资源简介

(共16张PPT)
沪科版数学九年级上册
21.4二次函数的应用 (第1 课时)
jianjing07
目录
01
教学目标
02
教学重难点
03
教学过程设计
04
例题讲解
05
课堂小测
06
布置作业
学习目标
多元能力提升
01
02
03
04
建立函数模型
能建立实际问题中的二次函数模型，培养数学建模思想。
掌握求最值方法
掌握利用顶点坐标求最值的方法，提升运算能力。
解决典型问题
会解决面积最大、利润最高等典型应用问题，增强应用意识。
培养数学思想
培养数学建模思想，提高分析问题和解决问题的能力。
重点难点
重点内容
从实际问题抽象出二次函数模型，求最值，这是解决问题的关键步骤。
难点突破
确定自变量取值范围及实际意义的验证，需要深入理解问题情境。
复习回顾
巩固二次函数基础知识
一般式
二次函数的一般式为 y = a x2 + b x + c(a ≠ 0)，是二次函数的基本表达形式。
顶点式
二次函数的顶点式为 y = a(x - h)2 + k，方便我们直接确定顶点坐标。
性质 - a>0
当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，即当 时，。
性质 - a<0
当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，即当 时，。
问题引入
某水产养殖户用长40m 的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，设此矩形水面的长为xm，面积为Sm 。那么，S与x之间有怎样的函数关系？要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
提出问题
1.矩形长为xm,周长为40m,可以表示宽了吗？可以表示面积吗？
2.x的取值范围是多少？如何求S的最大值？
合作探究
面积S=x(20 - x)=-x2+20x
因而只需求出顶点坐标，即可解决问题。求二次函数顶点坐标有两种方法：
一是配方法：s=-x2+20x=-（x-10)2+100.
二是利用顶点坐标公式：=-10,
=--
解析：矩形水面的宽为 （40-2x)=(20 - x)m。
因为a=-1<0，且0即当x=-时，
此时，y=-102+20×10=100
结论：当围成的矩形水面长为10m，宽为10m 时，它的面积最大，最大面积是100m 。
解题小结：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过例题思考的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
试一试
有一长为24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10 米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围。
（2）当x取何值时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
A
B
D
C
解：（1）因为花圃宽AB为x米，中间隔有一道篱笆，所以长为((24 - 3x)米，又因为墙的最大可用长度为10米，所以0<24 - 3x≤10,解得.
.
面积S = x(24 - 3x)=-3x2+24x.
（2）函数S =-3x2+24x的对称轴是x=- ,因为a=-3<0,抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，又因为，所以当x=时，s取得最大值，为s=-3
答：x=米时，围成的花圃面积最大，最大面积是 平方米。
平方米。
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
审：理解题意，找出等量关系。
设：设出合适的变量，一般设自变量为x，因变量为y。
列：根据等量关系列出函数关系式。
求：根据函数关系式求出最值或根据题意求出相应的解。
答：检验并作答。求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
归纳总结
例题讲解
某商品现在的售价为每件10 元，一周可卖出 50 件。市场调查表明：这种商品如果每件涨价 1 元，每周要少卖出 5 件。已知该商品的进价为每件 8 元，问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大？
分析：设每件商品涨价x元。则每件利润为(10 + x - 8)=(2 + x)元。销量为(50 - 5x)件。
总利润
y=(2 + x)(50 - 5x)=-5x2+40x + 100。
=-5(x2-8x)+100=-5(x - 4)2+180，
即每件商品涨价4 元时，每周得到的利润最大，最大利润为 180 元。
试一试
某商店购进一批单价为20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以售出 400 件。根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件。如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
简析:类似上题，先设两个变量，再利用总利润=总销量×单件利润，构造函数关系，利用配方或顶点坐标公式即可回答问题。答案为每件商品售价提高5元时，才能在半个月内获得最大利润，最大利润为4500元。
课堂小结
思想方法：建模思想、数形结合、函数思想
课堂小测
（1）某农场用60米的篱笆围成一个矩形菜地，设矩形的一边长为x米，则矩形的面积S与x的函数关系式为__________，当x=__________米时，面积最大，最大面积为__________平方米。
（2）某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每天可售出100件。若每降价1元，每天多售出10件，则每天的利润y（元）与降价x（元）的函数关系式为______________________，当降价__________元时，利润最大。
（3）用长为20米的铁丝围成一个矩形，要使矩形的面积最大，边长应为（ ）
A. 4米和6米 B. 5米和5米 C. 6米和4米 D. 7米和3米
S= x2+30
15
225
5
y=(20 x)(100+10x)
B
（4）某商店销售一种商品，每件利润为20元，每天可售出50件。经调查发现，每降价1元，每天多售出5件。若设降价x元，每天总利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=(20 x)(50+5x) B. y=(20+x)(50 5x) C. y=20(50+5x) D. y=(20 x)(50 5x)
（5）某农场准备用40米的篱笆围成一个矩形养鸡场，其中一面靠墙（墙足够长）。设垂直于墙的一边长为x米，矩形的面积为S平方米。
（1）写出S与x的函数关系式；
（2）求当x为多少时，面积最大？最大面积是多少？
A
参考答案：①S= 2x2+40x
②当x=10米时，面积最大，最大面积为200平方米。
布置作业
巩固与拓展
课本作业
课本P36练习第2题, P42习题第3题。
拓展题
某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙 (墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m。设饲养室的长为xm，占地面积为ym2。
(1)如图，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大
(2)若在与墙垂直的一边留一个 2m 宽的门 (门不需要建筑材料)，求占地面积y最大时饲养室的长。
x
谢谢观看
jianjing07
2025.8.7

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