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专题训练十四　利用勾股定理解决“最短”问题
利用平面展开图的知识求“最短”
1.为筹备元旦晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图所示,已知圆筒高108 cm,其横截面周长为36 cm,如果在圆筒侧面恰好能缠绕4圈油纸,请你求至少需要多长的油纸
利用“垂线段最短”求“最短”
2.如图,某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧,两个喷泉之间的距离AB=250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,到AB的距离MN=120 m,到喷泉B的距离BM=
150 m.
(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长.
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
利用轴对称的知识求“最短”
3.(2025南京鼓楼区月考)如图所示,高速公路的同一侧有A,B两城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC=2 km,BD=4 km,CD=8 km.要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小,求这个最短距离并画出相应的最短路径.
4.如图,一个牧童在小河的南200 m的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西400 m、北350 m处,他想把马牵到小河边去饮水,然后回到小屋,请你求牧童完成这件事情所走的最短路程,并画出与之相应的最短路径.
【详解答案】
1.解:将缠绕1圈油纸的圆筒侧面展开后得到一个长方形,则长方形的长为圆筒的横截面周长,长方形的宽为圆筒高度的,如图所示.
根据题意,AB=36 cm,BC==27(cm).
根据勾股定理,得
AC==45(cm).
∴4AC=4×45=180(cm).
答:至少需要180 cm长的油纸.
2.解:(1)在Rt△MNB中,MN=120 m,BM=150 m.
根据勾股定理,得
BN==90(m).
∴AN=AB-BN=250-90=160(m).
在Rt△AMN中,
AM==200(m).
∴供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为200+150=350(m).
(2)∵AB=250 m,AM=200 m,BM=150 m,
∴AB2=BM2+AM2,
∴△ABM是直角三角形,且∠AMB=90°.
∴BM⊥AC.
∴喷泉B到小路AC的最短距离是150 m.
3.解:如图所示,作A点关于直线MN的对称点A',再连接A'B,交直线MN于点P,则此时AP+PB最小,为最短路径.过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E,∵AC=2 km,BD=4 km,CD=8 km.∴BE=CD=8 km,AE=4-2=2(km),AA'=4 km,∴A'E=6 km,在Rt△A'EB中,A'B==10(km),则AP+PB的最小值为10 km.即最短距离为10 km.
4.解:设直线MN表示小河,作A点关于直线MN的对称点A',AA'与MN相交于点C,连接A'B交MN于点P,则从A点沿线段AP到P点再沿PB到达B点,即为牧童所走的最短路径,如图所示.
∴牧童所走的最短路程为AP+BP=A'P+BP=A'B.
根据题意,AC=200 m,则AA'=2AC=400 m,AD=350 m,BD=400 m.
∴A'D=AA'+AD=750 m.
在Rt△A'DB中,根据勾股定理,得
A'B==850(m).
∴牧童完成这件事情所走的最短路程是850 m.

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