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第2课时　椭圆的定义与标准方程的应用
1.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）
A.（3，6）　　 B.（，6）
C.（3，）　　 D.（1，6）
2.（2024·盐城质检）点F是椭圆＋＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且ON＝2（O为坐标原点），则线段PF的长为（　　）
A.2　　 B.3
C.4　　 D.2
3.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，3PF2＝5PF1，则△PF1F2的面积为（　　）
A.　　 B.6
C.8　　 D.2
4.（2024·宿迁月考）若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞）　　 B.（0，3）∪（3，＋∞）
C.（1，3）∪（3，＋∞）　　 D.（1，＋∞）
5.（多选）已知曲线C：＋＝1（λ＞0），则（　　）
A.当λ＝3时，C是圆
B.当λ＝2时，C是椭圆且一焦点为（2，0）
C.当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2
D.当0＜λ＜3时，C是焦点在y轴上的椭圆
6.（多选）已知点F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是（　　）
A.＋＝1　　 B.＋＝1
C.＋＝1　　 D.＋＝1
7.椭圆x2＋ky2＝1的焦距为，则k的值为　　　　.
8.已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，O是坐标原点，且｜｜＝，则△F1PF2的面积等于　　　　.
9.（2024·无锡月考）已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点.若F2A＋F2B＝12，则AB＝　　　　.
10.已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：x－y＋＝0，判断直线l与椭圆C公共点个数，并求出公共点的坐标.
11.设P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝（　　）
A.　　　B.　　C.　　　D.
12.（多选）（2024·连云港质检）椭圆C的方程为＋＝1，F1，F2是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上一点且在第一象限.若△MF1F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（　　）
A.MF2＝2
B.cos∠MF2F1＝
C.点M到x轴的距离为
D.＝9
13.已知椭圆x2＋＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上且∠F1MF2＝90°，则点M到x 轴的距离为　　　　.
14.已知方程＋＝1.
（1）若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
（2）若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
15.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
（1）求△F1PF2的面积S；
（2）研究∠F1PF2的变化规律.
第2课时　椭圆的定义与标准方程的应用
1.B　方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得＜m＜6.故选B.
2.A　如图所示，不妨设F为左焦点，F1为右焦点，连接PF1.∵N为PF的中点，且ON＝2，∴PF1＝4.由椭圆方程可知，2a＝6，根据椭圆定义有PF＋PF1＝2a＝6，∴PF＝2.故选A.
3.B　由＋＝1，得a＝4，c＝2，即PF1＋PF2＝2a＝8，F1F2＝4，又3PF2＝5PF1，则PF1＝3，PF2＝5，所以△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2＝90°，所以＝PF1·F1F2＝×3×4＝6，故选B.
4.C　联立直线和椭圆方程，得所以（3＋m）x2＋4mx＋m＝0，由题意知Δ＝16m2－4m（m＋3）＞0，解得m＜0或m＞1，因为＋＝1表示椭圆，所以m＞0且m≠3，所以m＞1且m≠3.
5.AC　对于A项，当λ＝3时，方程可化为x2＋y2＝6，曲线C是圆，A正确；对于B项，当λ＝2时，方程可化为＋x2＝1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，B错误；对于C项，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，C正确；对于D项，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，D错误.故选A、C.
6.ACD　结合选项可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），并设椭圆与y轴正半轴的交点为B.若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴B＋B≤F1，即a2＋a2≤4c2.又c2＝a2－b2，∴a2≥2b2，检验可得选项A、C、D满足.故选A、C、D.
7.2或　解析：因为2c＝，所以c2＝.因为椭圆的标准方程为x2＋＝1，所以当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，那么c2＝1－＝，所以k＝2；当焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，那么c2＝－1＝，所以k＝.综上可得k＝2或.
8.　解析：椭圆＋＝1的半焦距c＝＝3，则F1F2＝2c＝6，设点P（x0，y0），于是消去x0得｜y0｜＝，所以△F1PF2的面积＝F1F2·｜y0｜＝×6×＝.
