资源简介

直线与椭圆的位置关系
题型一 直线与椭圆的相交弦问题
【例1】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y＝x＋m交椭圆C于A，B两点，且AB＝，求m的值.
通性通法
求弦长的两种方法
（1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；
（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：P1P2＝·（或P1P2＝ ·），其中x1，x2（y1，y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求得弦长.
【跟踪训练】
已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.
题型二 直线与椭圆的中点弦问题
【例2】　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为（2，1），求直线AB的方程.
通性通法
解决椭圆“中点弦”问题的方法
【跟踪训练】
过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　　　　.
题型三 与椭圆有关的最值（范围）问题
【例3】　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
通性通法
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
【跟踪训练】
1.若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为（　　）
A.1　　 B.－1
C.－　　 D.以上都不正确
2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（－2，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求PQ的最大值.
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　）
A.相离　B.相切　C.相交　 D.相交或相切
2.过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点F（c，0）的弦中最短弦长是（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
3.若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为　　　　.
4.已知椭圆C的焦点F1（－2，0），F2（2，0），且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标.
培优课　直线与椭圆的位置关系
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由题意可得
解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）.
由消去y并整理，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，易知Δ＞0，即（2m）2－4（2m2－2）＞0，
解得－＜m＜.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以AB＝｜x1－x2｜＝×＝×＝，解得m＝±1.
跟踪训练
　解：因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F2（1，0），
又直线斜率为2，所以直线l的方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.
法一　解方程组
得交点A（0，－2），B（，），
所以AB＝＝
＝＝.
法二　设A（x1，y1），B（x2，y2），
由方程组消去y得3x2－5x＝0，
因为Δ＝（－5）2＝25＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝0.
所以AB＝
＝
＝
＝＝.
【例2】　解：法一　由题意可知直线AB的斜率存在，
故设直线AB的方程为y－1＝k（x－2）.
将其代入椭圆方程并整理，得（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1）2－16＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二　设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2.
因为M（2，1）为线段AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
所以
①－②，得（－）＋4（－）＝0，
于是（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）·（y1－y2）＝0.
所以＝－＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
跟踪训练
　　解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋＝1　①，＋＝1　②.因为点M是线段AB的中点，所以＝1，＝1.因为直线AB的方程是y＝－（x－1）＋1，所以y1－y2＝－（x1－x2）.将①②两式相减，可得＋＝0，即＋（－）·＝0，所以a＝b，所以c＝b，所以e＝＝.
【例3】　解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
消去y并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，
∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4，即3x－2y－8＝0距l最近，
它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝＝.
由得
即P（，－）.
跟踪训练
1.C　设＝k，则y＝k（x－2）.由消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由题意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－≤k≤，所以的最小值为－.故选C.
2.解：（1）设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由题意得解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t.
由得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0，
由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2＝－t，x1x2＝，
所以PQ＝·｜x1－x2｜
＝·
＝·
＝·，
又0≤t2＜7，所以当t＝0时，可得PQmax＝.
随堂检测
1.A　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离.
2.A　最短弦是过焦点F（c，0）且与焦点所在坐标轴垂直的弦.将点（c，y）的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.
3.　解析：由消去y得3x2＋4x－2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝－，x1＋x2＝－，所以AB＝＝·＝×＝.
4.解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，
其中c＝2，a＝3，从而b＝1，
其标准方程为＋y2＝1，
联立方程消去y得10x2＋36x＋27＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，
设中点坐标为（x0，y0），则x0＝＝－，
所以y0＝x0＋2＝，
所以线段AB的中点坐标为（－，）.
2 / 2培优课　直线与椭圆的位置关系
1.直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是（　　）
A.相交　　B.相切　　C.相离　　D.无法判断
2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k＝（　　）
A.　　B.－　　C.±　　D.±
3.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦AB＝（　　）
A.　　B.　　C.2　　D.3
4.椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P（3，2），以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　）
A.－　　B.－　　C.－　　D.－
5.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（　　）
A.6　　B.15　　C.20　　D.12
6.设P，Q分别为圆x2＋（y－6）2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）
A.5　　B.＋　　C.7＋　　D.6
7.（多选）已知椭圆C：＋＝1内一点M（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A.椭圆的焦点坐标为（2，0），（－2，0）　　B.椭圆C的长轴长为4
C.直线l的方程为2x＋2y－3＝0　　D.AB＝
8.已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是　　　　.
