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第十七章　特殊三角形
一、选择题
1.已知一个等腰三角形的顶角为x°,则一个底角的度数用含x的式子表示是 (　　)
A.180°-x° B.90°-x°
C.x° D.90°-x°
2.如图,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形拼接而成.若AB=17,AH=8,则正方形EFGH的边长是 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(2024泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若
∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 (　　)
A.45° B.39°
C.29° D.21°
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AB的中点,CD=3,AC=2,则BC的长为 (　　)
A.3 B.4 C.6 D.4
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,点D在BC上,AB⊥AD,AD=2,则BC等于 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=12,则AD的长为 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
7.如图,在长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
8.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是　　　　.
9.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是　　　　cm.
10.(易错题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,作BC的垂直平分线EF交BC于点F,交AB于点E,连接CE.若EF=1,则△ACE的周长为　　　　.
三、解答题
11.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°.
(1)求∠B的度数.
(2)求∠C的度数.
12.如图,一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子,李明想用所学知识测量大树AD的高度,他从工作人员处了解到绳子AB的长为13 m,AC的长为20 m,然后用米尺测得B,C之间的距离为21 m.已知B,C,D在一条直线上,AD⊥BC,求大树的高AD.
13.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于点D,E是BC上一点,连接AE,与BD相交于点O,连接OC,DE,且OB=OC.
(1)求证:AE垂直平分BC.
(2)若∠OED=∠ODE,求证:CO平分∠ACB.
(3)若∠BAC=60°,求证:△CDE是等边三角形.
14.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,若动点P从点C开始,按C→A→B的路径运动,且速度为每秒1 cm,设出发的时间为t s.问t为何值时,△BCP为等腰三角形
【详解答案】
1.D　解析:∵一个等腰三角形的顶角为x°且等腰三角形的两个底角相等,∴一个底角的度数用含x的式子表示为(180°-x°)=90°-x°.故选D.
2.C　解析:由题意得,AD=AB=17,AH=DE=8,∠AHD=90°,∴DH==15,∴HE=DH-DE=15-8=7,∴正方形EFGH的边长是7.故选C.
3.B　解析:如图,过点A作AF∥l,∵直线l∥m,∴AF∥m,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AF∥l,
∴∠BAF=∠ABE,∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,∵AF∥m,
∴∠ACD=∠CAF=39°.故选B.
4.D　解析:∵∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,∴AB=2CD.∵CD=3,∴AB=6.在Rt△ACB中,由勾股定理,得BC==4.故选D.
5.C　解析:∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=∠C=30°,∠BAC=120°.∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°.∵AD=2,∴BD=2AD=4.∵∠DAC=120°-90°=30°,∴∠DAC=∠C.∴AD=DC=2.∴BC=BD+DC=4+2=6.故选C.
6.D　解析:∵∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,∴∠BCD+∠B=90°,∠A+∠B=90°.∴∠BCD=∠A=30°.∴AB=2BC=12.∴BC=6.∴BC=2BD=6.∴BD=3.∴AD=AB-BD=12-3=9.故选D.
7.D　解析:根据题意得BC=AD=8.因为△ABE≌△AFE,所以AB=AF,BE=FE=3,CE=BC-BE=AD-BE=8-3=5.在Rt△EFC中,由勾股定理,得CF==4,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+82=(AB+4)2,解得AB=6.故选D.
8.22　解析:∵4+4=8<9,∴腰长不应为4,而应为9.∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
9.18　解析:连接AB(图略).∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=OB=18 cm.
10.6　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°,∵EF是BC的垂直平分线,∴EB=EC,∠BFE=90°,∴∠ECB=∠B=30°,在Rt△BEF中,EF=1,∠B=30°,∴BE=2EF=2,∵∠ACE=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°,∴∠A=∠ACE=60°,∴△ACE是等边三角形,∴AC=AE=CE=2,∴△ACE的周长为6.
11.解:(1)在△ABD中,AB=AD,∠BAD=20°,∴∠B=∠ADB=(180°-20°)×=80°.
(2)∵AD=DC,
∴∠C=∠CAD=∠ADB=×80°=40°.
12.解:设BD=x m,则CD=(21-x)m.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2,
在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2.
∴AB2-BD2=AC2-CD2.
∵AB=13 m,AC=20 m,
∴132-x2=202-(21-x)2,
解得x=5,
即BD=5 m.
∴AD==12(m),
即大树的高AD为12 m.
13.证明:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
∵OB=OC,点A,O在AE上,
∴AE垂直平分BC.
(2)∵∠OED=∠ODE,∴OD=OE.
又∵BD⊥AC,AE⊥BC,
即OD⊥AC,OE⊥BC,∴点O在∠ACB的平分线上,∴CO平分∠ACB.
(3)由(1),知AB=AC.
∵∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°.
由(1),知AE垂直平分BC,
∴E是BC的中点.∴EC=BC.
∵BD⊥AC,∴CD=AC.
∴EC=CD.
∴△CDE是等边三角形.
14.解:根据勾股定理,得AC=
=4.
分三种情况:
当CP=BC时,△BCP为等腰三角形.
若点P在AC上,得CP=BC=3.
∴t==3(s);
若点P在AB上,作CH⊥AB于点H,如图.
∵AC·BC=AB·CH,即4×3=5CH,解得CH=.
在Rt△BCH中,
BH==
.
∴BP=2BH=.
∴t=(s).
当CP=BP时,△BCP为等腰三角形,则∠BCP=∠B,
∵∠A+∠B=90°,∠ACP+∠BCP=90°,
∴∠A=∠ACP.
∴CP=AP.
∴AP=BP=AB=.
∴t=(s).
当BP=BC时,△BCP为等腰三角形,即BP=BC=3.
∴AP=AB-BP=5-3=2.
∴t==6(s).
综上所述,t为3 s或 s或6 s或 s时,△BCP为等腰三角形.

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