9.8　解析：由直线AB过椭圆的焦点F1，知AB＝F1A＋F1B，∴在△F2AB中，F2A＋F2B＋AB＝4a＝20，又F2A＋F2B＝12，∴AB＝8.
10.解：由得3x2＋4x＋4＝0，
即（x＋2）2＝0，解得
所以直线l与椭圆C有一个公共点，且公共点坐标为（－，）.
11.B　椭圆＋＝1，则a＝3，b＝2，c＝，F1F2＝2c＝2，PF1＋PF2＝2a＝6，两边平方得P＋P＋2PF1·PF2＝36　①，在△PF1F2中，由余弦定理得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°，即P＋P－PF1·PF2＝20　②，由①②得PF1·PF2＝.故选B.
12.AC　如图，因为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝，c＝＝＝3.因为点M在第一象限，且△MF1F2是等腰三角形，MF2＋MF1＝2a＝8，所以必是F1F2＝MF1.根据椭圆的定义，MF2＝2a－MF1＝2a－F1F2＝2a－2c＝2，故A正确；在△MF1F2中，MF1＝F1F2＝6，MF2＝2，由余弦定理：cos∠MF2F1＝＝＝，故B错误；sin∠MF2F1＝，M到x轴的距离为MF2·sin∠MF2F1＝2×＝，故C正确；＝×6×2×＝，故D错误.故选A、C.
13.0　解析：由椭圆x2＋＝1，可得a＝，b＝1，所以c＝＝1，所以F1（0，－1），F2（0，1），设M（x，y），因为∠F1MF2＝90°，在△F1MF2中，M＋M＝F1，即x2＋（y＋1）2＋x2＋（y－1）2＝4，可得x2＋y2＝1，又因为点M在椭圆上，可得x2＋＝1，联立方程组解得y2＝0，即y＝0，所以点M到x轴的距离为0.
14.解：（1）依题意，有解得－9＜m＜8.
故实数m的取值范围为（－9，8）.
（2）依题意，有解得－9＜m＜25且m≠8，
故实数m的取值范围为（－9，8）∪（8，25）.
15.解：（1）如图所示，由椭圆的定义，可得PF1＋PF2＝2a.
由余弦定理，可得F1＝P＋P－2·PF1·PF2·cos 2θ＝（PF1＋PF2）2－2·PF1·PF2－2·PF1·PF2·cos 2θ＝4a2－2PF1·PF2·（1＋cos 2θ）＝4c2，
∴PF1·PF2＝.
∴S＝PF1·PF2·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ.
（2）∵2θ为△PF1F2的内角，
∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）.
令点P由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高在逐渐增大，故S逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈（0，）可知，θ也逐渐变大.
由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值.
2 / 2第2课时　椭圆的定义与标准方程的应用
题型一 直线与椭圆的公共点问题
【例1】　（链接教科书第84页例4）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个不同的公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点.
通性通法
　　直线与椭圆的公共点问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组的实数解或实数解的个数问题.即将直线方程与椭圆方程联立的方程组通过消元后变为关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的判别式与0的大小关系.
【跟踪训练】
求直线l：y＝－x＋1与椭圆C：＋y2＝1的公共点的坐标.
题型二 椭圆标准方程的识别
【例2】　（链接教科书第86页习题8题）已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围为　　　　.
通性通法
根据椭圆方程求参数的取值范围
（1）给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0；
（2）若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况.
【跟踪训练】
1.“0＜t＜1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2024·南通质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝　　　　.
题型三 椭圆中与焦点三角形有关的计算问题
【例3】　设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
【母题探究】
　（变条件）将本例中椭圆的方程改为“＋＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积.
通性通法
1.椭圆上的点P（x0，y0）（点P不在x轴上）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识.
2.焦点三角形的常用公式
（1）焦点三角形的周长L＝2a＋2c；
（2）在△PF1F2中，由余弦定理可得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos θ（θ＝∠F1PF2）；
（3）焦点三角形的面积＝PF1·PF2·sin θ（θ＝∠F1PF2）.