9.若椭圆＋＝1的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB的直线方程为　　　　.
10.已知动点P（x，y）在椭圆＋＝1上，若A点坐标为（3，0），｜｜＝1，且·＝0，则｜｜的最小值是　　　　.
11.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，PQ＝，求椭圆的方程.
12.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，焦距为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围.
13.如图所示，已知焦点在x轴上的椭圆C，长轴是短轴的3倍，且经过点（1，），过点（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值.
培优课　直线与椭圆的位置关系
1.A　法一　联立直线与椭圆的方程得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直线与椭圆相交.
法二　直线过点（0，1），而0＋＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.
2.C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，所以k2＝，所以k＝±.
3.A　由得交点为（0，1），（－，－），
则AB＝＝.
4.A　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则4＋9＝144，4＋9＝144，两式相减，得4（x1＋x2）·（x1－x2）＋9（y1＋y2）（y1－y2）＝0.又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，所以k＝－.
5.D　由题意知，S△ABF＝·OF·｜y1－y2｜≤·OF·2b＝12.
6.D　设圆心为点C，则圆x2＋（y－6）2＝2的圆心为C（0，6），半径r＝.设点Q（x0，y0）是椭圆上任意一点，则＋＝1，即＝10－10.由≥0，解得y0∈[－1，1].CQ＝＝
＝
＝ ，当y0＝－时，CQ有最大值5，则P，Q两点间的最大距离为5＋r＝6.故选D.
7.BCD　由题意得a2＝4，b2＝2，所以c2＝4－2＝2，故c＝，故焦点坐标为（，0），（－，0），A错误；因为a＝2，所以长轴长为2a＝4，B正确；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则由＋＝1，＋＝1，两式相减可得，－＋2（－）＝0，整理得·＝－，因为M是线段AB的中点，M（1，），所以＝，进而＝－1，所以直线l的方程为y－＝－（x－1），整理得2x＋2y－3＝0，C正确；直线2x＋2y－3＝0与椭圆联立得，6x2－12x＋1＝0，所以x2＋x1＝2，x2x1＝，由弦长公式得AB＝×＝，D正确.故选B、C、D.
8.［，1）　解析：由椭圆性质知：当P为椭圆上下顶点时∠F1PF2最大，所以椭圆上存在点P使∠F1PF2＝90°，只需∠F1PF2最大的情况下，有cos∠F1PF2＝＝1－2e2≤0，又椭圆离心率0＜e＜1，故≤e＜1.
9.4x＋3y－7＝0　解析：由题意，直线AB斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有＝1，＝1，A，B在椭圆＋＝1上，有＋＝1，＋＝1，两式相减，得＝－，即＝－，得＝－，即直线AB的斜率为－，则AB的直线方程为y－1＝－（x－1），即4x＋3y－7＝0.
10.　解析：易知点A（3，0）是椭圆的右焦点.∵·＝0，∴⊥.∴｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故｜｜min＝2，∴｜｜min＝.
11.解：∵e＝，∴＝，即c2＝a2，∴b2＝a2－c2＝a2.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2，与方程x＋2y＋8＝0联立并消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32.
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝－8，x1x2＝.
由弦长公式得PQ2＝（1＋）·｜x1－x2｜2＝（1＋）·[（x1＋x2）2－4x1x2]，即10＝×[64－2（64－a2）]，解得a2＝36.∴椭圆的方程为x2＋4y2＝36，即＋＝1.
12.解：（1）由题意知e＝＝，2c＝2，解得a＝，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.
故椭圆的方程为＋y2＝1.
