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第十三章　全等三角形
一、选择题
1.下列命题的逆命题为假命题的是 (　　)
A.内错角相等,两直线平行
B.两直线平行,同位角相等
C.两个相等的角是对顶角
D.如果a是整数,那么a是有理数
2.如图所示,与最左边的图形是全等图形的是 (　　)
A　　　B　　　 C　　　D
3.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条应钉在 (　　)
A.E,H两点之间
B.E,G两点之间
C.F,H两点之间
D.A,B两点之间
4.(2025唐山月考)如图,△ABC≌△DEC,B,C,D在同一条直线上,且CE=5,AC=7,则BD的长为(　　)
A.12 B.7 C.2 D.14
5.如图所示,小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形,那么两个三角形完全一样的依据是 (　　)
A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS
6.对于命题“如果∠1=∠2=90°,那么∠1与∠2互补”,能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是(　　)
A.∠1=80°,∠2=110° B.∠1=10°,∠2=169°
C.∠1=60°,∠2=120° D.∠1=90°,∠2=90°
7.如图,点A在DE上,点F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于 (　　)
A.DC B.BC C.AB D.AE+AC
8.把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放,点D在边AC上,点E在边BC上,且∠CFE=13°,∠CFD=32°,则∠DEC的度数是(　　)
A.58° B.45° C.77° D.64°
二、填空题
9.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA和OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,这里构造全等三角形的依据是　　　　.(填简写)
10.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中阴影部分的面积S是　　　　.
三、解答题
11.如图,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC.
求证:AD=EB.
12.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF.
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
13.(2025邯郸大名县月考)如图所示,已知△ABE≌△ACD.
(1)如果BE=6,DE=2,求BC的长.
(2)如果∠BAC=75°,∠BAD=30°,求∠DAE的度数.
14.如图,已知BD⊥AC,BD=BC,∠D=∠C,AB=5 cm,BC=6.5 cm,且点B在线段AC上.
(1)求DE的长.
(2)求证:AD⊥CE.
【详解答案】
1.D　2.D
3.A　解析:A.能把长方形窗框ABCD分为一个三角形与一个五边形,具有稳定性;而其他选项都不能把长方形窗框ABCD分出三角形,故不符合题意.故选A.
4.A　解析:∵△ABC≌△DEC,∴AC=DC,CB=CE.∵CE=5,AC=7,∴CB=5,DC=7.∴BD=DC+CB=7+5=12.故选A.
5.A
6.C　解析:命题“如果∠1=∠2=90°,那么∠1与∠2互补”的逆命题为“如果∠1与∠2互补,那么∠1=∠2=90°”.A与B.∠1与∠2不互补,排除;C.符合题意;D.∠1与∠2互补,但∠1=∠2=90°,不符合题意.故选C.
7.C　解析:∵∠2=∠3,∠AFD=∠CFB,∴∠D=∠B.∵∠1=∠3,
∴∠1+∠ACD=∠3+∠ACD.∴∠ACB=∠ECD.∵AC=CE,∴△ABC≌△EDC(AAS).∴DE=AB.故选C.
8.D　解析:作FH⊥FE 交AC 于点H,如图,∵∠AFC=∠EFH=90°,∴∠AFH=∠CFE=13°,∵FA=FC,∠A=
∠FCE=45°,∴△FAH≌△FCE(ASA),∴FH=FE,∵∠DFE=∠CFE+∠DFC=13°+32°=45°, ∴∠DFH=∠DFE=45°,∵DF=DF ,∴△DFE≌△DFH(SAS),
∴∠DEF=∠DHF=∠A+∠AFH=58°,∵∠FEB=∠CFE+∠FCE=58°,∴∠DEC=180°-58°-58°=64°.故选D.
9.SSS　解析:根据题意,在△OMC和△ONC中,OM=ON,CM=CN,OC是公共边,所以△OMC≌△ONC(SSS),
∴∠COM=∠CON,即射线OC是∠AOB的平分线.
10.　解析:∵AE⊥AB,EF⊥AF,BG⊥AG,∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°.∴∠FEA+∠EAF=180°-∠F=90°,∠EAF+∠BAG=180°-∠EAB=90°.∴∠FEA=∠GAB.在△FEA和△GAB中,∴△FEA≌△GAB(AAS),
∴AG=EF=4,AF=BG=2.同理,CG=DH=1,BG=CH=2,∴FH=2+4+1+2=9.∴梯形EFHD的面积是×(EF+DH)×FH=×(4+1)×9=.∴阴影部分的面积S=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC=×4×2-×(4+1)×2-×1×2=.
11.证明:∵BD∥CE,
∴∠ABD=∠C.
在△ABD和△ECB中,
∴△ABD≌△ECB(SAS).
∴AD=EB.
12.解:(1)证明:在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
(2)由(1)知△ACE≌△BDF,
∴BD=AC=2.
∵AB=8,
∴CD=AB-AC-BD=4.
故CD的长为4.
13.解:(1)∵△ABE≌△ACD,
∴BE=CD,
∵BE=6,DE=2,
∴CE=CD-DE=6-2=4,
∴BC=BE+CE=6+4=10.
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠BAC=75°,∠BAD=30°,
∴∠BAE=∠CAD=45°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.
14.解:(1)∵BD⊥AC,
∴∠ABD=∠EBC=90°,
在△ABD和△EBC中,
∴△ABD≌△EBC(ASA).
∴AD=CE,AB=BE,BD=BC.
∵AB=5 cm,BC=6.5 cm,
∴BD=6.5 cm,BE=5 cm,
∴DE=BD-BE=6.5-5=1.5(cm).
(2)证明:延长CE交AD于点H,如图所示.
∵∠D=∠C,∠A+∠D=180°-∠ABD=90°,
∴∠C+∠A=90°,
∴∠AHC=180°-(∠C+∠A)=90°,
∴AD⊥CE.

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