【跟踪训练】
1.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且PF1∶PF2＝4∶3，则∠F1PF2＝　　　　.
2.（2024·常州质检）已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为　　　　.
1.已知椭圆＋＝1（m＞0）的左焦点为F1（－4，0），则m＝（　　）
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.9
2.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝　　　　.
3.求直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的公共点的坐标.
第2课时　椭圆的定义与标准方程的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.
（1）由Δ＞0，得－3＜m＜3.
于是，当－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
（2）由Δ＝0，得m＝±3，
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
（3）由Δ＜0，得m＜－3或m＞3.
从而当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.
跟踪训练
　解：联立直线l与椭圆C的方程
得到x2＋3（－x＋1）2＝3，即2x2－3x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
当x1＝0时，y1＝－x1＋1＝1；当x2＝时，y2＝－x2＋1＝－，
所以直线l与椭圆C的公共点的坐标为（0，1），（，－）.
【例2】　（3，）　解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以解得3＜t＜.所以t的取值范围是（3，）.
跟踪训练
1.B　曲线＋＝1表示椭圆等价于解得0＜t＜1且t≠.所以“0＜t＜1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.
2.1或5　解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.
【例3】　解：由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝，
所以c＝，2c＝5.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°，
即25＝P＋P－PF1·PF2. ①
由椭圆的定义，得10＝PF1＋PF2，
即100＝P＋P＋2PF1·PF2. ②
由②－①，得3PF1·PF2＝75，
所以PF1·PF2＝25，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝.
母题探究
　解：PF1＋PF2＝2a＝20，又F1F2＝2c＝12.
在△F1PF2中，由余弦定理知，
F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°，
即144＝（PF1＋PF2）2－3PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝.
跟踪训练
1.90°　解析：因为PF1∶PF2＝4∶3，所以可设PF1＝4k，PF2＝3k.由题意可知3k＋4k＝2a＝14，所以k＝2，所以PF1＝8，PF2＝6，因为F1F2＝10，P＋P＝102＝F1，所以∠F1PF2＝90°.
2.　解析：由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而F1F2＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得P＝P＋F1－2PF1·F1F2cos∠PF1F2，即P＝P＋4＋2PF1①.由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4②.由①②联立可得PF1＝.所以＝PF1·F1F2·sin∠PF1F2＝××2×＝.
随堂检测
1.B　由4＝（m＞0），解得m＝3.
2.120°　解析：由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝7，即c＝，∴F1F2＝2.∵PF1＝4，∴PF2＝2a－PF1＝2.∴cos∠F1PF2＝＝＝－，又0°＜∠F1PF2＜180°.∴∠F1PF2＝120°.
3.解：联立
消去y，得3x2＋2x－1＝0，
解得x＝－1或x＝.
当x＝－1时，y＝0；当x＝时，y＝.
∴所求公共点的坐标为（－1，0）和（，）.
2 / 2(共55张PPT)
第2课时　
椭圆的定义与标准方程的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与椭圆的公共点问题
【例1】　（链接教科书第84页例4）已知直线 l ： y ＝2 x ＋ m ，椭圆
C ： ＋ ＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C ：
（1）有两个不同的公共点；
解：直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得
将①代入②，整理得9 x2＋8 mx ＋2 m2－4＝0，　③
关于 x 的一元二次方程的判别式Δ＝（8 m ）2－4×9×（2 m2－
4）＝－8 m2＋144.
（1）由Δ＞0，得－3 ＜ m ＜3 .
于是，当－3 ＜ m ＜3 时，方程③有两个不同的实数根，可
知原方程组有两组不同的实数解，这时直线 l 与椭圆 C 有两个不
同的公共点.
（2）有且只有一个公共点；
解：由Δ＝0，得 m ＝±3 ，
也就是当 m ＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原
方程组有两组相同的实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重
合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点.
（3）没有公共点.
解：由Δ＜0，得 m ＜－3 或 m ＞3 .
从而当 m ＜－3 或 m ＞3 时，方程③没有实数根，可知原方
程组没有实数解，这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点.