（2）联立
消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
则Δ＝16m2－12（2m2－2）＞0 －＜m＜.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＋x2＝－，则y1＋y2＝.
所以MN的中点坐标为，
因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，
所以＋≥1 m≥或m≤－，
综上，可知－＜m≤－或≤m＜.
13.解：（1）由题意设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），则 C：＋y2＝1.
（2）设直线l：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 （m2＋9）y2＋2my－8＝0，
由根与系数的关系知，
｜y1－y2｜＝（y1＋y2）2－4y1y2＝，
S△OAB＝×1×｜y1－y2｜＝＝≤＝，
所以当m＝0时，△AOB的最大面积为.
1 / 2(共54张PPT)
培优课　
直线与椭圆的位置关系
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与椭圆的相交弦问题
【例1】　已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，短轴
的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求椭圆 C 的方程；
解：由题意可得
解得 a ＝2， b ＝1，所以椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.
（2）设直线 l ： y ＝ x ＋ m 交椭圆 C 于 A ， B 两点，且 AB ＝ ，求 m
的值.
解：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）.
由消去 y 并整理，得 x2＋2 mx ＋2 m2－2＝0，易
知Δ＞0，即（2 m ）2－4（2 m2－2）＞0，
解得－ ＜ m ＜ .
所以 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝2 m2－2，
所以 AB ＝ ｜ x1－ x2｜＝ × ＝ ×
＝ ，解得 m ＝±1.
通性通法
求弦长的两种方法
（1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；
（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次
方程，利用弦长公式： P1 P2＝ ·
（或 P1 P2＝ · ），其中 x1， x2
（ y1， y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出
两根之和与两根之积后代入公式求得弦长.
【跟踪训练】
已知斜率为2的直线 l 经过椭圆 ＋ ＝1的右焦点 F2，与椭圆相交于
A ， B 两点，求弦 AB 的长.
解：因为直线 l 过椭圆 ＋ ＝1的右焦点 F2（1，0），
又直线斜率为2，所以直线 l 的方程为 y ＝2（ x －1），即2 x － y
－2＝0.
法一　解方程组
得交点 A （0，－2）， B （ ， ），
所以 AB ＝ ＝
＝ ＝ .
法二　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由方程组消去 y 得3 x2－5 x ＝0，
因为Δ＝（－5）2＝25＞0，则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝0.
所以 AB ＝
＝
＝
＝ ＝ .
题型二 直线与椭圆的中点弦问题
【例2】　已知椭圆 ＋ ＝1的弦 AB 的中点 M 的坐标为（2，1），
求直线 AB 的方程.
解：法一　由题意可知直线 AB 的斜率存在，
故设直线 AB 的方程为 y －1＝ k （ x －2）.
将其代入椭圆方程并整理，得（4 k2＋1） x2－8（2 k2－ k ） x ＋4（2 k
－1）2－16＝0.
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1， x2是上述方程的两个根，
于是 x1＋ x2＝ .
又 M 为线段 AB 的中点，
所以 ＝ ＝2，解得 k ＝－ .
故所求直线的方程为 x ＋2 y －4＝0.
法二　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， x1≠ x2.
因为 M （2，1）为线段 AB 的中点，
所以 x1＋ x2＝4， y1＋ y2＝2.
又 A ， B 两点在椭圆上，
所以
①－②，得（ － ）＋4（ － ）＝0，
于是（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋4（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝0.
所以 ＝－ ＝－ ＝－ ，即 kAB ＝－ .
故所求直线的方程为 x ＋2 y －4＝0.
通性通法
解决椭圆“中点弦”问题的方法
【跟踪训练】
过点 M （1，1）作斜率为－ 的直线与椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0）相交于 A ， B 两点，若点 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率
为 .
　
解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 ＋ ＝1　①， ＋ ＝
1　②.因为点 M 是线段 AB 的中点，所以 ＝1， ＝1.因为
直线 AB 的方程是 y ＝－ （ x －1）＋1，所以 y1－ y2＝－ （ x1－ x2）.
