， l2经过点 M （5，－
2）， N （5，5）；
解：由已知点的坐标，得 l1与 l2均与 x 轴垂直且不重合，故
l1∥ l2.
（3） l1： y ＝2 x ＋2， l2： y ＝2 x ＋1；
解：由直线 l1， l2的方程知， k1＝2， k2＝2， k1＝ k2，又两
直线不重合，所以 l1∥ l2.
（4） l1：－ x ＋ y －3＝0， l2：－ x ＋ y ＋2＝0.
解：法一　由直线 l1， l2的方程知， k1＝1， k2＝1， k1＝
k2，又直线 l1， l2不重合，所以 l1∥ l2.
法二　由 ＝ ≠ ，故直线 l1∥ l2.
法三　由故直线 l1∥ l2.
通性通法
1. 判断两条不重合的直线是否平行的方法
2. 已知直线的一般式方程判断两直线平行除常用方法外，也可以通过
以下方法进行判定：
设直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0，直线 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0：
（1）若 l1∥ l2 ＝ ≠ （ A2， B2， C2均不为零）；
（2）若 l1∥ l2 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0（或 A1 C2－ A2
C1≠0）.
【跟踪训练】
　判断下列各题中的直线 l1与 l2是否平行：
（1） l1的斜率为1， l2经过点 A （1，1）， B （2，2）；
解：k1＝1， k2＝ ＝1，虽然 k1＝ k2，但两直线可能重合.
故 l1∥ l2或 l1与 l2重合.
（2） l1经过点 A （0，1）， B （1，0）， l2经过点 M （－1，3）， N
（2，0）；
解：k1＝ ＝－1， k2＝ ＝－1， k1＝ k2.
又 kAM ＝ ＝－2≠－1，
则 A ， B ， M 不共线，故 l1∥ l2.
（3） l1：3 x －6 y ＋3＝0， l2：2 x －4 y ＋2＝0.
解：由 ＝ ＝ ，可知直线 l1与 l2重合.
题型二 求与已知直线平行的直线方程
【例2】　（链接教科书第23页例3）求与直线3 x ＋4 y ＋1＝0平行，且
过点（1，2）的直线 l 的方程.
解：法一　设直线 l 的斜率为 k ，
∵直线 l 与直线3 x ＋4 y ＋1＝0平行，
∴ k ＝－ ，
又∵直线 l 经过点（1，2），
∴所求直线的方程为 y －2＝－ （ x －1），
即3 x ＋4 y －11＝0.
法二　设与直线3 x ＋4 y ＋1＝0平行的直线 l 的方程为3 x ＋4 y ＋ m ＝0
（ m ≠1）.
∵直线 l 经过点（1，2），
∴3×1＋4×2＋ m ＝0，解得 m ＝－11，
∴所求直线的方程为3 x ＋4 y －11＝0.
通性通法
　　求与已知直线平行的直线方程可以求点斜式方程，也可以先
设成与已知直线平行的直线系的一般式方程，即与直线 Ax ＋ By ＋
C ＝0平行的直线方程为 Ax ＋ By ＋ m ＝0（ m ≠ C ），再用待定系
数法求方程.
【跟踪训练】
1. 已知直线 l 过点（0，7），且与直线 y ＝－4 x ＋2平行，则直线 l 的
方程为（　　）
A. y ＝－4 x －7 B. y ＝4 x －7
C. y ＝4 x ＋7 D. y ＝－4 x ＋7
解析：　过点（0，7）且与直线 y ＝－4 x ＋2平行的直线方程为 y
－7＝－4 x ，即直线 l 的方程为 y ＝－4 x ＋7.
2. 已知 A （0，－2）， B （3，1）， C （－2，2）三点，直线 l 过点 B
且与直线 AC 平行，则直线 l 的方程为 .
解析：由题意可知 kAC ＝ ＝－2，则 kl ＝－2，又直线 l 过点 B ，
∴直线 l 的方程为 y －1＝－2（ x －3），即2 x ＋ y －7＝0.