通性通法
　　直线与椭圆的公共点问题，实际上是研究它们的方程组成的方程
组的实数解或实数解的个数问题.即将直线方程与椭圆方程联立的方
程组通过消元后变为关于 x （或 y ）的一元二次方程，判断该方程的判
别式与0的大小关系.
【跟踪训练】
求直线 l ： y ＝－ x ＋1与椭圆 C ： ＋ y2＝1的公共点的坐标.
解：联立直线 l 与椭圆 C 的方程
得到 x2＋3（－ x ＋1）2＝3，即2 x2－3 x ＝0，
解得 x1＝0， x2＝ ，
当 x1＝0时， y1＝－ x1＋1＝1；当 x2＝ 时， y2＝－ x2＋1＝－ ，
所以直线 l 与椭圆 C 的公共点的坐标为（0，1），（ ，－ ）.
题型二 椭圆标准方程的识别
【例2】　（链接教科书第86页习题8题）已知方程 ＋ ＝1表示
焦点在 x 轴上的椭圆，则 t 的取值范围为 .
解析：因为方程 ＋ ＝1表示焦点在 x 轴上的椭圆，所以
解得3＜ t ＜ .所以 t 的取值范围是（3， ）.
（3， ）　
通性通法
根据椭圆方程求参数的取值范围
（1）给出方程 ＋ ＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦
点在 x 轴上的椭圆的条件是 m ＞ n ＞0，其表示焦点在 y 轴上的椭
圆的条件是 n ＞ m ＞0；
（2）若给出椭圆方程 Ax2＋ By2＝ C ，则应先将该方程转化为椭圆的
标准方程的形式 ＋ ＝1，再研究其焦点的位置等情况.
【跟踪训练】
1. “0＜ t ＜1”是“曲线 ＋ ＝1表示椭圆”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　曲线 ＋ ＝1表示椭圆等价于解得0＜ t
＜1且 t ≠ .所以“0＜ t ＜1”是“曲线 ＋ ＝1表示椭圆”的必
要不充分条件.故选B.
2. （2024·南通质检）已知椭圆方程为 kx2＋3 y2－6 k ＝0（ k ≠0），焦
距为4，则 k ＝ .
解析：将方程 kx2＋3 y2－6 k ＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为4，∴2 c
＝4，即 c ＝2.当焦点在 x 轴上时，6－2 k ＝4，解得 k ＝1；当焦点
在 y 轴上时，2 k －6＝4，解得 k ＝5.综上， k ＝1或5.
1或5　
题型三 椭圆中与焦点三角形有关的计算问题
【例3】　设 P 是椭圆 ＋ ＝1上一点， F1， F2是椭圆的焦点，若∠
F1 PF2＝60°，求△ F1 PF2的面积.
解：由椭圆方程知， a2＝25， b2＝ ，所以 c2＝ ，
所以 c ＝ ，2 c ＝5.
在△ F1 PF2中，由余弦定理得，
F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2 cos 60°，
即25＝ P ＋ P － PF1· PF2.　①
由椭圆的定义，得10＝ PF1＋ PF2，
即100＝ P ＋ P ＋2 PF1· PF2.　②
由②－①，得3 PF1· PF2＝75，
所以 PF1· PF2＝25，
所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ .
【母题探究】
　（变条件）将本例中椭圆的方程改为“ ＋ ＝1”其余条件不
变，求△ F1 PF2的面积.
解： PF1＋ PF2＝2 a ＝20，又 F1 F2＝2 c ＝12.
在△ F1 PF2中，由余弦定理知，
F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2· cos 60°，
即144＝（ PF1＋ PF2）2－3 PF1· PF2，
所以 PF1· PF2＝ ，
所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ .
通性通法
1. 椭圆上的点 P （ x0， y0）（点 P 不在 x 轴上）与两焦点 F1， F2构成
的△ PF1 F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利
用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识.
（1）焦点三角形的周长 L ＝2 a ＋2 c ；
（2）在△ PF1 F2中，由余弦定理可得 F1 ＝ P ＋ P －2
PF1· PF2· cos θ（θ＝∠ F1 PF2）；
（3）焦点三角形的面积 ＝ PF1· PF2· sin θ（θ＝∠ F1
PF2）.