将①②两式相减，可得 ＋ ＝0，即 ＋（－ ）· ＝0，所
以 a ＝ b ，所以 c ＝ b ，所以 e ＝ ＝ .
题型三 与椭圆有关的最值（范围）问题
【例3】　在椭圆 ＋ ＝1上求一点 P ，使它到直线 l ：3 x －2 y －16
＝0的距离最短，并求出最短距离.
解：设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y ＝ x ＋ m ，
代入 ＋ ＝1，
消去 y 并整理得4 x2＋3 mx ＋ m2－7＝0，
由Δ＝9 m2－16（ m2－7）＝0得 m2＝16，
∴ m ＝±4，
故两切线方程为 y ＝ x ＋4和 y ＝ x －4，
显然 y ＝ x －4，即3 x －2 y －8＝0距 l 最近，
它们之间的距离即为所求最短距离，且 y ＝ x －4与椭圆的切点即为
所求点 P .
故所求最短距离为 d ＝ ＝ ＝ .
由得即 P （ ，－ ）.
通性通法
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处
理，此时，应注意椭圆中 x ， y 的取值范围，常常是化为闭区间
上的二次函数的最值问题来求解.
【跟踪训练】
1. 若点（ x ， y ）在椭圆4 x2＋ y2＝4上，则 的最小值为（　　）
A. 1 B. －1
D. 以上都不正确
解析：　设 ＝ k ，则 y ＝ k （ x －2）.由消去
y ，整理得（ k2＋4） x2－4 k2 x ＋4（ k2－1）＝0，由题意得Δ＝16 k4
－4×4（ k2－1）（ k2＋4）≥0，解得－ ≤ k ≤ ，所以 的
最小值为－ .故选C.
2. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A （－2，
0），离心率为 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
解：设椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
由题意得解得 c ＝1，所以 b2＝ a2－ c2＝3，
所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）斜率为1的直线 l 与椭圆 C 相交于 P ， Q 两点，求 PQ 的最
大值.
解：设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），直线 l 的方程为 y
＝ x ＋ t .
由得7 x2＋8 tx ＋4（ t2－3）＝0，
由Δ＝（8 t ）2－112（ t2－3）＞0，得0≤ t2＜7，则 x1＋ x2＝
－ t ， x1 x2＝ ，
所以 PQ ＝ ·｜ x1－ x2｜
＝ ·
＝ ·
＝ · ，
又0≤ t2＜7，所以当 t ＝0时，可得 PQmax＝ .
1. 已知直线 l ： x ＋ y －3＝0，椭圆 ＋ y2＝1，则直线与椭圆的位置
关系是（　　）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相交或相切
解析：　把 x ＋ y －3＝0代入 ＋ y2＝1，得 ＋（3－ x ）2＝1，
即5 x2－24 x ＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直
线与椭圆相离.
2. 过椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的焦点 F （ c ，0）的弦中最短弦长
是（　　）
解析：　最短弦是过焦点 F （ c ，0）且与焦点所在坐标轴垂直的
弦.将点（ c ， y ）的坐标代入椭圆 ＋ ＝1，得 y ＝± ，故最
短弦长是 .
3. 若直线 y ＝ x ＋1和椭圆 ＋ ＝1交于 A ， B 两点，则线段 AB 的长
为 .
解析：由消去 y 得3 x2＋4 x －2＝0.设 A （ x1， y1），
B （ x2， y2），则 x1 x2＝－ ， x1＋ x2＝－ ，所以 AB ＝
＝ · ＝
× ＝ .
　
4. 已知椭圆 C 的焦点 F1（－2 ，0）， F2（2 ，0），且长轴长为
6，设直线 y ＝ x ＋2交椭圆 C 于 A ， B 两点，求线段 AB 的中点坐标.
解：由已知条件得椭圆焦点在 x 轴上，
其中 c ＝2 ， a ＝3，从而 b ＝1，其标准方程为 ＋ y2＝1，
联立方程消去 y 得10 x2＋36 x ＋27＝0，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ，
设中点坐标为（ x0， y0），则 x0＝ ＝－ ，
所以 y0＝ x0＋2＝ ，
所以线段 AB 的中点坐标为（－ ， ）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 y ＝ x ＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 无法判断
解析：　法一　联立直线与椭圆的方程得消去 y 得
9 x2＋10 x －15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直线与椭
圆相交.