2 x ＋ y －7＝0　
题型三 两条直线平行的应用
【例3】　（1）已知两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋ ay
＋1＝0平行，则 a ＝（　　）
A. －1 B. 2
C. 0或－2 D. －1或2
解析：　法一　由题知，两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与 l2：
x ＋ ay ＋1＝0平行，则 a （ a －1）＝2，解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a ＝－
1时，直线 l1：－2 x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x － y ＋1＝0平行；当 a ＝2时，
直线 l1： x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋2 y ＋1＝0重合（舍去）.综上， a ＝
－1.故选A.
法二　因为两直线平行且 x ， y 前的系数不为0，所以 ＝ ≠ ，解
得 a ＝－1.故选A.
（2）已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A （－1，2），
B （3，4）， C （3，2）， D （1，1）.求证：四边形 ABCD
是梯形.
证明：由 A （－1，2）， B （3，4）， C （3，2）， D （1，1），
则 kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ，
∴ kAB ＝ kCD ，从而 AB ∥ CD .
又∵ BC 所在直线垂直于 x 轴（斜率不存在），而 kAD ＝ ＝
－ .可得直线 BC 与 AD 不平行.
∴四边形 ABCD 是梯形.
通性通法
1. 利用两直线平行判定平面图形的形状一般要运用数形结合的思想方
法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率进行判定.
2. 利用两直线平行求参数，可利用两直线平行的性质进行求解，要特
别注意斜率不存在的情况；也可先将方程化为一般式，由两直线平
行时系数的关系列出式子求解.
【跟踪训练】
如图所示，已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A （0，0）， B （2，
－1）， C （4，2）， D （2，3），试判断四边形 ABCD 的形状，并给
出证明.
解：四边形 ABCD 是平行四边形.由已知可得 AB 边所在直线的斜率 kAB
＝ ＝－ ， CD 边所在直线的斜率 kCD ＝ ＝－ ，
BC 边所在直线的斜率 kBC ＝ ＝ ，
DA 边所在直线的斜率 kDA ＝ ＝ .
所以 kAB ＝ kCD ， kBC ＝ kDA ，所以 AB ∥ CD ， BC ∥ DA .
因此四边形 ABCD 是平行四边形.
1. 已知直线 l1的倾斜角为30°，又 l1∥ l2，则直线 l2的斜率为（　　）
解析：　因为 l1∥ l2，所以 ＝ ＝tan 30°＝ .
2. 已知直线 l1经过点 A （0，－1）和点 B ，直线 l2经过点 M
（1，1）和点 N （0，－2），若 l1与 l2没有公共点，则实数 a ＝
.
解析：由题意得 l1∥ l2，∴ kAB ＝ kMN . ∵ kAB ＝ ＝－ ， kMN ＝
＝3，∴－ ＝3，∴ a ＝－6.
－
6　
3. 根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2是否平行：
（1） l1经过点 A （2，3）， B （－4，0）， l2经过点 M （－3，
1）， N （－2，2）；
解：kAB ＝ ＝ ， kMN ＝ ＝1， kAB ≠ kMN ，所以 l1
与 l2不平行.
（2） l1的斜率为－ ， l2经过点 A （4，2）， B （2，3）；
解：l1的斜率 k1＝－ ， l2的斜率 k2＝ ＝－ ， k1＝
k2，所以 l1与 l2平行或重合.
（3） l1： x ＋ y －1＝0， l2： x ＋2 y ＋1＝0.
解：由 ＝ ≠ ，故直线 l1∥ l2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
　
1. 已知过点 A （2，5）和点 B （－4，5）的直线与直线 y ＝3，则下列
说法正确的是（　　）
A. 两直线的斜率均不存在
B. 两直线平行
C. 两直线重合
D. 两直线在 y 轴上的截距相等
解析：　两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行，且在 y 轴
上的截距不相等.