2. 焦点三角形的常用公式
【跟踪训练】
1. 设 F1， F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点， P 是椭圆上一点，
且 PF1∶ PF2＝4∶3，则∠ F1 PF2＝ .
解析：因为 PF1∶ PF2＝4∶3，所以可设 PF1＝4 k ， PF2＝3 k .由题
意可知3 k ＋4 k ＝2 a ＝14，所以 k ＝2，所以 PF1＝8， PF2＝6，因
为 F1 F2＝10， P ＋ P ＝102＝ F1 ，所以∠ F1 PF2＝90°.
90°　
2. （2024·常州质检）已知椭圆 ＋ ＝1，点 P 是椭圆上一点， F1，
F2是椭圆的焦点，且∠ PF1 F2＝120°，则△ PF1 F2的面积为 .
　
解析：由 ＋ ＝1，可知 a ＝2， b ＝ ，所以 c ＝ ＝
1，从而 F1 F2＝2 c ＝2.在△ PF1 F2中，由余弦定理得 P ＝ P ＋
F1 －2 PF1· F1 F2 cos ∠ PF1 F2，即 P ＝ P ＋4＋2 PF1①.由椭
圆定义得 PF1＋ PF2＝2 a ＝4②.由①②联立可得 PF1＝ .所以
＝ PF1· F1 F2· sin ∠ PF1 F2＝ × ×2× ＝ .
1. 已知椭圆 ＋ ＝1（ m ＞0）的左焦点为 F1（－4，0），则 m ＝
（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 9
解析：　由4＝ （ m ＞0），解得 m ＝3.
2. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，
若 PF1＝4，则∠ F1 PF2＝ .
解析：由椭圆的定义知 a2＝9， b2＝2，∴ a ＝3， c2＝ a2－ b2＝7，
即 c ＝ ，∴ F1 F2＝2 .∵ PF1＝4，∴ PF2＝2 a － PF1＝2.∴ cos
∠ F1 PF2＝ ＝ ＝－ ，又0°＜∠ F1
PF2＜180°.∴∠ F1 PF2＝120°.
120°　
3. 求直线 y ＝ x ＋1与椭圆 x2＋ ＝1的公共点的坐标.
解：联立
消去 y ，得3 x2＋2 x －1＝0，解得 x ＝－1或 x ＝ .
当 x ＝－1时， y ＝0；当 x ＝ 时， y ＝ .
∴所求公共点的坐标为（－1，0）和（ ， ）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若方程 ＋ ＝1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是
（　　）
A. （3，6）
D. （1，6）
解析：　方程 ＋ ＝1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则
解得 ＜ m ＜6.故选B.
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2. （2024·盐城质检）点 F 是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，点 P 在椭圆
上，线段 PF 的中点为 N ，且 ON ＝2（ O 为坐标原点），则线段 PF
的长为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4
解析：　如图所示，不妨设 F 为左焦点， F1为右焦
点，连接 PF1.∵ N 为 PF 的中点，且 ON ＝2，∴ PF1
＝4.由椭圆方程可知，2 a ＝6，根据椭圆定义有 PF
＋ PF1＝2 a ＝6，∴ PF ＝2.故选A.
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3. 已知 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点， P 为椭圆上一点，3 PF2
＝5 PF1，则△ PF1 F2的面积为（　　）
B. 6
C. 8
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解析：　由 ＋ ＝1，得 a ＝4， c ＝2，即 PF1＋ PF2＝2 a ＝8，
F1 F2＝4，又3 PF2＝5 PF1，则 PF1＝3， PF2＝5，所以△ PF1 F2为直
角三角形，∠ PF1 F2＝90°，所以 ＝ PF1· F1 F2＝ ×3×4
＝6，故选B.