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法二　直线过点（0，1），而0＋ ＜1，即点（0，1）在椭圆内部，
所以可推断直线与椭圆相交.
2. 若直线 y ＝ kx ＋2与椭圆 ＋ ＝1相切，则斜率 k ＝（　　）
解析：　把 y ＝ kx ＋2代入 ＋ ＝1，得（2＋3 k2） x2＋12 kx ＋
6＝0，由题意知Δ＝0，所以 k2＝ ，所以 k ＝± .
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3. 直线 x － y ＋1＝0被椭圆 ＋ y2＝1所截得的弦 AB ＝（　　）
解析：　由得交点为（0，1），（－ ，－
），则 AB ＝ ＝ .
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4. 椭圆4 x2＋9 y2＝144内有一点 P （3，2），以 P 为中点的弦所在直线
的斜率为（　　）
解析：　设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），斜率为 k ，则4 ＋9 ＝144，4 ＋9 ＝
144，两式相减，得4（ x1＋ x2）·（ x1－ x2）＋9（ y1＋ y2）（ y1－
y2）＝0.又 x1＋ x2＝6， y1＋ y2＝4， ＝ k ，所以 k ＝－ .
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5. 已知 F 是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点， AB 为过椭圆中心的一条弦，
则△ ABF 面积的最大值为（　　）
A. 6 B. 15
C. 20 D. 12
解析：　由题意知， S△ ABF ＝ · OF ·｜ y1－ y2｜≤ · OF ·2 b ＝12.
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6. 设 P ， Q 分别为圆 x2＋（ y －6）2＝2和椭圆 ＋ y2＝1上的点，则
P ， Q 两点间的最大距离是（　　）
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解析：　设圆心为点 C ，则圆 x2＋（ y －6）2＝2的圆心为 C （0，
6），半径 r ＝ .设点 Q （ x0， y0）是椭圆上任意一点，则 ＋
＝1，即 ＝10－10 .由 ≥0，解得 y0∈[－1，1]. CQ ＝
＝ ＝
＝ ，当 y0＝－ 时， CQ 有
最大值5 ，则 P ， Q 两点间的最大距离为5 ＋ r ＝6 .故选D.
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7. （多选）已知椭圆 C ： ＋ ＝1内一点 M （1， ），直线 l 与椭
圆 C 交于 A ， B 两点，且 M 是线段 AB 的中点，则下列说法正确的
是（　　）
A. 椭圆的焦点坐标为（2，0），（－2，0）
B. 椭圆 C 的长轴长为4
C. 直线 l 的方程为2 x ＋2 y －3＝0
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解析：　由题意得 a2＝4， b2＝2，所以 c2＝4－2＝2，故 c ＝
，故焦点坐标为（ ，0），（－ ，0），A错误；因为 a ＝
2，所以长轴长为2 a ＝4，B正确；设点 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），则由 ＋ ＝1， ＋ ＝1，两式相减可得， － ＋2
（ － ）＝0，整理得 · ＝－ ，因为 M 是线段 AB 的
中点， M （1， ），所以 ＝ ，进而 ＝－1，所以直线 l
的方程为 y － ＝－（ x －1），整理得2 x ＋2 y －3＝0，C正确；
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直线2 x ＋2 y －3＝0与椭圆联立得，6 x2－12 x ＋1＝0，所以 x2＋ x1＝2，
x2 x1＝ ，由弦长公式得 AB ＝ × ＝ ，D正确.故选B、
C、D.
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8. 已知 F1， F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点 P ，使∠ F1 PF2
＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是 .