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2. 已知过点 A （－2， m ）和点 B （ m ，4）的直线与斜率为－2的直
线平行，则 m ＝（　　）
A. －8 B. 0
C. 2 D. 10
解析：　由题意可知， kAB ＝ ＝－2，所以 m ＝－8.
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3. 过点（5，0）且与 x ＋2 y －2＝0平行的直线方程是（　　）
A. 2 x ＋ y ＋5＝0 B. 2 x ＋ y －5＝0
C. x ＋2 y －5＝0 D. x ＋2 y ＋5＝0
解析：　由题意可设所求直线方程为 x ＋2 y ＋ c ＝0（ c ≠－2），
因为点（5，0）在该直线上，所以5＋2×0＋ c ＝0，得 c ＝－5，故
该直线方程为 x ＋2 y －5＝0，故选C.
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4. 直线 l1的斜率为2， l1∥ l2，直线 l2过点（－1，1）且与 y 轴交于点
P ，则 P 点坐标为（　　）
A. （3，0） B. （－3，0）
C. （0，－3） D. （0，3）
解析：　设 P （0， y ），因为 l1∥ l2，所以 ＝2，所以 y ＝3.即
P （0，3）.
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5. （多选）下列各直线中，与直线2 x － y －3＝0平行的是（　　）
A. 2 ax － ay ＋6＝0（ a ≠0， a ≠－2）
B. y ＝2 x
C. 2 x － y ＋5＝0
D. 2 x ＋ y －3＝0
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解析：　两直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2
＝0，其平行的充要条件为 A1 B2＝ A2 B1且 A1 C2≠ A2 C1，对于A项，
易知2×（－ a ）＝－1×2 a 且－3×2 a ≠2×6且 a ≠0，即A正确；
对于B项，易得 y ＝2 x 2 x － y ＝0，有2×（－1）＝－1×2且
0×2≠－3×2，即B正确；对于C项，易知2×（－1）＝－1×2且
5×2≠－3×2，即C正确；对于D项，易知2×1≠－1×2，D项不符
合.故选A、B、C.
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6. 过点 P （0，1）且与直线 x ＋ y ＝0平行的直线的方程为
.
解析：设所求直线方程为 x ＋ y ＋ c ＝0（ c ≠0），将点 P （0，1）
代入得1＋ c ＝0，解得 c ＝－1，则所求直线方程为 x ＋ y －1＝0.
x ＋ y －1＝
0　
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7. 已知直线 l1的斜率是2，直线 l2过点 A （－1，－2）， B （ x ，6），
且 l1∥ l2，则lo x ＝ 　－ 　.
解析：由题意可设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，∵直线 l1与直线
l2平行，∴ k1＝ k2，即2＝ ，解得 x ＝3.∴lo x ＝lo 3＝
＝－ .
－ 　
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8. 已知过点 A （ m ＋1，0）， B （－5， m ）的直线与过点 C （－4，
3）， D （0，5）的直线平行，则 m ＝ .
解析：由题意知直线 CD 的斜率存在，则与其平行的直线 AB 的斜率
也存在. kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ，由于 AB ∥
CD ，所以 kAB ＝ kCD ，即 ＝ ，解得 m ＝－2.
－2　
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9. 直线 l 过点（－2，2）且与直线 x ＋2 y ＝0平行，则直线 l 与 x ， y 轴
围成的三角形面积为 .
解析：直线 x ＋2 y ＝0的斜率为－ ，故直线 l 的方程为 y ＝－ （ x
＋2）＋2，即 x ＋2 y －2＝0，当 x ＝0时， y ＝1，当 y ＝0时， x ＝
2，所以直线 l 与 x ， y 轴围成的三角形面积为 ×1×2＝1.
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10. 当 m 为何值时，过两点 A （1，1）， B （2 m2＋1， m －2）的
直线：
（1）倾斜角为135°；
解：由 kAB ＝ ＝tan 135°＝－1，
得2 m2＋ m －3＝0，解得 m ＝－ 或1.
（2）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.
解：由 ＝ ＝－2，解得 m ＝ 或－1.
