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专题训练十二　等腰三角形的性质与判定的综合运用
求线段的长度
1.(2025涿州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,E是AD上一点,若CE=5,则BE= (　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,则DE的长为 (　　)
A.14 B.16 C.18 D.20
3.如图,在△ABC中,BC=15 cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长为　　　　.
4.如图,上午8时,一条船从海岛A出发,以15 n mile/h的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=43°,∠NBC=86°,问海岛B与灯塔C相距多远
求角的度数
5.(2025雄安新区期末)如图,直线a,b分别经过等边三角形ABC的顶点A,C,且a∥b,∠1=42°,则∠2的度数为 (　　)
A.18° B.42° C.60° D.102°
6.如图,在等边三角形ABC中,E是边AC上一点,AD为BC边上的中线,AD,BE相交于点F.若
∠AEB=100°,则∠AFB的度数为　　　　.
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC平分∠BCD.
(1)求证:△ACD是等腰三角形.
(2)若AC=BC,∠B=70°,求∠D的度数.
判定线段之间或角之间的关系
8.(2025保定清苑区期末)如图,在3×3的网格中,以AB为一边,点P在格点处,使△ABP为等腰三角形的点P有 (　　)
A.2个 B.5个 C.3个 D.1个
9.(2025衡阳广汉期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,CD是∠ACB的平分线,交AB于点D,过点A作AE∥BC,交CD的延长线于点E.
求证:AE=DE.
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G.
(1)求证:△AFG是等腰三角形.
(2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数.
11.(1)如图1,P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R.请观察AR与AQ,它们有何数量关系 并证明你的猜想.
(2)如果点P沿着底边BC所在的直线,按由C向B的方向运动到CB的延长线上,(1)中所得的结论还成立吗 请你在图2中完成图形,并给予证明.
　　　
图1　　　　　 图2
12.若一个四边形有一组邻边相等,且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角,则称这样的四边形为“半对称四边形”,这条角平分线称为四边形的“分割对角线”.例如:
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,则称四边形ABCD是“半对称四边形”,BD称为四边形ABCD的“分割对角线”.
(1)如图1,求证:BC∥AD.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AC,AD∥BC,∠CAD=2∠DBC.求证:四边形ABCD是“半对称四边形”.
图1　 　图2
【详解答案】
1.C　解析:∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∴AD垂直平分BC.∴BE=CE=5.故选C.
2.A　解析:∵DE∥BC,∴∠E=∠EBC.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∴∠E=∠ABE.∴AB=AE.同理可得AD=AC,∴DE=AD+AE=AC+AB=14.故选A.
3.15 cm　解析:∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE.∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE.∴∠PBD=∠BPD,
∠PCE=∠CPE.∴BD=PD,CE=PE.∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
4.解:∵∠NAC=43°,∠NBC=86°,
∴∠ACB=43°.
∴∠NAC=∠ACB.
∴BC=BA=15×(10-8)=30(n mile).
答:海岛B与灯塔C相距30 n mile.
5.D　解析:∵a∥b,∠1=42°,∴∠1+∠BAC=∠2.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∴∠2=42°+60°=102°.故选D.
6.130°　解析:∵△ABC是等边三角形,E是边AC上一点,AD为BC边上的中线,∴∠EAF=∠BAC=×60°=30°.
∵∠AEB=100°,∴∠AFB=∠AEB+∠EAF=100°+30°=130°.
7.解:(1)证明:∵AC平分∠BCD,
∴∠ACD=∠ACB.
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠DAC=∠ACD,
∴AD=CD.
∴△ACD是等腰三角形.
(2)∵AC=BC,∠B=70°,
∴∠B=∠BAC=70°,
∴∠ACB=180°-2×70°=40°,
∴∠DAC=∠DCA=40°,
∴∠D=180°-2×40°=100°.
8.B　解析:分三种情况:如图,
当AP=AB时,以点A为圆心,以AB长为半径作圆,交网格的格点为P1;
当BP=BA时,以点B为圆心,以BA长为半径作圆,交网格的格点为P2;
当PA=PB时,作AB的垂直平分线,交网格的格点为P3,P4,P5;
综上所述,使△ABP为等腰三角形的点P有5个.故选B.
9.证明:∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠B=∠ACB=(180°-∠BAC)=72°.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠DCB=∠ACB=36°.
∵AE∥BC,
∴∠EAB=∠B=72°,
∵∠B=72°,∠DCB=36°,
∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°,
∴∠EAD=∠ADE,
∴AE=DE.
10.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EG∥AD,
∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG,
∴∠G=∠AFG,
∴△AFG是等腰三角形.
(2)∵CE=EF,
∴∠CFE=∠C.
∵∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,
∴∠C=∠CAD.
∵∠BAC=80°,AD平分∠BAC,
∴∠C=∠CAD=40°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
11.解:(1)AR=AQ.证明如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵RP⊥BC,
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°.
∴∠BQP=∠PRC.
∵∠BQP=∠AQR,
∴∠PRC=∠AQR.
∴AR=AQ.
(2)猜想仍然成立.证明如下:如图,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠ABC=∠PBQ,
∴∠PBQ=∠C.
∵RP⊥BC,
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°.
∴∠BQP=∠PRC.
∴AR=AQ.
12.证明:(1)∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∴∠CBD=∠ADB.
∴BC∥AD.
(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
∴∠ABC=∠DAC.
∵∠CAD=2∠DBC,
∴∠ABC=2∠DBC,
即BD为∠ABC的平分线.
∴∠ABD=∠DBC.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
∴在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC.
∴四边形ABCD是“半对称四边形”.

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