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4. （2024·宿迁月考）若直线 y ＝ x ＋2与椭圆 ＋ ＝1有两个公共
点，则 m 的取值范围是（　　）
A. （－∞，0）∪（1，＋∞）
B. （0，3）∪（3，＋∞）
C. （1，3）∪（3，＋∞）
D. （1，＋∞）
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解析：　联立直线和椭圆方程，得所以（3＋
m ） x2＋4 mx ＋ m ＝0，由题意知Δ＝16 m2－4 m （ m ＋3）＞0，解
得 m ＜0或 m ＞1，因为 ＋ ＝1表示椭圆，所以 m ＞0且 m ≠3，
所以 m ＞1且 m ≠3.
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5. （多选）已知曲线 C ： ＋ ＝1（λ＞0），则（　　）
A. 当λ＝3时， C 是圆
B. 当λ＝2时， C 是椭圆且一焦点为（2，0）
D. 当0＜λ＜3时， C 是焦点在 y 轴上的椭圆
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解析：　对于A项，当λ＝3时，方程可化为 x2＋ y2＝6，曲线 C
是圆，A正确；对于B项，当λ＝2时，方程可化为 ＋ x2＝1，曲
线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，B错误；对于C项，当λ＝4时，曲线
C ： ＋ ＝1是椭圆，且 c2＝13－7＝6，所以2 c ＝2 ，C正
确；对于D项，当λ＝1时，曲线 C 不是椭圆，D错误.故选A、C.
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6. （多选）已知点 F1， F2为椭圆 C 的两个焦点，椭圆 C 上存在点 P ，
使得∠ F1 PF2＝90°，则椭圆 C 的方程可以是（　　）
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解析：　结合选项可设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
并设椭圆与 y 轴正半轴的交点为 B . 若椭圆 C 上存在点 P ，使得∠
F1 PF2＝90°，则需∠ F1 BF2≥90°，∴ B ＋ B ≤ F1 ，即 a2
＋ a2≤4 c2.又 c2＝ a2－ b2，∴ a2≥2 b2，检验可得选项A、C、D满
足.故选A、C、D.
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7. 椭圆 x2＋ ky2＝1的焦距为 ，则 k 的值为 　2或 　.
解析：因为2 c ＝ ，所以 c2＝ .因为椭圆的标准方程为 x2＋ ＝
1，所以当焦点在 x 轴上时， a2＝1， b2＝ ，那么 c2＝1－ ＝ ，所
以 k ＝2；当焦点在 y 轴上时， a2＝ ， b2＝1，那么 c2＝ －1＝ ，
所以 k ＝ .综上可得 k ＝2或 .
2或 　
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8. 已知 F1， F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
O 是坐标原点，且｜ ｜＝ ，则△ F1 PF2的面积等于 　 　.
解析：椭圆 ＋ ＝1的半焦距 c ＝ ＝3，则 F1 F2＝2 c ＝
6，设点 P （ x0， y0），于是 消去 x0得｜ y0｜＝
，所以△ F1 PF2的面积 ＝ F1 F2·｜ y0｜＝ ×6× ＝
.
　
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9. （2024·无锡月考）已知 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，过
点 F1的直线交椭圆于 A ， B 两点.若 F2 A ＋ F2 B ＝12，则 AB ＝ .
解析：由直线 AB 过椭圆的焦点 F1，知 AB ＝ F1 A ＋ F1 B ，∴在
△ F2 AB 中， F2 A ＋ F2 B ＋ AB ＝4 a ＝20，又 F2 A ＋ F2 B ＝
12，∴ AB ＝8.
8　
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10. 已知椭圆 C ： ＋ y2＝1，直线 l ： x － y ＋ ＝0，判断直线 l 与
椭圆 C 公共点个数，并求出公共点的坐标.
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解：由得3 x2＋4 x ＋4＝0，
即（ x ＋2）2＝0，解得
所以直线 l 与椭圆 C 有一个公共点，且公共点坐标为（－ ， ）.