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11. 张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直
角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点（2，
0）与点（－2，4）重合，点（2 024，2 025）与点（ a ， b ）重
合，则 a ＋ b ＝（　　）
A. 4 046 B. 4 047
C. 4 048 D. 4 049
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解析：　设 A （2，0）， B （－2，4），则点 A ， B 所在直线的
斜率为 kAB ＝ ＝－1，由题意知，过点（2 024，2 025），
（ a ， b ）的直线与直线 AB 平行，所以 ＝－1，整理得 a ＋
b ＝2 024＋2 025＝4 049，故选D.
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12. 若直线 l1： m2 x ＋ y ＋3＝0和直线 l2：3 mx ＋（ m －2） y ＋ m ＝0平
行，则 m ＝ .
解析：因为 l1∥ l2，所以有 m2（ m －2）－3 m ＝0 m （ m2－2 m －
3）＝ m （ m －3）（ m ＋1）＝0，解得 m ＝0或 m ＝－1或 m ＝3.
当 m ＝0时， l1： y ＝－3， l2： y ＝0，所以 l1∥ l2；当 m ＝－1时，
l1： x ＋ y ＋3＝0， l2： x ＋ y ＋ ＝0，所以 l1∥ l2；当 m ＝3时，
l1：9 x ＋ y ＋3＝0， l2：9 x ＋ y ＋3＝0，所以 l1与 l2重合，所以 m ＝
0或 m ＝－1.
0或－1　
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13. 已知两条直线的斜率分别为 和－ ，若这两条直线互相平
行，则实数 a 的最大值为 .
解析：因为两条直线互相平行，所以 ＝－ ，所以 a ＝－ b4
＋ b2＝－（ b2－ ）2＋ ≤ ，当且仅当 b2＝ 时取等号，故实数 a
的最大值为 .
　
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14. 已知 A （1，3）， B （5，1）， C （3，7）， A ， B ， C ， D 四点
构成的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标.
解：由题， A （1，3）， B （5，1）， C （3，7），
所以 kAC ＝2， kAB ＝－ ， kBC ＝－3，
设 D 的坐标为（ x ， y ），分以下三种情况：
①当 BC 为对角线时，有 kCD ＝ kAB ， kBD ＝ kAC ，
所以 kBD ＝ ＝2， kCD ＝ ＝－ ，
得 x ＝7， y ＝5，即 D （7，5）；
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②当 AC 为对角线时，有 kCD ＝ kAB ， kAD ＝ kBC ，
所以 kAD ＝ ＝－3， kCD ＝ ＝－ ，
得 x ＝－1， y ＝9，即 D （－1，9）；
③当 AB 为对角线时，有 kBD ＝ kAC ， kAD ＝ kBC ，
所以 kBD ＝ ＝2， kAD ＝ ＝－3，
得 x ＝3， y ＝－3，
即 D （3，－3）.
综上， D 的坐标为（7，5）或（－1，9）或（3，－3）.
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15. 在平面直角坐标系中，已知直线 l1： ax ＋ by ＋1＝0， l2：（ a －
2） x ＋ y ＋ a ＝0.
（1）求直线 l2经过定点的坐标；
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解：∵（ a －2） x ＋ y ＋ a ＝0，
∴ ax －2 x ＋ y ＋ a ＝0，
∴ a （ x ＋1）＋（ y －2 x ）＝0，
令 x ＋1＝0且 y －2 x ＝0，
则 x ＝－1， y ＝－2，
∴对任意 a ∈R，直线 l2：（ a －2） x ＋ y ＋ a ＝0过定点（－
1，－2）.
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（2）当 b ＝4且 l1∥ l2时，求实数 a 的值.
解：当 b ＝4时，直线 l1： ax ＋4 y ＋1＝0，
即 y ＝－ x － ，
又直线 l2：（ a －2） x ＋ y ＋ a ＝0，
即 y ＝（2－ a ） x － a ，
∵ l1∥ l2，∴－ ＝2－ a 且－ ≠－ a ，∴ a ＝ .
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