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专题训练十三　利用勾股定理解决折叠问题
直角三角形中的折叠
1.如图,在Rt△ABC中,直角边AC=6,BC=8,将△ABC按如图方式折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为 (　　)
A. B. C. D.
2.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.5
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B'重合,AE为折痕,求B'E的长.
长方形(正方形)中的折叠
4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,设AE交DC于点O,若OC=5 cm,则CD的长为 (　　)
A.6 cm B.7 cm
C.8 cm D.10 cm
5.如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=4,将长方形折叠,使得点B落在线段CD的点F处,则线段BE的长为　　　　.
6.如图所示,正方形纸片ABCD的边长为3,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都落在点G处,已知BE=1,求EF的长.
7.(新考法)如图所示,在长方形纸片ABCD中,AD>AB,AD=9 cm,AB=3 cm,将其折叠,使点D与点B重合.
求:(1)DE的长.
(2)以折痕EF为边的正方形面积.
【详解答案】
1.C　解析:根据折叠方法,得直线DE垂直平分AB,则AD=BD,设CD=x,则AD=BD=8-x,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD2=AC2+CD2,即(8-x)2=62+x2,解得x=.故选C.
2.A　解析:根据折叠方法,得AN=DN,BD=CD,设BN=x,则DN=9-x,BD=BC=3,在Rt△NBD中,根据勾股定理得DN2=BN2+BD2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4.故选A.
3.解:根据折叠方法,得BE=B'E,AB'=AB=3,∠AB'E=∠B=90°.
设B'E=BE=x,则CE=BC-BE=4-x.
∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴在Rt△ABC中,根据勾股定理得
AC==5.
∴B'C=AC-AB'=5-3=2.
在Rt△B'EC中,根据勾股定理,得
B'E2+B'C2=CE2,即x2+22=(4-x)2,解得x=1.5.
∴B'E=1.5.
4.C　解析:根据折叠方法,得∠BAC=∠EAC,又AB∥CD,所以∠OCA=∠BAC=∠OAC,所以△AOC是等腰三角形,且OA=OC,在Rt△AOD中,根据勾股定理,得AD2+OD2=AO2,即42+OD2=52,解得OD=3,则CD=OD+OC=8 cm.故选C.
5.2.5　解析:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠D=90°,根据折叠方法,得AF=AB=5,AD=BC=4,EF=BE,在Rt△ADF中,根据勾股定理,得DF=3.在长方形ABCD中,∵CD=AB=5,∴CF=CD-DF=2.设CE=x,则EF=4-x.在Rt△CEF中,根据勾股定理,得CE2+CF2=EF2,即x2+22=(4-x)2.解得x=1.5.∴BE=BC-CE=4-1.5=2.5.
6.解:∵正方形纸片ABCD的边长为3,
∴∠C=90°,BC=CD=3.
根据折叠方法,得EG=BE=1,GF=DF.
设DF=x,则EF=EG+GF=1+x,CF=CD-DF=3-x,CE=BC-BE=3-1=2.
在Rt△ECF中,根据勾股定理,得EF2=EC2+FC2,即(x+1)2=22+(3-x)2,解得x=.
∴DF=.
∴EF=1+.
7.解:(1)根据折叠方法,得BE=DE.
设DE=BE=x cm,则AE=AD-DE=(9-x) cm.
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠A=90°.
在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5,
即DE=5 cm.
(2)设CF=C'F=y cm,同(1)可得CF=4 cm,BF=5 cm,
作EG⊥BC于点G,如图所示.
∴∠EGF=90°,
∴△EGF是直角三角形.
∴EG=AB=3 cm,BG=AE=4 cm.
∴GF=BF-BG=5-4=1(cm).
在Rt△EGF中,根据勾股定理,得
EF2=EG2+GF2=32+12=10.
∴以EF为边的正方形面积为EF2=10 cm2.

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