解析：由椭圆性质知：当 P 为椭圆上下顶点时∠ F1 PF2最大，所以
椭圆上存在点 P 使∠ F1 PF2＝90°，只需∠ F1 PF2最大的情况下，
有 cos ∠ F1 PF2＝ ＝1－2 e2≤0，又椭圆离心率0＜ e ＜1，故
≤ e ＜1.
［ ，1）　
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9. 若椭圆 ＋ ＝1的弦 AB 恰好被点 M （1，1）平分，则 AB 的直线
方程为 .
4 x ＋3 y －7＝0　
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解析：由题意，直线 AB 斜率存在，设 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），则有 ＝1， ＝1， A ， B 在椭圆 ＋ ＝1上，有
＋ ＝1， ＋ ＝1，两式相减，得 ＝－ ，即
＝－ ，得 ＝－ ，即直线
AB 的斜率为－ ，则 AB 的直线方程为 y －1＝－ （ x －1），即4 x
＋3 y －7＝0.
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10. 已知动点 P （ x ， y ）在椭圆 ＋ ＝1上，若 A 点坐标为（3，
0），｜ ｜＝1，且 · ＝0，则｜ ｜的最小值是 .
解析：易知点 A （3，0）是椭圆的右焦点.∵ · ＝0，∴
⊥ .∴｜ ｜2＝｜ ｜2－｜ ｜2＝｜ ｜2－1，∵椭圆
右顶点到右焦点 A 的距离最小，故｜ ｜min＝2，∴｜ ｜min
＝ .
　
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11. 椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，且椭圆与直线 x ＋2 y
＋8＝0相交于 P ， Q 两点， PQ ＝ ，求椭圆的方程.
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解：∵ e ＝ ，∴ ＝ ，即 c2＝ a2，∴ b2＝ a2－ c2＝ a2.
∴椭圆的方程为 x2＋4 y2＝ a2，与方程 x ＋2 y ＋8＝0联立并消去
y ，
得2 x2＋16 x ＋64－ a2＝0，
由Δ＞0，得 a2＞32.
设点 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－8， x1 x2＝ .
由弦长公式得 PQ2＝（1＋ ）·｜ x1－ x2｜2＝（1＋ ）·[（ x1
＋ x2）2－4 x1 x2]，即10＝ ×[64－2（64－ a2）]，解得 a2＝36.
∴椭圆的方程为 x2＋4 y2＝36，即 ＋ ＝1.
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12. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率 e ＝ ，焦距为2.
（1）求椭圆 C 的方程；
解：由题意知 e ＝ ＝ ，2 c ＝2，解得 a ＝ ， c ＝
1，又 a2－ b2＝ c2，
所以 a2＝2， b2＝1.
故椭圆的方程为 ＋ y2＝1.
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（2）已知椭圆 C 与直线 x － y ＋ m ＝0相交于不同的两点 M ，
N ，且线段 MN 的中点不在圆 x2＋ y2＝1内，求实数 m 的
取值范围.
解：联立
消去 y 可得3 x2＋4 mx ＋2 m2－2＝0.
则Δ＝16 m2－12（2 m2－2）＞0 － ＜ m ＜ .
设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ，
则 y1＋ y2＝ .
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所以 MN 的中点坐标为 ，
因为 MN 的中点不在圆 x2＋ y2＝1内，
所以 ＋ ≥1 m ≥ 或 m ≤－ ，
综上，可知－ ＜ m ≤－ 或 ≤ m ＜ .
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13. 如图所示，已知焦点在 x 轴上的椭圆 C ，长轴是短轴的3倍，且经
过点（1， ），过点（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
解：由题意设椭圆 C 的标准方程为
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），则
C ： ＋ y2＝1.
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（2）求△ AOB 面积的最大值.
解：设直线 l ： x ＝ my ＋1， A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
联立 （ m2＋9） y2＋2 my －8＝0，
由根与系数的关系知，
｜ y1－ y2｜＝（ y1＋ y2）2－4 y1 y2＝ ，
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S△ OAB ＝ ×1×｜ y1－ y2｜＝ ＝ ≤ ＝ ，
所以当 m ＝0时，
△ AOB 的最大面积为 .
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