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专题训练十一　分类讨论在等腰三角形中的应用
腰和底边不确定时的分类讨论
1.(2025松原期末)已知一个等腰三角形两边长分别为5,6,则它的周长为 (　　)
A.16 B.17
C.16或17 D.10或12
2.已知等腰三角形的周长为16,一边长为4,则此等腰三角形的底边长是 (　　)
A.4 B.6
C.4或10 D.4或6
顶角和底角不确定时的分类讨论
3.(2025南京外国语学校月考)已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为 (　　)
A.20° B.120°
C.20°或120° D.36°
4.已知等腰三角形ABC,若它的一个外角等于130°,则它的顶角度数为　　　　.
点的位置不确定时的分类讨论
5.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,点E是射线OA上的一个动点,如果点E满足△OCE是等腰三角形,求∠OEC的度数.
与三角形中主要线段有关的分类讨论
6.(易错题)已知某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,请你根据这个条件画出符合题意的等腰三角形,写出已知,并求等腰三角形的一个底角的度数.
7.在△ABC中,AB=BC,中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,求这个三角形的三边长.
小明自己画出了图形(如图),并结合图形写出了下列解法.
解:设AB的长为x.
∵AB=BC,∴AB=BC=x.
∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD=x.
∴AB+BD=x.
∴x=15,解得x=10.
∴AB=BC=10,DC=5,AC=12-DC=7,即△ABC的三边长分别为10,10,7.
李老师说小明的解法不能得全分,请你说明理由,并继续给出一个满分的答案.
【详解答案】
1.C　解析:根据题意,①当腰长为5时,周长=5+5+6=16;②当腰长为6时,周长=6+6+5=17.故选C.
2.A　解析:当4为等腰三角形的腰长时,则底边长为16-4-4=8,此时三边长分别为4,4,8,不满足三角形的三边关系,则不能构成三角形;当4为等腰三角形的底边长时,则腰长为(16-4)÷2=6,此时三边长分别为6,6,4,满足三角形的三边关系,能构成三角形.故选A.
3.C　解析:设两内角的度数分别为x,4x,当等腰三角形的顶角为x时,则x+4x+4x=180°,解得x=20°;当等腰三角形的顶角为4x时,则4x+x+x=180°,解得x=30°,4x=120°.综上所述,等腰三角形的顶角度数为20°或120°.故选C.
4.50°或80°　解析:有两种情况:当这个外角是顶角的外角时,其顶角的度数为180°-130°=50°;当这个外角是底角的外角时,其底角的度数为180°-130°=50°,则顶角的度数为180°-50°×2=80°.综上所述,它的顶角度数为50°或80°.
5.解:∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=30°.
如图,当△OCE是等腰三角形时分三种情况:
①当点E在点E1且满足OE1=CE1时,
∴∠AOC=∠OCE1=30°,
∴∠OE1C=180°-30°-30°=120°;
②当点E在点E2且满足OC=OE2时,
∵∠AOC=30°,
∴∠OE2C=∠OCE2=(180°-∠AOC)=×(180°-30°)=75°;
③当点E在点E3且满足OC=CE3时,
∵∠AOC=30°,
∴∠OE3C=∠AOC=30°.
综上所述,∠OEC的度数为120°或75°或30°.
6.解:已知:在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,∠ABD=40°,求∠ABC的度数.
分三种情况:
当∠BAC是锐角时,如图1所示.
∵BD是AC边上的高,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAC=180°-∠ABD-∠ADB=180°-40°-90°=50°.
∴∠ABC=(180°-∠BAC)=×(180°-50°)=65°.
当∠BAC是直角时,BD与AB重合,与∠ABD=40°不符,不合题意.
当∠BAC是钝角时,如图2所示.
∵BD是AC边上的高,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=40°+90°=130°.
∴∠ABC=(180°-∠BAC)=×(180°-130°)=25°.
综上所述,这个等腰三角形一个底角的度数为25°或65°.
7.解:理由:小明的解法是AB>AC的情形,漏掉了AB当AB∴AB=BC=8,DC=4,AC=15-DC=11.
此时△ABC的三边长分别为8,8,11.
综上所述,△ABC的三边长分别为10,10,7或8,8,11.

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