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11. 设 P 为椭圆 ＋ ＝1上的一点， F1， F2分别为椭圆的左、右焦
点，且∠ F1 PF2＝60°，则 PF1· PF2＝（　　）
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解析：　椭圆 ＋ ＝1，则 a ＝3， b ＝2， c ＝ ， F1 F2＝2 c
＝2 ， PF1＋ PF2＝2 a ＝6，两边平方得 P ＋ P ＋2 PF1· PF2
＝36　①，在△ PF1 F2中，由余弦定理得 F1 ＝ P ＋ P －2
PF1· PF2· cos 60°，即 P ＋ P － PF1· PF2＝20　②，由①②得
PF1· PF2＝ .故选B.
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12. （多选）（2024·连云港质检）椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1， F1，
F2是椭圆的两个焦点，点 M 为椭圆上一点且在第一象限.若△ MF1
F2是等腰三角形，则下列结论正确的是（　　）
A. MF2＝2
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解析：　如图，因为椭圆的标准方程为
＋ ＝1，所以 a ＝4， b ＝ ， c ＝
＝ ＝3.因为点 M 在第一象限，且△
MF1 F2是等腰三角形， MF2＋ MF1＝2 a ＝8，所以必是 F1 F2＝ MF1.根据椭圆的定义， MF2＝2 a － MF1＝2 a － F1 F2＝2 a －2 c ＝2，故A正确；在△ MF1 F2中， MF1＝ F1 F2＝6， MF2＝2，由余弦定理： cos ∠ MF2 F1＝ ＝ ＝ ，故B错误；
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sin ∠ MF2 F1＝ ， M 到 x 轴的距离为 MF2· sin ∠
MF2 F1＝2× ＝ ，故C正确； ＝
×6×2× ＝ ，故D错误.故选A、C.
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13. 已知椭圆 x2＋ ＝1的焦点为 F1， F2，点 M 在椭圆上且∠ F1 MF2
＝90°，则点 M 到 x 轴的距离为 .
解析：由椭圆 x2＋ ＝1，可得 a ＝ ， b ＝1，所以 c ＝
＝1，所以 F1（0，－1）， F2（0，1），设 M （ x ，
y ），因为∠ F1 MF2＝90°，在△ F1 MF2中， M ＋ M ＝ F1
，即 x2＋（ y ＋1）2＋ x2＋（ y －1）2＝4，可得 x2＋ y2＝1，又
因为点 M 在椭圆上，可得 x2＋ ＝1，联立方程组
解得 y2＝0，即 y ＝0，所以点 M 到 x 轴的距离为0.
0　
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14. 已知方程 ＋ ＝1.
（1）若上述方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的取值
范围；
解：依题意，有解得－9＜ m ＜8.
故实数 m 的取值范围为（－9，8）.
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（2）若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数 m 的取
值范围.
解：依题意，有解得－9＜ m ＜25
且 m ≠8，
故实数 m 的取值范围为（－9，8）∪（8，25）.
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15. 已知椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2，点 P 在椭圆 E 上，∠ F1 PF2＝2θ.
（1）求△ F1 PF2的面积 S ；
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解：如图所示，由椭圆的定义，可
得 PF1＋ PF2＝2 a .
由余弦定理，可得 F1 ＝ P ＋ P －
2· PF1· PF2· cos 2θ＝（ PF1＋ PF2）2－
2· PF1· PF2－2· PF1· PF2· cos 2θ＝4 a2－2
PF1· PF2·（1＋ cos 2θ）＝4 c2，
∴ PF1· PF2＝ .
∴ S ＝ PF1· PF2· sin 2θ＝ · · sin
2θ＝ · b2＝ b2·tan θ.
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（2）研究∠ F1 PF2的变化规律.
解：∵2θ为△ PF1 F2的内角，
∴2θ∈（0，π），即θ∈（0， ）.
令点 P 由点 A 向点 B 运动，则△ PF1 F2的边 F1 F2不变，但 F1
F2上的高在逐渐增大，故 S 逐渐变大，从而tan θ逐渐变
大，由θ∈（0， ）可知，θ也逐渐变大.
由此可见，点 P 的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点 P
与点 B 重合时，∠ F1 PF2达到最大值.
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谢 谢 观 看！

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